解開分式方程無解的困惑

王強濟

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解開分式方程無解的困惑

王強濟

在初中數學教材中先后出現了可化為一元一次方程的分式方程和可化為一元二次方程的分式方程，讓同學們感到特別困惑的就是有關增根和無解的問題，同學們常常會對這兩個概念混淆不清，認為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事，事實上并非如此.現就分式方程無解可能產生的情形舉例說明如下：

一、不是只有產生增根時分式方程才會無解

1.原方程化去分母后的整式方程（一元一次方程）有解，但這個解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解.

解：方程兩邊都乘（x+2）（x-2），

解這個方程，得x=2.

經檢驗：當x=2時，原方程無意義，

所以x=2是原方程的增根.

所以原方程無解.

【解析】顯然，方程①中未知數x的取值范圍是x≠2且x≠-2.而在去分母化為方程②后，此時未知數x的取值范圍擴大為全體實數，所以當求得的x值恰好使最簡公分母為零時，x的值就是增根.本題中方程②的解是x=2，恰好使公分母為零，所以x=2是原方程的增根，原方程無解.

2.原方程化去分母后的整式方程（一元一次方程）無解，從而原方程無解.

解：去分母后化為

x-1=3-x+2（2+x）.

整理得-1=7.

因為此方程無解，

所以原分式方程無解.

【解析】此方程化為整式方程后，本身就無解，當然原分式方程肯定就無解了.由此可見，分式方程無解不一定就是產生增根.

3.原方程化去分母后的整式方程（一元二次方程）有兩個解，如果兩個解都使原方程的分母為0，就都是原方程的增根，從而原方程無解.兩個解中只有一個解使原方程的分母為0，它是原方程的增根，另一個解沒有使原方程的分母為0，它就是原方程的根，從而原方程有解.可見分式方程產生增根不一定就會無解.

二、含參數分式方程無解時求參數需要分類討論

解：原方程可化為

方程兩邊都乘x-2，

得x-3=-k.

解這個方程，得x=3-k.

因為原方程無解，所以這個解應是原方程的增根.即x=2，

所以2=3-k，

解得k=1.

故當k=1時，原方程無解.

【解析】因為同學們目前所學的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程不是無解的情況時只有一個根，所以如果這個根是原方程的增根，那么原方程無解.不需要分類討論.

解：方程兩邊都乘（x+2）（x-2），得

2（x+2）+mx=3（x-2），

整理得（m-1）x=-10.②

若原方程無解，則有兩種情形：

（1）當m-1=0（即m=1）時，

方程②為0·x=-10，

此方程無解，所以原方程無解.

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解.原方程若有增根，增根為x=2或-2，

把x=2或-2代入方程②中，可求出m=-4或6.

綜上所述，m=1或m=-4或m=6時，原分式方程無解.

【解析】做此類題首先將分式方程轉化為整式方程，此整式方程本身就無解或有解是原方程的增根，需要分兩類情形討論，分別求出原方程中所含字母的值.若將此題“無解”改為“會產生增根”，則不需要考慮化為整式方程本身就無解的情形.

解：方程兩邊都乘（x+2）（x-2），得

2（x+2）+mx=3（x-2），

整理得（m-1）x=-10.②

如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解.原方程若有增根，增根為x=2或-2，把x=2或-2代入方程②中，求出m=-4或6.

所以當m=-4或6時，

原分式方程會產生增根.

弄清分式方程的增根與無解的區別和聯系，分清分式方程無解各種情形有助于我們提高解分式方程時分析問題解決問題的能力.

（作者單位：江蘇省連云港市新海實驗中學）