基于Allan噪聲模型的隨機誤差濾波器設計

施建禮，焦吉祥，彭文輝

（1.海軍潛艇學院3系，青島 266044；2.92196部隊，青島 266071）

近年來，MEMS陀螺儀作為慣性領域的一個新興的重要分支，以體積小、重量輕等特點受到人們的重視，對其研究也越來越深入。但是MEMS陀螺儀受本身的精度不高、動態誤差和隨機誤差較大等缺點影響，使得MEMS陀螺儀的應用領域受到了限制。

當前，對MEMS陀螺儀隨機誤差項的辨識法主要有Allan方差、功率譜密度（PSD）法[1]等。這些方法能辨識出隨機誤差項，但是并沒有說明如何在此基礎上對MEMS陀螺儀的隨機誤差進行補償。這使其在工程技術方面的應用受到了限制，尤其是一些精度要求較高的場合。

針對MEMS陀螺儀的以上缺點，文章提出一種能夠快速辨識和濾除MEMS陀螺儀隨機誤差項的方法：首先分析影響MEMS陀螺儀隨機誤差的主要誤差項，建立誤差模型并運用Allan方差法進行辨識。然后設計Kalman濾波器，建立濾波方程，進行隨機誤差補償。經過實例證明，該種方法可以將MEMS陀螺儀的隨機誤差精度提高2個數量級（方差）且均值基本不變。具有很高的工程應用價值。

1 MEMS陀螺儀主要隨機誤差項

目前并沒有統一的國家和國際標準界定MEMS陀螺儀的隨機誤差項，在參考IEEE中的單軸光纖陀螺儀的標準——IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros[2]的基礎上，采用Allan方差法，將隨機誤差劃分為量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走和速率斜坡誤差項。本文按照標準中計算方法進行了實際測試，表明在MEMS陀螺儀中，也存在這些隨機誤差項，以下是這些誤差項產生的原因和物理意義。

量化噪聲（其系數簡寫為Q，下同）在將模擬信號轉化為數字信號過程中，由于AD轉換芯片的位數有限而產生的誤差，為平穩隨機序列[3]，與MEMS陀螺儀的最小分辨率有關。角度隨機游走（N）與MEMS陀螺儀的有效帶寬有關，當高頻噪聲高于采樣頻率時，對其輸出進行積分，會造成角度隨機游走，是影響精度的主要誤差。零偏不穩定性（B）是由于電子或其他器件受隨機抖動的影響而產生的誤差。角速率隨機游走（K）和速率斜坡（R）是對隨機誤差進行PSD分析的結果，原因不明[1，4-5]。

根據文獻[2]和上述分析，最終確立的MEMS陀螺儀的隨機誤差模型如圖1所示。

圖1 MEMS陀螺儀隨機誤差模型Fig.1 MEMS gyroscope random error model

其中：TS為采樣間隔時間；1/s為積分環節。

由圖1可以看出，只要能辨識出這些誤差項，然后根據觀測的角速度輸出值，就可以反推出角速度的真值。

2 ALLAN方差法辨識誤差項

2.1 Allan方差的定義及與MEMS陀螺儀隨機誤差項的關系

Allan方差法是1966年David Allan提出的一種基于時域的方差分析方法，其核心思想是通過觀測不同時間段上的樣本方差來辨識不同的隨機誤差項。采用數據集（Data Cluster）的概念，將長度為N的數據ω按照不同的時間間隔劃分出一段段數據子集 ωj（j=1，…M，M＜N/2。 至少為 2 段），求出每段數據子集的均值E（ωj）和相鄰子集的方差。計算過程為[1]

其中，σ2（τ）為平均時間上的Allan方差。在對數-對數（log-log）曲線上表示。MEMS陀螺儀典型的隨機誤差項系數與Allan方差的關系[1-2]如表1[6]所示。

表1 MEMS陀螺儀隨機誤差項對應的Allan方差計算公式Tab.1 Correspondence calculation formula between MEMS gyroscope random error terms and Allan variance

對應的對數-對數曲線圖如圖2所示。

圖2 MEMS隨機誤差項在Allan對數-對數曲線圖上的關系Fig.2 Match of MEMS random error terms in Allan log-log graph

2.2 MEMS陀螺儀隨機誤差項系數的計算方法

由2.1節可知，MEMS陀螺儀隨機誤差項對應的Allan方差為

可以采用最小二乘法求出各個誤差項系數。求出系數矩陣A后，便可利用式（2）得到MEMS陀螺儀的隨機誤差項系數。

3 MEMS陀螺儀的誤差方程

3.1 MEMS陀螺儀的主要影響誤差項

對挪威Sensor公司STIM202 MEMS陀螺儀Z軸進行Allan方差法隨機誤差項的辨識。

首先對其進行3 h的數據采集并進行確定性誤差補償，采樣速率為100 Hz，即采樣時間間隔TS=0.01 s，然后按照第2節中介紹的方法計算Allan方差項，其結果如圖3所示。

圖3 STIM202Z軸Allan方差圖Fig.3 STIM202 Z axis Allan variance chart

其中：粗線表示原始數據的Allan方差；細線表示對其進行數據擬合的結果，擬合后的曲線斜率集中在-1/2和1/2兩部分。

對比表1和圖2，由圖4可以看出，對MEMS陀螺儀隨機誤差影響較大的誤差項為角度隨機游走和角速率隨機游走。零偏不穩定性的影響較小。其中角度隨機游走的影響主要集中在短平均時間（零至幾十秒）內，這段曲線的漸近線斜率為-1/2，然后在100 s左右經過零偏不穩定性的最低點，以后的主要影響因素則為角速率隨機游走，其漸近線斜率為1/2。

因此，MEMS陀螺儀的主要隨機誤差項為角度隨機游走和角速率隨機游走。二者之和構成MEMS陀螺儀的主要隨機誤差。參考文獻[7]可以將二者看作是零均值的高斯白噪聲。同時考慮到零偏不穩定性的因素，將圖1的MEMS陀螺儀隨機誤差模型簡化為如圖4所示。

3.2 MEMS陀螺儀的隨機誤差模型

圖4 MEMS陀螺儀隨機誤差簡化圖Fig.4 Simplified diagram of MEMS gyroscope random error

由于零偏不穩定性的量綱和輸出角速度的量綱一致，可以認為其在微觀領域的采樣間隔內為一常值，因此，重點分析角度隨機游走和角速率隨機游走的誤差模型。由3.1節的分析和圖4，并參考文獻[7]，可以得到MEMS陀螺儀的隨機誤差方程為

其中：Δ（t）為隨機誤差；d（t）為角速率隨機游走轉化為角速度的大小，其導數為角速率隨機游走；ωN（t）和ωK（t）分別為角度隨機游走和角速率隨機游走。由文獻[7]可以知道 ωN（t）和 ωK（t）可以看作零均值的高斯白噪聲，其標準差為角度隨機游走系數N和角速率隨機游走系數K。上述值可以通過Allan方差法得到。

由于采集到的是離散數據，故需要對式（3）進行離散化，設采樣頻率為TS，則隨機誤差的離散形式表達式為

其中：

其方差分別為 N2/TS和 K2TS[7]，其量綱為（（°）/h）2?？梢钥闯?，角度隨機游走隨著時間的增加，影響越來越弱，角速率隨機游走隨著時間的增加，影響越來越強。這與進行數據分析得到的結果是一致的。

4 Kalman濾波器設計

4.1 Kalman濾波方程的建立

Kalman濾波的核心思想是利用觀測數據對狀態變量的估計做修正，以得到狀態的最優估計。因此需要對系統建立狀態方程和觀測方程[8-10]。

可以將經過確定性誤差（動態誤差和靜態補償）補償后測量的角速度信息分成2部分，真值和隨機誤差值。即：

由式（4）和式（5），可以將ω真和 D 作為狀態量，將ω輸出作為觀測量，可得Kalman方程為

這個方程將零偏不穩定性、角速率隨機游走作為狀態噪聲，設其協方差陣為Q，將角度隨機游走作為觀測噪聲，設其協方差陣為R。根據3.2節的分析，可以得到Q和R的值為

4.2 濾波遞推公式

Kalman濾波目的是使真值與估計值的均方差最小。其濾波遞推公式為

狀態一步預測：

協方差一步預測：

更新增益方程：

更新狀態估計：

更新協方差陣：

5 結果分析

以STIM202 Z軸為例，其采集的原始數據信號經過確定性誤差補償后如圖5所示。

圖5 STIM202經確定性誤差補償后的數據Fig.5 STIM202 data after uncertainty error compensation

其Allan方差辨識的誤差項結果如表2所示。

表2 Allan方差辨識誤差項結果Tab.2 Allan variance error terms results

選取狀態變量初值為：［1，0］T，初始的協方差矩陣為

Q和R的取值參考4.1節，按照4.2節中的介紹進行迭代，最終的輸出結果如圖6所示。

圖6 Kalman濾波結果Fig.6 Kalman filtering results

若選取初始值為［Y（1，1），0］T，即狀態量和觀測值一致，則濾波結果如圖7所示。

由圖6和圖7可以看出，這種濾波方式能較快地收斂跟蹤。濾波前后的方差和均值如表3所示。

由表3可以看出，濾波后數據的均值基本不變，而方差得到明顯改善。

圖7 Kalman濾波結果Fig.7 Comparison with the original value

表3 濾波前后均值和方差比較Tab.3 Comparison of mean and variance value with before and after filtering

對本文提出的方法進行了轉臺驗證，在勻速和變速的情況下利用此算法對陀螺儀的輸出進行了隨機誤差濾波，其結果如圖8和圖9所示。

圖8 在-6.3096°/s的轉速下輸出結果Fig.8 Result in speed-6.3096°/s

圖9 變速運動下輸出結果Fig.9 Result in Shift movement

可見，算法能夠及時準確地跟蹤不同狀態下的陀螺儀數據，能夠有效地濾除隨機誤差的影響。

6 結語

本文通過對MEMS隨機誤差項的分析，得出了一種利用Allan方差辨識的誤差項進行誤差補償的方法，在此基礎上建立了濾波方程，并對STIM202 MEMS陀螺儀進行隨機誤差濾除。結果證明該方法能有效跟蹤和濾除隨機誤差，經濾除后的均值基本不變，方差減小2個數量級，有效地濾除了隨機誤差的影響。此種方法可往其他慣性器件如光纖陀螺儀、激光陀螺儀等推廣，以提高慣性器件的器件級精度。

[1] P Wen-Hui，C Wen-Jie，F Lin-Ping.The recognition of MEMS gyroscope random error terms based on ALLAN variance[C]//Control and Decision Conference （CCDC），2012，24th Chinese，2012.

[2] IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros[S].IEEE Std 647-2006（Revision of IEEE Std 647-1995），2006.

[3] 高西全，丁玉美.數字信號處理[M].西安：西安電子科技大學出版社，2004.

[4] 馬建軍，李文強，鄭志強.MIMU隨機誤差分析與建模[J].壓電與聲光，2007，29（4）：483-486.

[5] N El-Sheimy，H Haiying，N Xiaoji.Analysis and modeling of inertial sensors usingAllan variance[J].Instrumentation and Measurement，IEEE Transactions on，2008，57（1）：140-149.

[6] 袁廣民，李曉瑩，常洪龍，等.MEMS陀螺隨機誤差補償在提高姿態參照系統精度中的應用[J].西北工業大學學報，2008，26（6）：777-781.

[7] 熊凱，雷擁軍，曾海波.基于Allan方差法的光纖陀螺建模與仿真[J].空間控制技術與應用，2010，36（3）：7-13.

[8] 薛亮，苑偉政，常洪龍，等.用于微小型飛行器姿態估計的四元數擴展卡爾曼濾波算法（英文）[J].納米技術與精密工程，2009，7（2）：163-167.

[9] 蒙濤，王昊，李輝，等.MEMS陀螺誤差建模與濾波方法[J].系統工程與電子技術，2009，31（8）：1944-1948.

[10]H Shou dong，D Gamini.Convergence and consistency analysis forextended Kalman filterbased SLAM[J].Robotics，IEEE Transactions on，2007，23（5）：1036-1049. ■