魯棒Kalman濾波陀螺隨機噪聲AR快速/實時建模

黃 磊，趙亞琴

（南京林業大學機電學院自動化系，江蘇 南京 210037）

魯棒Kalman濾波陀螺隨機噪聲AR快速/實時建模

黃 磊，趙亞琴

（南京林業大學機電學院自動化系，江蘇 南京 210037）

針對傳統陀螺隨機噪聲的AR建模方法收斂速度慢、所需樣本多等問題，提出新的基于魯棒Kalman濾波的陀螺隨機噪聲AR建模方法。該方法將AR模型參數作為系統的狀態量，采用未知時變的噪聲統計估值器估計觀測噪聲的均值和方差，通過Kalman濾波估計出AR模型參數。實驗結果表明：這種AR建模方法具有收斂速度快，時間開銷少的優點。當有新的噪聲數據到來時，還能使建立的AR模型得到及時更新，提高建模準確度，適用于快速建模或陀螺隨機噪聲具有強時變性的工程場合。

捷聯慣性導航系統；陀螺隨機噪聲建模；魯棒Kalman濾波器；時間序列

0 引 言

在捷聯慣導和組合導航系統中，經常要對陀螺儀的誤差建模，通過補償手段提高陀螺儀的使用精度[1-3]。陀螺儀的輸出誤差由確定性誤差（如零偏、刻度因數誤差等）和隨機誤差構成。確定性誤差一般可以通過實驗標定的方法加以補償。隨機誤差只能從信號處理的角度，建立誤差的數學模型，繼而采用濾波等手段消除。在這個過程中基于時間序列建模的方法得到了廣泛應用。

當前對陀螺儀隨機噪聲的時間序列建模很多是基于AR（自回歸）模型進行的[4-5]。傳統的AR建模方法有最小二乘法、Yule-Walker方程估計法等，但這些傳統的建模方法所需樣本數據較多，且不能及時反映陀螺隨機噪聲的時變特性。為解決這一問題，本文提出了基于魯棒卡爾曼濾波的陀螺隨機噪聲AR建模方法。

1 陀螺隨機噪聲的平穩隨機性檢驗和定階

對某國產MEMS(微電子機械)陀螺進行地面靜態實驗，所獲得的噪聲數據如圖1所示（共50000點）。數據采樣率為14Hz，單位：deg/s。經檢驗該數據含有一定的常值項（由地球自轉角速度和陀螺的零偏等引起）。經一階差分去除常值趨勢項后，得到滿足平穩隨機性要求的隨機噪聲數據。分析該噪聲的自相關和偏相關特性，發現自相關系數呈現出拖尾性，而偏相關系數在k=2后截斷（如圖2所示）。

根據時間序列分析理論，對于自相關函數呈現拖尾性而偏自相關函數呈現截尾性的平穩隨機序列最適宜采用AR模型建模，且偏相關函數的截斷處就是模型的階數[6-8]。因此選擇2階AR模型建模最合適。

根據定義，AR（2）模型的數學描述為

式中ε（k）為均值為0方差未知的白噪聲。

2 基于魯棒Kalman濾波的AR模型建模方法

從式（1）可以看出，AR（2）模型的關鍵是根據觀測量z（k）求出各回歸項z（k-1）、z（k-2）的系數a1、a2。如果將a1、a2作為系統狀態量，通過建立合理的狀態方程和觀測方程，就可使用Kalman濾波器得到a1、a2的準確估計。

圖1 某國產MEMS陀螺的噪聲數據

圖2 陀螺隨機噪聲的偏相關函數

2.1 系統方程

將AR（2）模型系數a1、a2定義為系統的狀態量：

則可把式（1）作為觀測方程：

式中：H（k）=[z（k-1），z（k-2）]，ν（k）=ε（k）。

考慮到當陀螺儀的隨機噪聲特性穩定時，滿足一定的樣本數后，所建立的AR模型的參數應穩定收斂于真值，不再隨樣本數量的增加而增加。即1

把式（4）作為狀態轉移方程。則系統狀態空間模型為

從式（5）可以看出，系統噪聲w（k）為0，狀態轉移陣Φ=I。則有：

2.2 未知觀測噪聲的統計估值器

系統的觀測噪聲ν（k）主要由AR模型中的白噪聲ε（k）引起。由于ε（k）的方差特性未知，所以觀測噪聲ν（k）屬于統計特性未知的白噪聲。在魯邦Kalman濾波器中，通常采用帶遺忘因子的噪聲統計估值器估計未知噪聲特性[6]。該方法在估計觀測噪聲時強調新數據的作用，對于時間上過于古老的數據則漸漸遺忘。即采用漸消的記憶指數加權方法實現對未知噪聲的統計特性估計[6]：

式中b稱為遺忘因子，一般取0.95＜b＜1。由Kalman濾波中的新息計算。

2.3 基于魯棒Kalman濾波的AR模型快速建模

式（5）給出了系統的狀態方程和觀測方程，式（6）、式（7）給出了系統噪聲和觀測噪聲的統計特性，該特性滿足卡爾曼濾波器的要求。因此可以應用魯棒卡爾曼濾波器對狀態量，即AR（2）模型的2個參數進行估計。魯棒卡爾曼濾波過程如下：

狀態一步預測：

由于系統噪聲為0，狀態轉移陣Φ=I。因此一步預測誤差方差陣為

濾波增益矩陣為

新息為

狀態估計為

估計誤差方差陣為

圖3中的虛直線是Y-W法對1 h采樣數據的AR（2）模型建模結果：

采用新的基于魯棒Kalman濾波的AR模型參數估計結果如圖3中實曲線所示。在實際運行時，可以根據系統的建模精度要求設定閾值θ。如連續10次的運行迭代結果中，狀態量估計值（也即1、2）的最大值和最小值之間的差異都小于該閾值θ，則認為狀態估值已穩定收斂。考慮到一般AR模型的參數估計精確到小數點后3位已足夠，這里選取θa1=θa2=0.001，則濾波器在運行2150次后滿足條件退出，狀態量估計收斂于：

圖3 基于魯棒Kalman的AR（2）建模結果

式（15）即是采用魯棒卡爾曼濾波快速建模的結果，該過程僅需2150個樣本。式（14）是采用傳統Y-W對1 h樣本數據的建模結果。對比兩式可以看出，兩者的建模結果非常接近，相對差異為δα1=4.9%，δα2=6.2%。由于在有限樣本條件下，不同時間序列建模方法（如最小二乘法和Y-W法）的建模結果本就不會完全相同。這一波動在大多數工程允許的精度范圍之內（＜10%）[6]。但新的建模方法的優勢在于所用的樣本數和實驗時間大大減少（濾波器收斂退出即可結束），非常適用于需要快速對陀螺儀隨機噪聲建模的場合。

2.4 基于魯棒Kalman濾波的AR模型在線實時建模

在某些需要極高精度或陀螺隨機噪聲特性強時變的場合，由外界環境等因素造成的陀螺儀隨機噪聲的時變性必須被考慮，這時傳統固定參數式的建模方法已不能適用。而Kalman濾波器可以利用新的陀螺噪聲觀測數據對系統狀態量，即AR模型的參數估計進行修正，使建立的AR模型參數能及時地跟蹤陀螺隨機噪聲隨時間的變化，從而獲得更高的建模精度（但需注意在這種情況下Kalman濾波器的迭代退出時間只取決于需要建立的時變模型的時間長短，建模的優勢體現在精度而非速度上）。

例如，對該陀螺的噪聲數據分別采用新的基于魯棒Kalman的AR在線實時建模方法和傳統固定參數式Y-W法進行建模。并采用殘差序列白化度檢驗法[9]對兩種方法建模的結果進行檢驗。兩種方法建模過程中得到的殘差序列ε1（k）、ε2（k）的自相關函數如圖4所示。可以看出，基于魯棒Kalman的AR在線實時建模結果的殘差序列ε1（k）比傳統固定參數式

圖4 兩種AR建模方法對比

Y-W法的建模結果中的殘差序列ε2（k）白化程度更好，更接近白噪聲。因此說明建模的精度優于后者。

3 結束語

針對傳統的陀螺隨機噪聲AR建模方法收斂速度慢、所需樣本較多的缺點，本文提出了基于魯棒Kalman濾波的AR模型建模方法。該方法將AR模型參數作為系統的狀態量，采用帶遺忘因子的噪聲統計估值器估計系統觀測噪聲的均值和方差。通過Kalman濾波迭代快速經濟的估計出樣本的AR模型參數，減少了采樣次數和實驗時間。還能利用新的隨機噪聲信息實時修正AR模型參數，使參數估值能及時地反映和跟隨陀螺儀隨機噪聲特性的變化，適用于要求快速建模或陀螺隨機噪聲具有強時變特性的工程場合。

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Rapid/real-time AR modeling method for gyro random noise based on robust Kalman filter

HUANG Lei，ZHAO Ya-qin
（Mechanic and Electronic Engineering College，Nanjing Forestry University，Nanjing 210037，China）

To solve the problem of the traditional AR modeling methods for gyro random noise which need a large number of samples and can’t reflect the time-varying characteristic of the random noise timely，a new AR modeling method based on adaptive robust Kalman filter is developed.The AR model parameters are chosen to be the state variable.Unknown time-varying estimator of observation noise is used to achieve the estimates of the mean and variance of the observation noise.The AR model parameters can be estimated accurately by Kalman filter.Test results indicate that the new modeling method has the advantages of fast convergence and lowcost.When the new random noise samples are achieved，the Kalman filter can correct the model parameters timely.So the modeled AR parameters have high accuracy.The new modeling method can be applied to applications which need a rapid modeling or in which the gyro random noise has strong time-varying characteristic.

strapdown inertial navigation system；gyro random noise modeling；robust Kalman filter；time series

V241.5；TB535+.2；TN713；TN957.54

：A

：1674-5124（2014)06-0088-03

10.11857/j.issn.1674-5124.2014.06.023

2014-01-06；

：2014-03-01

國家自然科學基金項目（31200496）

黃 磊（1975-），男，安徽合肥市人，講師，博士，研究方向為捷聯慣性導航和嵌入式系統。