矩形張拉膜結構的應變分析

（重慶水利電力職業技術學院，重慶402160）

矩形張拉膜結構的應變分析

郭建軍

（重慶水利電力職業技術學院，重慶402160）

該文利用彈性力學理論推導了滑動邊界條件下的各向同性膜材在預張力作用下的應變計算公式，并計算了PVDF薄膜和ETFE薄膜在各級預張力作用下的縱向應變和橫向應變，為張拉膜結構的設計、施工和維護提供了理論依據。

膜結構；滑動邊界；各向同性；應變分析；經向；緯向；預張力

0　引言

膜結構是一種完全不同于鋼筋混凝土結構、鋼結構等傳統結構的新型建筑結構，在這種結構體系中,膜既是圍護結構又是受力結構[1]。膜結構以其良好的自潔性、隔熱性以及高強耐久、造型新穎和自重輕等優點廣泛應用于各類休閑小品、輕型大跨度無柱空間或輕型屋蓋建筑結構[2]。以薄膜為主要材料的膜結構得到了很大的發展，在很大程度上取決于薄膜材料技術的進步。用于膜結構的薄膜材料可分為織物類膜材和非織物類膜材兩大類。其中織物類膜材常用的有PVC涂層覆蓋聚酯纖維織物（以下簡稱PVC膜材）以及PTFE涂層覆蓋玻璃纖維織物（以下簡稱PTFE膜材）。在非織物類膜材中,以ETFE薄膜最具代表性和競爭性。國內有名的ETFE膜材工程是北京奧運會的“鳥巢”和水立方[3-5]。由于張拉膜結構是一種張力結構,只有在一定的張力作用下它才有一定的形狀和剛度,因而膜結構建筑表現了力的平衡美,是一種受力最為合理的結構形式。采用輕質膜材,同時輔以柔性拉索、輕型鋼桁架的結構形式,可以很好地達到大跨度、覆蓋大空間的目的[2，6，7]。

但是膜材在張力作用下會發生變形，導致膜面松弛，失去初始張拉平衡體系；膜材表面涂層產生裂紋，膜面防水性能降低；膜面厚度減小，透光率和隔熱性能發生改變等。目前國內外沒有相關文獻專門研究膜材在張拉力作用下的應變，本文取張拉膜結構單元為研究對象，利用彈性力學理論，推導出了膜面的應變公式；并舉例對比了織物膜材和非織物膜材在張拉力作用下厚度變化的小。

1　薄膜應變公式

根據《膜結構技術規程》4.1.2條和5.2.3條[7]可得出，在膜結構的設計和施工過程中，膜材膜面的預張力都在膜材彈性變形范圍內。而實際工程中，由于膜結構預張力測量的不規范，很多膜結構的實際預張力沒有達到規定的取值范圍；所以可以在膜材彈性變形范圍內考慮其應力和應變的關系。

為了更好地運用彈性力學公式求解該問題，首先做如下假定：（1）施加的張拉應力在膜材的彈性極限范圍內，即假定膜材發生完全彈性變形；（2）膜材在經向和緯向是均勻的，即假定膜材的彈性常數不隨經向或緯向的位置坐標而變[8]。張拉膜結構的膜材厚度很薄，只在膜邊受平行于膜面并且不沿厚度變化的面力，所以按平面應力問題進行分析計算。由于膜材很輕，可以忽略重力，膜材是靜止的，也沒有慣性力，所以膜材的體力為零。建立如圖1所示的坐標系。

圖1　滑動邊界條件的矩形薄膜

在完全彈性的各向同性體內，根據胡克定律可以得出膜材的形變分量和應力的關系如下：

式中E是彈性模量（若膜材是正交異性，那么Ex和Ey分別表示兩個正交方向的彈性模量）;μ是泊松比（若膜材是正交異性，那么μx和μy分別表示兩個正交方向的泊松比）。

在平面應力問題中，σz=0，所以（1）簡化為：

為此需要求出薄膜的應力分量σx和σy的分布情況，即求出應力分布，根據彈性力學理論在體力為零的情況下，應力分量σx、σy和τxy應滿足平衡微分方程：

以及相容方程：

并在邊界上滿足應力邊界條件。

平衡微分方程（3）是一個齊次線性方程組，它的通解為：

其中Φ是根據（3）式而假定的一個應力函數。

將（5）式中的應力分量σx和σy的表達式代入（4）可得

需要求解一個合適的應力函數Φ，然后求出應力分量σx、σy和τxy，并且這些應力分量必須滿足應力邊界條件；設Φ=Ax2+ Bxy+Cy2，其中A、B、C是待定常數。則根據（5）式可得：

在給定張拉力情況下，可得出膜材全部邊界上的面力：

由于圖1所建坐標系滿足膜材的經向和緯向的邊界分別與x和y坐標軸垂直（注意應力邊界值與對應面力分量的正負，當邊界的外法線沿坐標軸正方向時，兩者的正負號相同；當邊界的外法線沿坐標軸負方向時，兩者的正負號相反），則可簡化得出，在經向邊界面上，張拉邊界應力為：

將（7）式代入（9）～（11）式，并注意有τxy=τyx，可得：

即在邊界面力相等的情況下，將（13）式代入（7）式得出應力分量：

將（15）式代入（2）式可得：

2　ETFE膜結構算例分析

某ETFE薄膜的彈性模量E=650MPa，泊松比μ=0.42，厚度h=0.3mm，取矩形的邊長為a=2m、b=1m；張拉力Noy=2Nox。根據公式（16）計算出在不同的預張力下Nox下薄膜的應變,見表1。

表1　ETFE薄膜在張拉力作用下的應變（張拉力單位(kN/m)）

為了分析ETFE薄膜在張拉下的應變，用傳統的PVDF薄膜星益達膜材與之比較分析。星益達膜材的參數如下：經向彈性模量Ex=1520.8MPa，經向泊松比μx=0.4，緯向彈性模量Ex= 1292.9MPa，緯向泊松比μ=0.39，厚度h=0.83mm，取矩形的邊長為a=2m、b=1m；張拉力Noy=2Nox。

由于（16）式適用于各向同性膜材，而星益達是正交異性的編制膜材，所以分別假定以下兩種情況：取彈性模量E1=Ex= 1520.8MPa，泊松比μ1=μx=0.4，按各向同性彈性材料求其應變；取彈性模量E2=Ex=1292.9MPa，泊松比μ2=μx=0.39，按各向同性彈性材料求其應變。計算結果見圖2～圖5。

圖2　ETFE膜材和星益達膜材Z向應變與張力的關系圖

圖3　ETFE膜材和星益達膜材X向應變與張力的關系圖

圖4　ETFE膜材和星益達膜材Z向變形與張力的關系圖

圖5　ETFE膜材和星益達膜材X向變形與張力的關系圖

根據圖2可以看出，在相同預張力的作用下，ETFE膜材的Z向厚度變化量明顯大于星益達膜材的Z向厚度變化量,ETFE膜材的最大厚度減少量可以達到原厚度的4%，約為星益達膜材最大厚度減少量的10倍。同樣可以由圖3得出，在同等張拉力作用下，ETFE膜材的X向縱向伸長量明顯大于星益達膜材的X向縱向伸長量,ETFE膜材的最大縱向伸長量可以達到原長度的3%，約為星益達膜材最大縱向伸長量的6倍。在圖4和圖5中，將膜材的厚度和邊長分別考慮進去，更加直觀地看到，相對于星益達膜材，ETFE膜材的厚度減少量和縱向伸長量隨預張力的增加而增加的量要大得多，所以可以看出ETFE膜材對預張力更加敏感。

3　結論

本文推導了滑動邊界條件下的各向同性膜材在預張力作用下的應變計算公式，并計算了星益達（PVDF）和ETFE薄膜在各級預張力作用下的厚度和縱向伸長量的變化量，可以看出ETFE膜材相對于傳統的正交異性的編織膜材，對預張力更加敏感，所以在膜結構的設計過程中要充分考慮不同膜材的設計原則應有所區別，ETFE膜材本身就比傳統的編織膜材更薄，透光率更大；在張拉膜結構中，其厚度的減少量可以達到0.04h，這將影響到膜結構的松弛、防水性能、透光率和隔熱效果等。

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[2]劉雍，馬敬安.紡織膜結構材料及其發展趨勢綜述[J].天津紡織科技，2006（1）:2-8.

[3]商欣萍，儲才元.建筑用膜結構材料[J].產業用紡織品，2001，19（133）:12-15.

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[5]沈世釗.膜結構——發展迅速的新型空間結構[J].哈爾濱建筑大學學報，1999，32（2）:11-15.

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[8]徐芝綸.彈性力學：上冊[M].北京：高等教育出版社，2006:21-34.

責任編輯：孫蘇，李紅

Strain Analysis of Rectangular Tensioned Membrane Structure

The elasticity theory is used to derive the formula of tensioned isotropic membrane under the slip boundary condition.And the longitudinal and transverse strains of the PVDF membrane and ETFE membrane in the pre-tension levels are calculated.It provides a theoretical basis for the design, construction and maintenance of the tensioned membrane structure.

membrane structure;slip boundary condition;isotropic;strain analysis

TU311

A

1671-9107（2014）07-0052-03

10.3969／j.issn.1671-9107.2014.07.052

2014-02-24

郭建軍（1986-），男，四川南充人，研究生，講師，主要從事力學、建筑科學與工程學研究。