基于換熱器分時共享機制的多時期換熱網絡結構設計

陳彩虹，蔣達，錢鋒

（華東理工大學化工過程先進控制和優化技術教育部重點實驗室，上海 200237）

傳統的多時期換熱網絡（HEN）設計方法通常是求解一個簡單的數學規劃問題，解決此問題的數學規劃方法有兩種不同的類型，分別是分步和同步優化方法[1-3]。前者通常需要把問題分解成幾個連續的設計步驟，目的是為了減少計算量，但是這種方法通常得不到最優解，因為操作成本和設備投資成本之間的權衡問題不能得到妥善解決。利用同步方法可以克服以上的缺點，因此，在最近幾年的研究中，學者們廣泛致力于研究有效的同步優化方法。雖然許多研究都得到了令人滿意的結果，但在實際應用中仍存在一些問題。在本文中，假設換熱網絡均利用同步方法來制定最優化問題，通過引入變量，如考慮每個操作期間中所有換熱過程的匹配、實用的換熱器、流量以及冷、熱流股的進出口溫度等來求解。

本文的第1部分首先講述傳統的多時期換熱網絡設計方法；第2部分針對傳統設計方法存在的不足，介紹現有的一種單時期最優設計方法[4]，該方法分別在每個時期建立一個 HEN設計模型，最后把各個時期產生的設計綜合起來，每個換熱器面積等于其在所有時期參與的匹配的最大面積，但是，此方法得到的換熱網絡的設備投資成本比傳統方法得到的高；分時共享機制不僅可以減少各個時期合并后所得換熱網絡的設備資本投入，同時也可提高網絡的操作靈活性；第3部分簡述一種最簡單的生成可行分時共享機制[4]的方法；然而，分時共享機制會增加換熱網絡中管線結構的復雜性，與傳統方法相比，這在一定程度上會帶來比較高的管線成本投入；第4部分將針對管線成本的問題，重點講述在任意給定位置的條件下，如何通過求解簡單的數學規劃模型自動產生換熱器的最優分布位置，使得換熱網絡中連接的管線總長度盡可能達到最少，從而一定程度上減少管線成本的耗費。

1 傳統的多時期換熱網絡設計

在真實的生產環境中，如果換熱網絡配置在單一的固定結構下，一旦每個時期的操作條件發生變化，可能就會導致換熱網絡的運作效率低下。面對這種情況，當前已經提出了很多設計方法，用以產生最佳的多時期換熱器網絡設計。在給定過程數據的基礎上，Floudas等[5-6]首先提出一個可行的HEN設計，目的是分別在每個時期產生最少的操作成本、換熱器數目和設備投資成本；Aaltola[7]首先建立混合整型非線性規劃模型（M INLP），目的是在單個步驟中產生多時期HEN設計，這個模型以Yee等提出的超結構的換熱網絡為前提；在后來的研究中，Chen等[8]提出用4個步驟來構建具有彈性的多時期HEN設計；此外，Verheyen等[9]修改了Aaltola的模型，并提出了系統的網絡綜合方法。

正如前面提到的，傳統的多時期換熱器網絡的設計可以通過解決例如Verheyen等提出的M INLP模型得到。此模型中相關物理量之間的等式和不等式約束可參見Jiang等[4]文章中的附錄A，模型的目標函數是年度總成本（TAC），如式（1）。

為了說明傳統設計方法的不足，文獻[4]根據給定的過程數據嘗試解決一個簡單的例子，表1給出了每個時期中各個匹配所需的面積，將每個匹配的最大面積相加，可以得到該換熱網絡所需的換熱器的總面積為487.4 m2。同時，根據相應的求解結果可知，傳統設計方法通常根據預先確定的操作時期的期間長度來進行模型求解，但在實際操作過程中，此方法不能適應期間長度的調整以應對供需和工藝條件的意外變化；一旦改變每個操作時期的期間長度，那么換熱網絡的操作成本就會發生變化；同時，傳統設計方法中換熱器面積的選擇會造成有些換熱器的面積在某個時期不能得到充分利用，從而帶來一定的熱交換能力浪費；再者，傳統的多時期HEN模型比其對應的單時期 HEN模型要更復雜，其計算時間隨著流股和時期數量的增加而成倍增長，結果常常導致在相應的優化運行中不能收斂。

2 單時期最優的換熱網絡設計

為了克服傳統設計方法存在的不足，文獻[4]提出了一種單時期最優的 HEN設計方法，由于其模型不受操作期間長度的約束，所以可使得換熱網絡的操作靈活性達到一個較高的水平。該設計方法首先分別在每個時期產生最優的設計模型，然后綜合所有時期得到的設計，選擇所有時期中存在的換熱器，并選定其參與的所有匹配的最大面積作為其本身的面積。此時，每個時期的M INLP模型的目標函數變成如式（2）。

模型（2）中相關物理量之間的相應約束同樣見文獻[4]中的附錄A。根據與傳統設計方法中相同的過程數據分別求解3個時期的上述模型，可以得到表2中相應的數據。從表2中可以看出，根據上述模型（2）求得的每個時期換熱器匹配的面積與傳統設計方法求得的結果不盡不同，每個時期總的換熱器面積比傳統設計方法所需要的少，綜合3個時期可以得到，換熱網絡的操作成本與傳統設計方法得到的結果基本相同，不受操作時期的期間長度的影響；但是，網絡中所有匹配所需的最大面積的總和為534.4 m2，與傳統設計方法相比，增加了設備成本的投入。因此，要想克服此方法帶來的問題，就必須引入一個能減少所有單時期網絡設計綜合得到的換熱總面積的方法。

表1 傳統設計得到的不同時期的換熱面積（m2）

表2 單時期最優設計得到的不同時期的換熱面積（m2）

3 分時共享機制

從表2可以看出，對于某些特定的匹配，在不同時期其所需要的換熱面積相差很大，有些匹配在某些時期也不存在。如果選擇每個換熱器參與的匹配在所有時期的最大面積作為其實際的面積，那么必然會導致較高的設備資本投入，同時，在有些時期會帶來換熱器面積不能得到充分利用的問題，造成熱交換能力的浪費。文獻[4]中采用一種分時共享機制來減少上述方法的設備投資成本。最簡單的一種產生分時共享機制算法的思想是：把采用單時期最優設計方法得到的每個時期所需匹配的面積大小按降序排列，從大到小給每個匹配分配換熱器，遵循每個換熱器在每個時期只能參與一個匹配的原則，最后選擇換熱器參與的所有匹配的最大面積作為其實際面積，具體算法步驟可參見文獻[4]。通過這種方法，不僅能使換熱器的面積得到充分利用，從而減少總的換熱器面積，還可以改善換熱網絡的可操作性。

根據表2的數據，按照上述產生分時共享機制的算法步驟進行設計，可以得到文獻[4]中相應的數據結果。從中可知，換熱網絡利用分時共享機制需要的換熱器個數少于傳統設計方法需要的個數，且總的換熱器面積相應地從 534.4 m2減少到 521.1 m2，降低了換熱網絡的設備投資成本。但是，由于分時共享機制中同一個匹配在不同時期可以由不同的換熱器來參與完成，所以每個時期的管線連接結構都不盡相同，綜合所有時期得到的換熱網絡的管線連接結構就比較復雜，這樣管線成本就會相應增加。

4 管線長度的優化計算

4.1 換熱器隨機放置時的管線長度計算

傳統設計方法中每個換熱器參與完成同一個匹配，其換熱網絡結構在每個時期都是固定不變的，換熱器之間管線的連接相對比較簡單。通常情況下，在進行換熱網絡結構設計時，只要換熱器參與的匹配能滿足網絡的換熱需求，可將它們隨機放置在預先給定的位置上。由表1可知，換熱網絡中需要A、B、C、D、E、F、G 7個換熱器，如果假設這些換熱器分別隨機放置在位置L1、L2、L3、L6、L5、L4、L7。同時，已知這些位置之間連接所需的管線長度如表3所示。其中，k代表行標，h代表列標；lk,h表示從位置k到位置h之間的管線長度，且對于任意的兩個位置k和h滿足：lk,h=lh,k；表中最后一行的總和代表每個位置與剩余其他位置之間連接所需的管線長度之和。根據文獻[4]中圖1的換熱網絡超結構圖可得，傳統設計方法得到的換熱網絡的7個換熱器之間管線連接情況如表4所示。表4中i代表行標，j代表列標；ui,j表示從換熱器i到換熱器j之間是否存在連接，表中管線連接的情況是根據表3每個位置上對應放置的換熱器給出的。

表3 已知給定位置之間管線連接的長度

表4 傳統設計方法得到的換熱器之間存在的連接

圖1 換熱器隨機放置時的管線連接示意圖

結合表3和表4的數據可以得到，該換熱網絡結構中總的管線長度為72.7 m2，也就是表4中取1的位置在表3中對應位置上的數據之和，此時換熱網絡的管線連接示意圖如圖1所示。圖中每個位置放置一個換熱器，雖然管線連接比較簡單，但得到的管線總長并不是最少的。

4.2 管線長度的模型優化計算

從上文可知，采用上述分時共享機制雖然可以節省很大的設備資本投入，但是該方法會增加換熱網絡結構中管線連接的復雜性。文獻[4]的附錄B給出了換熱網絡在采用分時共享機制下每個時期的管線連接圖，從中可以看出，每個時期換熱器之間的管線連接結構不盡相同。如果此時將換熱器像上述方法一樣放置在隨機固定的位置上，由于合并所有時期得到的換熱網絡中管線連接結構比較復雜，那么由此得到的總的管線成本不一定是最少的。通常情況下，在管線連接相對復雜的換熱網絡中，如何使換熱器之間連接所需的管線總長度盡可能達到最少成為了換熱網絡結構設計必須考慮的問題。在工藝條件和操作環境允許的條件下，必須在化工流程中合理放置換熱器的位置，使得換熱網絡在采用分時共享機制的情況下，一方面能提高換熱網絡的可操作性，另一方面又能使所有換熱器之間的管線長度達到最短，從而減少管線成本的投入。下面提出一個數學規劃模型，通過模型的求解自動產生換熱器的最佳位置分布，使得換熱網絡的管線總長度達到最少。

假定采用分時共享機制的多時期換熱網絡需要n個換熱器，并在換熱網絡結構設計時，將其對應放置在n個不同的位置上，且已知這n個位置之間管線連接所需的長度。以下給出管線長度的優化模型表達式，通過求解可以得到管線成本的最小值。

需要注意的是，在實際工業中，換熱網絡各個流股的流量不盡相同，從而不同管道有可能采用不同的管徑，因此流量是求解管線成本的一個重要參數。但如果增加流量這一參數，模型求解問題復雜程度會大大增加，為了簡化問題，在上述數學模型中，假定管線成本只與管線長度有關，與管線長度成正比，暫不考慮管道的形狀、大小和材質。其中，式（3）是模型的目標函數，包含矩陣的乘積計算，其作用是將放置在給定位置后每個換熱器與其他換熱器之間存在連接的管線長度進行求和，然后乘以管線單位長度的成本系數a得到管線成本；式（4）是一個約束條件，保證給定的每一個位置只能放置一個換熱器；式（5）右邊的表達式將已知的換熱網絡中換熱器之間存在連接的關系矩陣 ui,j與求得的換熱器的位置分布矩陣 pj,k進行相乘，得到等式左邊每個換熱器放置在給定位置后與其他換熱器之間連接的關系矩陣；式（6）中，將求得的換熱器的位置分布矩陣pj,k與已知的位置k和位置h之間連接所需的管線長度矩陣lk,h相乘，得到放置在給定位置后各個換熱器之間連接的管線長度矩陣p lj,h；式（7）中，lk,h為已知參數，p lj,h為實變量；式（8）中，ui,j為已知的二進制變量，pj,k、upi,k為未知的二進制變量，具體含義可見文章后面的符號說明，式（9）是集合定義，E為換熱器集合，L為給定位置的集合。

為了使采用分時共享機制得到的多時期換熱網絡的管線成本盡可能達到最小，根據文獻[4]附錄B給出的換熱網絡在每個時期的管線連接圖，可以得到所有時期存在的換熱器之間管線的連接情況如表5。從表5中可知，采用分時共享機制的換熱網絡只需要6個換熱器。

表4中，傳統設計方法用7個給定的位置來放置換熱器，為了得到較少管線的成本，可以去掉表4中與其他所有位置之間連接所需的管線總長度最長的位置L2，保留剩余的6個位置L1、L3、L4、L5、L6、L7來放置分時共享機制中的6個換熱器A、B、C、D、E、F，這樣在一定程度可減少換熱網絡所需的管線長度。這6個位置之間連接所需的管線長度如表6。需要注意的是，本部分的重點是提出使基于分時共享機制的換熱網絡中換熱器之間連接所需的管線成本達到最小的數學規劃模型，文中預先給定位置之間的管線長度只是用來求解模型的參考數據，無論數據如何，上述模型都能尋找到使得管線成本達到最少的換熱器最佳位置分布。

根據表5、表6中的數據以及模型的式（3）～式（9），在 GAMS軟件編譯環境下，選擇求解器BARON進行求解，可以得到表7～表9中相應的數據。

表5 所有單時期最優設計中換熱器之間存在的連接

表6 已知給定位置之間管線連接的長度

表7 換熱器最終的放置位置

表8 換熱器在給定位置后的連接關系

從橫向看表7可以得出，換熱器A、B、C、D、 E、F分別放在位置L3、L1、L5、L4、L6、L7，分析可知，表5和表8所包含的內容相同，不同的是，表5是換熱器未放置在給定位置前的連接關系表，而表8是換熱器在給定位置之后與其他換熱器之間的管線連接情況；表9列出了換熱器放置在給定位置后與其他換熱器之間連接所需的管線長度。根據上述模型的目標函數，將表8中取1的位置在表9中對應位置上的數相加，即得換熱網絡總的管線長度為53.2 m。這一結果是由上述模型求得的最優值，這一結果比將換熱器隨機放置在固定位置的方法要更優。

表9 換熱器之間連接的管線長度

需要強調的是，上述結果只是根據隨機一組數據求得的，并不代表其他數據情況求得的結果也類似，但是上述管線長度優化模型在實際應用中卻是可行的一種方法。根據此模型求得的換熱網絡的管線連接示意圖如圖2所示，相比圖1可以看出，此時換熱網絡中管線的連接比較復雜，但換熱器之間連接的管線長度相對比較短，從而得到的管線總長度就比較少。

5 結 論

圖2 分時共享機制下換熱器的管線連接示意圖

通過采用分時共享機制來降低換熱網絡的設備資本投入，同時提高網絡的可操作性。然而，分時共享機制在減少設備投資成本的同時也帶來了換熱網絡中管線連接的復雜性問題，這在一定程度上增加了管線的成本；本文通過求解一個數學規劃模型來優化換熱器的位置分布，使得換熱網絡管線的總成本最少。文中關于管線成本的計算，模型表達式只考慮了管線的長度，在后續工作中，將根據不同流股的流量來確定所用管道的管徑，進而更精確地計算管線的成本；在此基礎上，提出一個更加完善的管線成本優化模型，在根據不同管徑求解管線成本的同時，自動識別最差的換熱器放置位置。需要注意的是，根據文中方法產生的任何 HEN結構只能被視為一個概念性的設計，因為實際問題涉及可調范圍，可操作性和可控性等因素，所以其存在的一些不足還有待進一步解決。

符 號 說 明

Ai,j,k,p——匹配（i, j,k）在p時期所需的面積，m2

Am,p——p時期匹配m所需的面積，m2

a——管線單位長度的成本系數

CCU——冷效用換熱器的冷效用的單位成本

CE,1——換熱器固定投資成本的成本系數

CE,2——換熱器可變投資成本的成本系數

CHU——熱效用換熱器的熱效用的單位成本

CP——冷流股j的集合

CU——換熱網絡超結構外部的冷效用換熱器

DPp——p時期的期間長度，m

E——換熱器e的集合

HP——熱流股i的集合

HU——換熱網絡超結構外部的熱效用換熱器

L——給定位置的集合

lk,h——已知的位置k與位置h之間的管線長度，m

M——所有匹配m的集合

NOK——換熱網絡超結構的層級總數

NP——在一年內操作時間的總長度，m

P——所有時期p的集合

PR——操作時期的集合，p=1,??,NP

p——操作時期

Pj,k——模型求解得到的換熱器j是否放在位置k的二進制變量

plj,h——模型求解得到的換熱器j在放置的位置與放置

在位置h的換熱器之間的管線長度，m

r——年度因子

ST——超結構層級的集合， k=1,......,NOK

ui,j——已知的基于分時共享機制的換熱網絡中換熱器i與換熱器j之間是否存在連接的二進制參數

upi,k——放置換熱器i的位置與放置在k位置的換熱器是否存在連接的二進制變量

xe——換熱器e實際的面積，m2

ye——換熱器e是否參與分時共享機制的二進制變量

zi,j,k——匹配(i,j,k)是否出現在網絡中的二進制變量

β ——換熱器面積指數因子

λ ——匹配m在p時期中所需面積上限值的約束參數

φ ——換熱器e投資成本的函數下角標

i ——熱流股或熱效用換熱器

j ——冷流股或冷效用換熱器

k ——換熱網絡超結構的層級

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