基于主軸軸承運行剛度的高速主軸動力學建模

米良，胡秋，舒強，于海蓮

(1.中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川綿陽 621999; 2.中國工程物理研究院機床裝備檢測評價中心，四川綿陽 621999)

基于主軸軸承運行剛度的高速主軸動力學建模

米良1，2，胡秋1，舒強1，2，于海蓮1，2

(1.中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川綿陽 621999; 2.中國工程物理研究院機床裝備檢測評價中心，四川綿陽 621999)

高速主軸是高速加工關鍵功能部件之一，其動力學性能對機床加工質量有著重要的影響。基于赫茲接觸理論計算了主軸軸承動態運行剛度并構建了主軸軸承的剛度矩陣;基于Timoshenko梁理論獲得高速旋轉梁單元運動方程;基于主軸軸承單元、梁單元與盤單元構建了某高速主軸系統有限元模型，并進行了靜動態實驗測試。結果表明:所建立的動力學模型是準確的，為主軸系統結構優化提供了理論指導。

主軸系統;軸承;預緊力;離心力;陀螺力矩;動剛度

機床主軸的動靜態特性對于機床加工精度與零件表面質量有著重要的意義，為此國內外學者針對主軸系統的建模、動靜態性能實驗軸承參數及加工條件等多種因素對機床主軸動力學特性的影響以及主軸系統優化設計等方面做了大量研究［1－2］。

隨著高速加工技術的發展，尤其是內置式電機(電主軸)以及相應的軸承技術的發展，使得機床主軸轉速提升至每分鐘幾萬甚至十幾萬轉，極大地提高了材料去除率。然而高速切削提高了加工效率與零件表面質量的同時也帶來相應的問題。考慮到高速旋轉效應對于主軸系統動態性能的影響，文獻 ［3］提出了一種主軸系統模型，利用該模型研究了主軸轉速對于主軸固有頻率的影響。考慮到熱預緊對于軸承剛度的影響，文獻［4］建立了一個熱－動力學耦合的主軸－軸承系統模型，分析了熱預緊對于主軸系統固有頻率的影響。蔣書運等［5］考慮到拉刀機構對于主軸系統高速狀態動力學性能的影響，基于整體傳遞矩陣法建立了主軸系統動力學模型。文獻［6］考慮了軸承運行剛度建立主軸系統有限元模型，對高速電主軸自身結構參數進行靈敏度分析，找出對主軸動態性能影響顯著的設計參數，為高速主軸優化設計指導了方向。

上述研究表明，不考慮機床轉速的傳統機床主軸靜態動態剛度已經不足以完整地描述高速主軸動靜態特性。為此，考慮機床轉速、軸承預緊力效應建立描述全轉速場高速主軸動靜態特性的數學模型有著重要意義。

文中在建立角接觸球軸承運行剛度模型的基礎上，計算軸承剛度矩陣，基于Timoshenko梁理論建立主軸系統模型，以某20 000 r/min主軸為例進行主軸系統模型建立、求解并進行實驗驗證。結果表明所建立的模型是準確的，可用于高速主軸動態性能預測。

1 面向廣義動靜剛度的主軸模型創建

1.1 高速主軸軸承運行剛度模型

(1)高速主軸軸承運行剛度計算

角接觸球軸承在靜止、未預緊狀態下內外圈曲率中心與滾動體中心共線。軸承在高速旋轉與載荷效應下發生變形，假設外圈曲率中心固定，則內圈曲率中心與滾動體中心如圖1所示。由于軸承變形主要是由于滾動體與滾道間的赫茲接觸產生的，可利用赫茲接觸理論進行軸承變形計算［7］。

圖1 滾動體與內外滾道變形協調關系

式中:Qij，Qoj分別為第j個滾動體與內外軌道接觸力;

Kij，Koj為赫茲接觸系數;

δij，δoj分別為第j個滾動體與內外軌道接觸變形。

由軸承基本尺寸關系與變形關系 (圖1)知:

式中:Db為滾動體直徑;

fi，fo分別為內外滾道曲率。

由文獻［8］知:

其中:R=0.5Dm+cosαo(fi－0.5)Db

式中:αo為初始接觸角;

δa，δr，γ分別為軸承軸向、徑向以及角位移;

φj為第j個滾動體方位角;

Dm為軸承中徑。

由圖1中幾何關系可知:

同樣地可知sinαoj，cosαij與sinαij。

在圖1中，利用勾股定理，有:

軸承滾動體受力如圖2所示。其中Fcj為離心力，Mgj為陀螺力矩，Qoj與Qij為球與滾道接觸力，λoj與λij為滾道控制系數。對于高速情況下角接觸球軸承一般為外圈滾道控制，此時λoj=λij=1［9］。

圖2 滾動體受力分析

根據滾動體受力平衡可獲得如下關系:

式中:J為滾動體轉動慣量;

ω為軸承轉速。

上式中，(ωR/ω)j、(ωR/ω)j與sinβ的詳細計算過程參考文獻［9］。

對于Z個球的軸承，其內圈受力平衡可知:

在給定轉速、軸向和徑向載荷的前提下假定δa，δr，γ，X1j，X2j，δij，δoj初值，利用 Newton-Raphson法求解方程(8)—(11)與方程(14)—(16)迭代收斂后獲得各個球的內外接觸角αij與αoj，內外滾道接觸變形δij與δoj，以及內外滾動接觸力Qij、Qoj等［6］。

(2)主軸軸承剛度矩陣計算

在主軸系統模型中，軸承承受軸向力Fx、徑向力Fy、Fz，和力矩載荷My、Mz，因此在建立主軸系統有限元模型時通過兩節點彈簧單元來模擬軸承，軸承單元兩節點分別為軸承內外圈，且節點位移為［δIx，δIy，δIz，γIy，γIz，δOx，δOy，δOz，γOy，γOz］T。此時對于軸承內圈將方程(14)—(16)寫作如下:

利用前文迭代計算結果，分別利用方程(17)—(21)對于δIx，δIy，δIz，γIy，γIz求導獲得如下矩陣:

利用方程(17)—(21)對于δOx，δOy，δOz，γOy，γOz求導可獲得KIO。同樣地對于外圈受力平衡也可以寫出相應的平衡方程式，求導后獲得KOI與KOO，則軸承剛度矩陣為:

1.2 考慮高速效應的主軸有限單元

(1)旋轉Timoshenko梁單元

經典的Timoshenko梁理論對于高速主軸系統進行有限元建模有著足夠的適用性與準確性［10］。某典型旋轉梁單元如圖3所示。固定坐標系O－XYZ，其X軸與梁單元微段中心線平行，旋轉坐標系O－xyz的x軸與固定坐標系O－XYZ的X軸平行，并繞X軸以角速度ω旋轉。長度為L的梁單元微段受軸向力Pa，其方向與單元未變形時中心線平行。結合主軸系統動力學分析的需要，主軸單元定義為2節點10自由度梁單元，且節點位移為:［xi，yi，zi，θiy，θiz，xj，yj，zj，θjy，θjz］T。設在時間t時，梁單元內s處點P位移向量可表示為［xi(s，t)，yi(s，t)，zi(s，t)，θiy(s，t)，θiz(s，t)］T。

圖3 典型旋轉梁單元坐標系

長度為L的軸單元所包含的彈性彎曲勢能、剪切勢能和鉆削軸向力Pa產生的勢能總和為:

式中:A為截面面積;

E，G分別為材料彈性模量與剪切模量;

κ為橫向剪切因子，一般取0.9。

長度為L的軸單元所包含的平動動能、轉動動能、回轉動能和陀螺力矩產生的動能的總和為［11］:

式中:ω為梁單元轉速;

J為截面轉動慣量;

ρ為材料密度。

同樣地在均布載荷qx，qy，qz，均布力矩My，Mz作用下外力所做的功［3］:

利用單元兩端節點n1，n2的廣義位移 ［xi，yi，zi，θiy，θiz，xj，yj，zj，θjy，θjz］T和型函數 N，可以將軸單元上任意位置的廣義位移表示為:

典型梁單元型函數參考文獻［12］。

利用Hamilton原理:

利用有限元理論知識及MATLAB符號運算獲得梁單元運動方程與各類單元矩陣［13－14］。

(2)盤單元

由文獻［3］、［13］、［15］可知盤單元運動方程如下:

式中:Mdisk為盤單元質量矩陣;

Gdisk為盤單元陀螺力矩矩陣;

Fdisk為盤單元載荷向量。

1.3 主軸系統有限元模型

將高速主軸系統用梁單元、盤單元以及彈簧單元來模擬。由各類單元運動方程可知主軸系統動力學方程為:

其中:M=Mbm+Mdisk

令u=umaxeiφeiΩt，此時Ω=2πf，其中f為激勵頻率，t為時間，φ為相位。

則上式可寫為:

同樣地可將系統所受外力向量寫為:

圖5 主軸系統有限元模型

將式(31)、(32)代入系統方程即式(30)中可得:

通過Gauss Jordan消元法求解方程 (33)即可獲得在激勵頻率為f的正弦力作用下系統各個自由度上的響應。

2 應用實例與模型驗證

2.1 主軸實例

某典型加工中心主軸系統如圖4所示，該主軸采用內置式電機驅動 (電主軸)，前軸承對由4個NSK超高速角接觸陶瓷球軸承70BNR10X采用DBB配置方式組成，后軸承對為單個超高速圓柱滾子軸承N1011RXTPKR。該主軸系統錐孔HSKE50，設計最高轉速為20 000 r/min。

圖4 高速主軸簡圖

利用梁單元、盤單元以及彈簧單元建立的主軸有限元模型如圖5所示。該模型中，由于后軸承可以在軸上滑動，所以僅考慮后軸承徑向剛度。

圖6 主軸靜剛度實驗簡圖

為驗證文中所建立的主軸系統模型的準確性，便于讀者詳細了解該主軸系統動靜態特性，分別進行了主軸系統動靜態特性實驗。

2.2 實驗驗證

(1)靜剛度實驗

主軸系統靜剛度實驗如圖6所示，該實驗裝置由螺旋加力裝置、力傳感器、位移測量表、主軸系統以及試驗臺組成。實驗時將主軸系統固定于試驗臺上，通過螺旋加力裝置對軸端施加力，通過位移測量表獲得軸端變形。測得的主軸系統軸向、徑向靜剛度見表1。

表1 主軸系統靜剛度對比

(2)主軸系統激振實驗

主軸系統激振實驗采用北京東方所的模態測試系統，該系統由MSC-3中型試驗沖擊力錘、INV9821 ICP型加速度傳感器、INV3020C-CPCI 16通道24位高精度采集分析儀和DASP-V10測試分析軟件組成。電主軸采用自由懸掛方式，如圖7所示，將加速度傳感器放置于前端外圓面，采樣頻率為12.8 kHz，變時基倍數設定為2。獲得軸端徑向傳遞函數如圖8所示［16］。

圖7 主軸系統自由態激振實驗簡圖

圖8 實驗與仿真響應對比

對于文中所述主軸系統來說，后軸承徑向剛度為4×108N/m，前軸承基本參數如表2所示，利用第2.1節所述方法計算得主軸系統軸向與徑向剛度隨著轉速與預緊力的變化關系如圖9所示。

表2 主軸前軸承基本參數

利用軸承計算結果與所建立的主軸系統有限元模型獲得主軸系統自由態響應，見圖9。自由狀態下主軸系統實驗與仿真固有頻率對比見表3。

對比圖9、表1、表3可知:文中所建立的主軸系統有限元模型準確地反映了主軸系統動靜態特性，可作為高速主軸廣義動力學特性的預測模型。

圖9 軸承軸向、徑向剛度

表3 主軸系統固有頻率對比

3 結束語

討論了高速效應下主軸系統盤單元、梁單元動力學方程;同時基于赫茲接觸理論，建立高速主軸軸承非線性模型;在此基礎上建立某高速主軸動力學模型，通過對比高速主軸靜剛度、模態參數以及軸端動柔度，表明所建立的主軸模型是準確、可靠的，可用于主軸系統動態設計。

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Dynamic Characteristic Analysis of Motorized Spindle Based on Bearing Dynamic Stiffness

MI Liang1，2，HU Qiu1，SHU Qiang1，2，YU Hailian1，2
(1.Institute of Mechanical Manufacturing Technology，China Academy of Engineering Physics，Mianyang Sichuan 621999，China;2.Machine Tools Inspection and Evaluation Center，China Academy of Engineering Physics，Mianyang Sichuan 621999，China)

Based on quasi-dynamic model of rolling bearings，taking into account the influence of speed，initial preload，centrifugal force，gyroscopic moment on bearing stiffness，the running stiffness of bearings was calculated.The stiffness matrix of angular contact ball bearing was derived and calculated.The beam element equation of motion was derived based on Timoshenko rotating beam thoery.Using this as a foundation，the FEM of spindle was created.Experiments were done to measure the static stiffness，modal test and FRF of spindle.Comparing the experimental and calculated results，it is shown that the FEM of the spindle developed in this study can describe the dynamic characteristics of the spindle with an acceptable accuracy.

Spindle;Bearing;Preload;Centrifugal force;Gyroscopic moment;Dynamic stiffness

TH133

A

1001－3881(2014)10－001－5

10.3969/j.issn.1001－3881.2014.10.001

2013－04－02

中國工程物理研究院超精密加工技術重點實驗室重點基金資助項目 (ZZ13008)

米良 (1985—)，男，工學博士，工程師，主要從事機床動力學研究。E－mail:mibolt@foxmail.com。