調(diào)和K-擬共形映照下Heinz不等式的精確估計(jì)

朱劍峰

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州362021）

1 預(yù)備知識

設(shè)u為定義在區(qū)域D?C上的實(shí)函數(shù)，如果u具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足Laplace方程：Δu＝uxx＋uyy＝0，則稱u為D上的調(diào)和函數(shù).設(shè)f（z）＝u＋iv為定義在區(qū)域D的復(fù)變函數(shù)，如果u和v皆為D上的調(diào)和函數(shù)則f（z）為D上的調(diào)和映照.令U＝｛｜z｜＜1｝為單位圓盤，f（z）為定義在U上調(diào)和函數(shù).則由文獻(xiàn)［1］知f（z）可表示為

設(shè)f（z）為U上的單葉保向調(diào)和映照，則由Lewy［2］定理可知f（z）的Jacobian恒正，即Jf＝｜h′｜2-｜g′｜2＞0.若進(jìn)一步地存在常數(shù)K＞1，使得

則稱f（z）為U上的調(diào)和K-擬共形映照.

調(diào)和擬共形映照是共形映照的推廣，近年來國內(nèi)外許多同行研究了調(diào)和映照成為擬共形映照的充要條件，以及調(diào)和擬共形映照下的極值理論、偏差估計(jì)等取得了許多有趣的結(jié)論［3-10］.

1952年，Heinz證明了如下的定理.

定理A （Heinz引理［11］）設(shè)w（z）為單位圓盤U到自身上的單葉調(diào)和映照滿足w（0）＝0，則有

式（2）中：c＞0為常數(shù).

定理B 設(shè)w（z）為單位圓盤U到自身上的調(diào)和K-擬共形映照，滿足w（0）＝0，則對于任意的z∈U，有

文中利用調(diào)和測度的擬不變性得到邊界函數(shù)F的一個偏差估計(jì)，進(jìn)而利用不等式（4）得到調(diào)和擬共形映照下Heinz不等式的一個精確下界估計(jì).

2 主要結(jié)論及證明

定理2 設(shè)w（z）＝P［F］（z）為單位圓盤U到自身上的調(diào)和擬共形映照，F(xiàn)（exp（it））＝exp（iγ（t））為其邊界函數(shù).對于z1＝exp（i（s-t）），z2＝exp（i（s-t））∈T，令θ＝γ（s＋t）-γ（s-t），則有F（z1）＝exp（iθ）F（z2），且對于0≤s，t≤2π，有

證明 由定理2的條件及調(diào)和測度的擬不變性（參見文獻(xiàn)［4］的式（1.9））可知，對于0≤s，t≤2π，有不等式

定理2證畢.

定理3 假設(shè)w（z）＝P［F］（z）為單位圓到自身上的調(diào)和K-擬共形映照，且滿足w（0）＝0，其中F（exp（it））＝exp（iγ（t））為邊界函數(shù)，則有

圖1 函數(shù)B（K）的圖像Fig.1 Graphics of the function B（K）

定理3證畢.

注1 定理3中若假設(shè)K＝1，則w（z）＝exp（ix）z為單位圓到自身上的共形映照，此時(shí)｜wz（z）｜2＋｜wˉz（z）｜2＝1.這說明定理3的下界B（K）達(dá)到1是精確的.

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