高一階段函數(shù)與方程思想的滲透

游娟

摘 要： 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想，數(shù)學(xué)活動(dòng)的一般概括.它從整體和思維的更高層次上指導(dǎo)學(xué)生有效地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)、完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，探尋解題的方向和途徑.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，它用聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)研究、描述客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依存關(guān)系.函數(shù)思想以函數(shù)知識(shí)做基石，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究數(shù)學(xué)對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，豐富并優(yōu)化數(shù)學(xué)解題活動(dòng).

關(guān)鍵詞： 函數(shù)思想 方程思想 函數(shù)與方程思想 高一數(shù)學(xué)教學(xué)

高中階段的數(shù)學(xué)用到的基本思想有：函數(shù)與方程思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想.而其中的函數(shù)與方程思想是每年高考的熱點(diǎn)之一，高中階段第一次出現(xiàn)在蘇教版必修一的第三章.所以深入研究函數(shù)與方程思想對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)起非常大的作用.

函數(shù)思想，就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想，分析和研究數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系，建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析問題，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題的目的，從而使問題獲得解決的思想；方程思想，就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的思想.

函數(shù)與方程是密不可分的，函數(shù)y=f（x）中的f（x）如果為0，就可以轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0.函數(shù)與方程思想就是把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，例如求函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)方程的根，或者把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，例如求方程的根的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).蘇教版必修一的第三章引入的函數(shù)與方程思想，主要體現(xiàn)在求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，就是確定函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；求f（x）=g（x）的根或根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖像的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù).

一、函數(shù)思想

所謂函數(shù)思想，就是在根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，解決問題的思想.

1.構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)答題.

例1：（1）比較大小：lg15；lg6；6■，8■；（2）證明方程x·2■=1至少有一個(gè)小于1的正實(shí)根.

分析：（1）分別構(gòu)造函數(shù)y=lgx和y=x■，利用其單調(diào)性比較大小；（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=x·2■-1，驗(yàn)證f（0）·f（1）的符號(hào)即可.

解：（1）構(gòu)造函數(shù)y=lgx，其在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，因?yàn)?5>6，所以lg15>lg6；構(gòu)造函數(shù)y=x■，其在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，因?yàn)?>8，所以6■>8■；（2）令f（x）=x·2■-1，則f（x）的圖像在R上是一條連續(xù)不間斷的曲線.所以，f（0）=0×2■-1=-1<0，f（1）=1×2■-1=1>0.所以f（0）·f（1）<0，所以f（x）=x·2■-1在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程x·2■=1至少有一個(gè)小于1的正實(shí)根，得證.

點(diǎn)評(píng)：解有關(guān)不等式、方程、比大小的問題，可以通過構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的圖像和性質(zhì)，使問題更直觀形象，充分利用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程思想，為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2.利用函數(shù)思想解答有關(guān)實(shí)際應(yīng)用題.

例2：某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特地修了一條專用鐵路，用一列火車作為交通車，已知該車每次拖4節(jié)車廂，一日能來回16次，如果每次拖7節(jié)車廂，則每日能來回10次.若每日來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂能乘載乘客110人.問這列火車每天來回多少次才能使運(yùn)營(yíng)人數(shù)最多？并求出每天最多運(yùn)營(yíng)人數(shù).

分析：建立目標(biāo)函數(shù)，再求函數(shù)的最值.

解：設(shè)每日來回y次，每次掛x節(jié)車廂，由題意，再設(shè)y=kx+b（k≠0），

方程組16=4k+b10=7k+b，k=-2b=24，所以y=-2x+24.

由題意知，每日運(yùn)營(yíng)車廂節(jié)數(shù)最多時(shí)，運(yùn)營(yíng)人數(shù)最多，設(shè)每日運(yùn)營(yíng)S節(jié)車廂，則S=xy=x（-2x+24）=-2（x-6）■+72，所以當(dāng)x=6時(shí)，S■=72，此時(shí)y=12.

則每日最多運(yùn)營(yíng)人數(shù)為7920人.

答：這列火車每天來回12次，才能使運(yùn)營(yíng)人數(shù)最多，每天最多運(yùn)營(yíng)人數(shù)為7920人.

點(diǎn)評(píng)：通過建立函數(shù)解決實(shí)際問題要注意定義域，根據(jù)定義域來求函數(shù)的最值.

二、方程思想

通過換元，構(gòu)成已經(jīng)學(xué)過的方程求解.

例3：關(guān)于x的方程9■+a·3■+3=0恒有解，求a的取值范圍.

分析：通過換元將其變?yōu)橐辉畏匠毯阌姓膯栴}，同時(shí)利用韋達(dá)定理解題.

解：設(shè)3■=t，則t>0.由題意得，方程t■+a·t+3=0有正根，

所以Δ≥0x■+x■=-a>0x■x■=3>0即a■-4×3≥0a<0，所以a≤-2■.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于類似于一元二次方程的復(fù)雜方程，可以通過換元將問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的方程求解.

三、函數(shù)方程思想

有的題目需要根據(jù)函數(shù)與方程之間的相互關(guān)系而互相轉(zhuǎn)換.

例4：（2008天津卷改編）設(shè)a>1，若對(duì)任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a■]滿足方程log■x+log■y=3，此時(shí)a的取值集合為？搖 ？搖.

分析：本題看上去是考查含參數(shù)的方程，實(shí)際上是以含參數(shù)方程為載體，考查函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)思想，所以解這道題目的基本思路：方程問題函數(shù)化.由方程，可得xy=a■（x>0，y>0），把x看成自變量，y看成應(yīng)變量，可以得到函數(shù)y=a■/x在區(qū)間[a，2a]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y=a■/x在區(qū)間[a，2a]上的值域是[a■/2，a■]，由題意∈[a■/2，a■]？哿[a，2a]，所以a≤a■/2

函數(shù)與方程的思想是高考的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，很多學(xué)生拿到類似的題目無從下手，不會(huì)變通，所以在上必修一函數(shù)與方程這一節(jié)時(shí)，教師要充分利用函數(shù)的零點(diǎn)及二分法的有關(guān)內(nèi)容不斷強(qiáng)調(diào)，向?qū)W生灌輸如果從函數(shù)無從下手，就變成方程，如果方程不會(huì)解，就通過函數(shù)解決的思想，進(jìn)而深化數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過不斷練習(xí)，不同的變式訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生的記憶與理解.只有這樣，才能讓學(xué)生在高考中能自然地運(yùn)用函數(shù)方程思想，而不是生搬硬套.

學(xué)習(xí)函數(shù)方程的思想不是一兩節(jié)就能掌握的，需要通過長(zhǎng)時(shí)間的努力滲透，包括以后學(xué)的三角函數(shù)、數(shù)列、不等式，都運(yùn)用到了這一思想，高一的基礎(chǔ)是非常重要的，所以也要求教師一定要在高一讓學(xué)生弄懂并會(huì)運(yùn)用這一思想.