傅里葉分析的發(fā)展與現(xiàn)狀

曾海東+韓峰+劉瑤琳

摘 要： 在計算機技術(shù)的支持下傅里葉分析得到了充分的發(fā)展。離散傅里葉變換（DFT）奠定了工程應用的基礎(chǔ)； 快速傅里葉變換（FFT）使其進入到了實用階段。21世紀以來，高速微處理器使得速度不再是制約傅里葉分析的主要因素。由于高端科技對高準確度分析的需求，解決非同步采樣條件下頻譜誤差問題成了現(xiàn)階段最為迫切的任務。已有頻譜校正成果采用了基本傅里葉理論以外的技術(shù)方法，開啟了一個以尋求普適性頻譜分析方法為目標、DFT后方法為主的發(fā)展方向。

關(guān)鍵詞： 傅里葉分析； DFT/FFT； DFT頻譜校正； 參數(shù)估計

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）03?0144?04

Development and current situation of Fourier analysis

ZENG Hai?dong， HAN Feng， LIU Yao?lin

（Collage of Mechanical Engineering， Inner Mongolia University of Technology， Huhhot 010051， China）

Abstract： With the support of computer technology， Fourier analysis has been fully developed. Discrete Fourier transform （DFT） lays the foundation of engineering application. The fast Fourier transform （FFT） lead it to applicable stage. Since 21st century， speed is no longer the main factor restricting the application of Fourier analysis owing to the development of high speed microprocessor. In order to satisfy the requirement of sophisticated techniques for high accuracy analysis， solving spectrum error under asynchronous sampling has become the most urgent task at present. Some techniques beyond the basic Fourier theory have been adopted in current spectrum correction works， which implies a post?DFT developing direction for seeking universal spectrum analysis method.

Keywords： Fourier analysis； DFT/FFT； DFT spectrum correction； parameter estimation

0 引 言

傅里葉分析已有200多年的歷史，目前FFT及其校正算法在工程實際中仍在廣泛應用，展現(xiàn)了其不竭的生命力。從傅里葉分析的概念提出，理論完善到面向工程應用以及各種頻譜分析技術(shù)的出現(xiàn)，每一次里程碑式的跨越，都以計算機技術(shù)的發(fā)展為推動力。傅里葉分析方法發(fā)展到目前已經(jīng)在信號處理、圖像處理、電力和通信等領(lǐng)域獲得極為廣泛的應用，但是由于傅里葉頻譜分析理論一直無法解決非同步采樣信號的分析問題，這就迫使該領(lǐng)域的學者必須以一個新的角度來審視這一現(xiàn)狀，嘗試傅氏理論體系以外的技術(shù)方法，只有這樣才能為今后離散傅里葉分析方法注入新的活力，改變當前高準確度頻譜分析方法進展緩慢的狀態(tài)。

1 傅里葉分析理論的確立

傅里葉（J.Fourier，1768?1830），法國數(shù)學家和物理學家，早在1807年就寫成關(guān)于熱傳導的基本論文《熱的傳播》，其中最大的創(chuàng)新點是用正弦曲線來描述溫度的分布。文中有個具有爭議性的決斷：任何連續(xù)的周期信號都可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成。當時審查這篇論文的著名數(shù)學家拉格朗日，認為這種方法無法表示帶有棱角的信號，因此否定了傅里葉的工作。

1811年傅里葉又提交了經(jīng)過修改的論文，推導出了著名的熱傳導方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)的級數(shù)表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)這一論斷。傅里葉級數(shù)、傅里葉變換理論均由此創(chuàng)立。1822年，傅里葉終于出版了專著《熱的解析理論》。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅里葉的名字命名[1]。

2 離散傅里葉分析方法的提出

DFT的提出是傅里葉分析發(fā)展的第一個里程碑，它使得有限長的離散信號可以被變換到頻域處理。DFT經(jīng)歷了漫長的理論研究階段，主要由兩個原因造成：DFT算法計算量較大；當時的硬件技術(shù)水平有限，無法完成如此大規(guī)模的計算。電子計算機的出現(xiàn)及其發(fā)展有力地推動了DFT算法的工程應用。本文將結(jié)合電子計算機的發(fā)展所經(jīng)歷的四個時期來概括DFT的發(fā)展過程。

從硬件上劃分，電子計算機的發(fā)展大概經(jīng)歷了電子管、晶體管、集成電路和大規(guī)模集成電路四個時代[2]。

第一臺電子計算機誕生于在二戰(zhàn)期間，于1946年問世，當時取名為ENIAC電子數(shù)字積分器和計算機[3]，整機約有18 000個電子管，這個占地面積達170 m2、重達30 t的龐然大物，進行加法運算需要0.2 ms，乘法運算需要0.8 ms。若不計計算機數(shù)據(jù)存取過程消耗的時間，單從運算所消耗的時間來衡量，做一次1 024點的DFT運算就需要一個多小時。并且由于第一代計算機的特點是，操作指令是為特定任務而編制的二進制機器碼，每種機器有各自不同的機器語言， DFT運算的機器化根本無法實現(xiàn)。當時的計算機主要用于科學研究和工程計算，功能的單一性使得在當時的硬件條件下DFT應用可望而不可即。

第二代電子計算機的內(nèi)部元件使用的是晶體管。1954年美國貝爾實驗室研制出第一臺晶體管計算機TRADIC，該機裝有大約800只晶體管，進行加法計算降低到了15 μs。晶體管比電子管小得多，處理更迅速、更可靠。此時的電子計算機主要用于商業(yè)、大學教學和政府機關(guān)。這個時期出現(xiàn)了一些高級計算機語言，以單詞、語句和數(shù)學公式代替了二進制機器碼，使計算機編程更容易。計算機語言的高級化是后期DFT算法實現(xiàn)的重要基礎(chǔ)。1958年集成電路誕生，更多的元件可以被集成到單一的半導體芯片上。于是，計算機變得更小，功耗更低，速度更快。1953年，美國IBM公司開始批量生產(chǎn)用于科研的大型計算機，從此電子計算機走上了工業(yè)生產(chǎn)階段。1964年4月7日，美國IBM公司研制成世界上第一個采用集成電路的通用計算機系列IBM360，加法平均周期是8 μs，這標志著第三代電子計算機已經(jīng)成型。不計讀取指令消耗的時間，運行一次1 024點DFT至少需要128 s，基本解決了一般的離線應用問題。

3 快速傅里葉算法及其應用

20世紀60年代初，在Garwin的研究中迫切需要解決快速傅里葉變換的問題，而Turkey正在做該方面的研究，他概括地對Garwin介紹了一種方法，實質(zhì)上就是后來著名的Cooley?Turkey算法，在Garwin的迫切要求下，1963年，IBM公司的Cooley根據(jù)Turkey的想法編寫了第一個FFT算法程序[4]。1965年Cooley、Turkey在Mathematic of Computation 雜志上發(fā)表了著名的“An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series” [5]，提出一種快速計算DFT的方法和計算機程序，揭開了FFT發(fā)展史上的第一頁。該算法使得1 024個點的DFT運算時間降到了原來的[1100，]為傅里葉分析方法賦予了新的生命力，之后被廣泛地應用于工程技術(shù)領(lǐng)域中，所以FFT是傅里葉分析方法發(fā)展的第二個輝煌的里程碑。

在FFT提出時，算法速度依然是制約離散傅里葉變換方法工程應用的主要因素，從FFT的提出到70年代中期，該領(lǐng)域?qū)W者依然集中在提高算法速度的一系列研究上，其思路基本延續(xù)了FFT算法的思路，主要包括時間軸取基2算法[5]、頻域抽取基2算法[6]、基4算法等。

4 頻譜校正技術(shù)的誕生與演化

在眾多該領(lǐng)域研究者致力于算法速度提升的同時，有部分學者注意到DFT在非同步采樣時存在誤差。以單頻信號為例，如果將離散數(shù)據(jù)序列直接進行頻譜分析，其幅值最大誤差可達36.4%，相位最大誤差高達90°，頻率最大誤差為±0.5個頻率分辨率。于是這部分學者開始了對DFT頻譜校正方法的研究：Rife和Vincent在1970年首次提出快速插值傅里葉算法（IFFT），單頻信號的幅值校正精度可達10-3，頻率精度可達[7]0.001[Δf。]插值法對后續(xù)DFT頻譜校正理論的發(fā)展影響巨大，至今仍然有人在研究其改進型算法，插值法的提出標志著頻譜校正方法研究悄悄地拉開帷幕，它是在DFT頻譜獲得后對其進行處理，即稱為DFT后頻譜分析方法，這使得離散傅里葉分析方法的分析精度顯著提高，使傅里葉分析理論又向前邁了一步。

第四代計算機在70年代初問世，采用大規(guī)模集成電路制造。高度的集成化使得計算機的中央處理器和其他主要功能可以集中到同一塊集成電路中，這就是人們常說的“微處理器”。1971年英特爾公司研制成第一臺微處理器“4004芯片”，將2 300個晶體管集成在面積僅為4.2 mm×3.2 mm的芯片上。從此微處理器的發(fā)展進入了快速發(fā)展時期。1981年，IBM以Intel8088為CPU的個人計算機問世，開創(chuàng)了今天的“微機”時代。微處理器的問世真正實現(xiàn)了計算機技術(shù)向各領(lǐng)域的滲透。計算速度的飛速發(fā)展是后續(xù)DFT算法由速度研究慢慢轉(zhuǎn)向精度研究的一個重要原因。

在20世紀70年代中期到80年代中期，對提高DFT算法速度的研究達到了一個巔峰，這個時期里主要以Good開創(chuàng)的算法[8]為主導，在該算法的基礎(chǔ)上，一維DFT可映射成多維DFT[9]，美國數(shù)學家Winograd設(shè)計了計算這個多維DFT的方法[10]，也就是現(xiàn)在的Winograd Fourier變換算法（WFTA），這曾對DFT算法研究產(chǎn)生過重大影響，其所需要的乘法次數(shù)大約是基2FFT所需乘法次數(shù)的[13，]此時基2類算法仍在繼續(xù)發(fā)展，在實踐中由于WFTA算法并不像人們預期的那樣有效，人們又轉(zhuǎn)回來研究基2類算法，這也是FFT發(fā)展的第三個時期。

在這個期間，研究頻譜誤差校正技術(shù)的學者們也越來越多，新的成果陸續(xù)發(fā)表，1975年，John C. Burges等從事電學領(lǐng)域研究工作的學者采用插值法[11]對加矩形窗的離散化頻譜進行了校正， 解決了電學中的離散高次諧波參數(shù)的精確測量問題。1983年，Thomas Grandke首次提出加窗插值算法，使頻譜分析精度大大提高[12]。對單頻信號的分析精度，最大幅值精度小于10-4，頻率誤差小于[0.000 1Δf，]相位誤差小于1°。

從20世紀80年代中期到20世紀90年代中期是個過渡階段，電子計算機的硬件的發(fā)展步入了大規(guī)模集成電路時期，1985年，Intel386型芯片可進行多任務處理。微軟首次發(fā)布Windows操作系統(tǒng)，這個時期計算機的速度已近發(fā)展到每秒以億次來計了，計算機硬件的發(fā)展極大地推動了計算的實時性的實現(xiàn)。此時，離散頻譜分析研究領(lǐng)域的研究重點大部分轉(zhuǎn)移到DFT分析的精度上了。除了繼承前期經(jīng)典的加窗插值校正方法外，又有一些新的技術(shù)方法產(chǎn)生。1993年丁康和謝明提出了三點卷積法，1994年，謝明、丁康等提出和發(fā)展了比值頻譜校正法[13]，使內(nèi)插法系統(tǒng)地成為一種通用的頻譜校正方法。20世紀90年代中期，科技進步對計算機發(fā)展產(chǎn)生了極大的推動力，運行一次1 024點的FFT需要3 ms。直到今天，運行一次這樣的運算所花費的時間已經(jīng)降到了微秒級。近幾年，工業(yè)生產(chǎn)對頻譜分析精度的要求也越來越高，促使一大批學者致力于頻譜誤差的研究。研究的信號也越來越豐富，涉及的行業(yè)和領(lǐng)域也越來越廣。校正信號種類也由以前的單頻信號發(fā)展到多頻信號。1995年劉進明、應懷樵對FFT譜的局部頻譜進行細化分析，提出了FFT+FT法[14]，通過該方法對三個頻率成分（頻率間隔較遠）的信號進行校正，頻率誤差小于0.1%，幅值誤差在0.5%左右，相位誤差在0.5°之內(nèi)。1996年Andria和他的同事進一步將內(nèi)插法擴展到非穩(wěn)態(tài)信號的瞬時估計中。2001年丁康、朱利民等發(fā)展了能量重心校正法。2005年吳國喬， 王兆華和黃曉紅提出了離散頻譜的全相位校正法。2007年丁康、楊志堅和曹翌提出了相位差法+單點FT法。2007年秦樹人等提出頻域抽取法。2008年陳奎孚等人提出了低頻信號的一種DFT頻譜校正新方法[15]，在低頻信號條件下（周期數(shù)從1到8，步長0.02），進行單頻信號仿真實驗，結(jié)果表明幅值誤差上限不超過0.3%，相位誤差不超過0.3°。這些成果表明DFT后頻譜分析方法進入到了百花齊放的階段，但是由于傅里葉頻譜分析理論的缺失而造成的頻譜誤差問題仍未徹底消除。

5 結(jié) 語

為了克服DFT對同步采樣的不適應性，在先前的30年里嘗試了許多的DFT頻譜校正方法，但是仍存在以下問題：

（1） 信號適用性差。多數(shù)校正方法僅適用于單頻信號，或者間隔較遠的多頻信號（實際上是將間隔較遠的多頻信號分別按單頻信號校正）；在極端信號條件下（極近頻率、極低頻率和低信噪比）還存在許多不足[16]。

（2） 無法徹底解決頻譜干涉問題[17]]。這也是現(xiàn)有校正方法針對一些特殊信號無法有效使用的主要原因。顯然，目前信號頻譜分析的水平與現(xiàn)代高端科學技術(shù)的要求越來越不適應。面對這一現(xiàn)狀，雖然可以通過頻譜細化等手段來盡量降低譜線干涉對頻譜準確度的影響，但無法從譜線的構(gòu)成機理上徹底消除該誤差，因而制約了高準確度頻譜分析技術(shù)的發(fā)展。

展望未來DFT頻譜校正技術(shù)的發(fā)展，預期最有效的方法是通過建立模型來實現(xiàn)干涉成分的徹底分離，進而給出高準確度的DFT頻譜。通過建立解析模型實現(xiàn)理論上的精確求解，達到徹底消除柵欄效應和譜線干涉誤差的目的。已有學者開始了這方面的研究[15，18，19]。從工程實用角度來看，這些方法還存在實時性差的問題，但從理論上開啟了一個新的研究方向。

總體來講，DFT后頻譜分析理論將得到新的突破，并終將獲得能夠消除頻譜誤差、信號適應性強的普適性的頻譜分析方法。

參考文獻

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5 結(jié) 語

為了克服DFT對同步采樣的不適應性，在先前的30年里嘗試了許多的DFT頻譜校正方法，但是仍存在以下問題：

（1） 信號適用性差。多數(shù)校正方法僅適用于單頻信號，或者間隔較遠的多頻信號（實際上是將間隔較遠的多頻信號分別按單頻信號校正）；在極端信號條件下（極近頻率、極低頻率和低信噪比）還存在許多不足[16]。

（2） 無法徹底解決頻譜干涉問題[17]]。這也是現(xiàn)有校正方法針對一些特殊信號無法有效使用的主要原因。顯然，目前信號頻譜分析的水平與現(xiàn)代高端科學技術(shù)的要求越來越不適應。面對這一現(xiàn)狀，雖然可以通過頻譜細化等手段來盡量降低譜線干涉對頻譜準確度的影響，但無法從譜線的構(gòu)成機理上徹底消除該誤差，因而制約了高準確度頻譜分析技術(shù)的發(fā)展。

展望未來DFT頻譜校正技術(shù)的發(fā)展，預期最有效的方法是通過建立模型來實現(xiàn)干涉成分的徹底分離，進而給出高準確度的DFT頻譜。通過建立解析模型實現(xiàn)理論上的精確求解，達到徹底消除柵欄效應和譜線干涉誤差的目的。已有學者開始了這方面的研究[15，18，19]。從工程實用角度來看，這些方法還存在實時性差的問題，但從理論上開啟了一個新的研究方向。

總體來講，DFT后頻譜分析理論將得到新的突破，并終將獲得能夠消除頻譜誤差、信號適應性強的普適性的頻譜分析方法。

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5 結(jié) 語

為了克服DFT對同步采樣的不適應性，在先前的30年里嘗試了許多的DFT頻譜校正方法，但是仍存在以下問題：

（1） 信號適用性差。多數(shù)校正方法僅適用于單頻信號，或者間隔較遠的多頻信號（實際上是將間隔較遠的多頻信號分別按單頻信號校正）；在極端信號條件下（極近頻率、極低頻率和低信噪比）還存在許多不足[16]。

（2） 無法徹底解決頻譜干涉問題[17]]。這也是現(xiàn)有校正方法針對一些特殊信號無法有效使用的主要原因。顯然，目前信號頻譜分析的水平與現(xiàn)代高端科學技術(shù)的要求越來越不適應。面對這一現(xiàn)狀，雖然可以通過頻譜細化等手段來盡量降低譜線干涉對頻譜準確度的影響，但無法從譜線的構(gòu)成機理上徹底消除該誤差，因而制約了高準確度頻譜分析技術(shù)的發(fā)展。

展望未來DFT頻譜校正技術(shù)的發(fā)展，預期最有效的方法是通過建立模型來實現(xiàn)干涉成分的徹底分離，進而給出高準確度的DFT頻譜。通過建立解析模型實現(xiàn)理論上的精確求解，達到徹底消除柵欄效應和譜線干涉誤差的目的。已有學者開始了這方面的研究[15，18，19]。從工程實用角度來看，這些方法還存在實時性差的問題，但從理論上開啟了一個新的研究方向。

總體來講，DFT后頻譜分析理論將得到新的突破，并終將獲得能夠消除頻譜誤差、信號適應性強的普適性的頻譜分析方法。

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