一道高考選擇題的多種解法及其分析

馮菊仿

2013年廣東省高考理科數(shù)學(xué)第8題：設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三個(gè)條件x

一、常規(guī)方法及分析

方法一：特殊值法

因?yàn)椋▁，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，則，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以選B.

方法二：分類討論

①若x

x

②若x>z，因?yàn)椋▁，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：窮舉法

由（x，y，z）∈S可得第一組中的①x

恰有一個(gè)成立，因?yàn)榈谝唤M中的某一個(gè)不等式與第二組中的某一個(gè)不等式要同時(shí)成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④這四種配組同時(shí)成立.

當(dāng)①⑤同時(shí)成立時(shí)，可得w

當(dāng)①⑥同時(shí)成立時(shí)，可得x

當(dāng)②④同時(shí)成立時(shí)，可得y

當(dāng)③④同時(shí)成立時(shí)，可得z

綜上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

以上幾種方法，特殊值法適合于用字母表示的一般性結(jié)論的選擇題，而且每個(gè)選項(xiàng)的結(jié)果唯一，根據(jù)“一般”包含“特殊”的思想，取適合的數(shù)字代入檢驗(yàn)，即可得到正確的選項(xiàng).方法二是典型的含有字母分類討論的問(wèn)題，（y，z，w）和（x，y，w）這兩組數(shù)組中的字母，只有z和x不同，只要對(duì)這兩個(gè)字母的大小分類討論，其他字母的大小自然就確定了，但這種分類討論的標(biāo)準(zhǔn)非常隱蔽，要找到實(shí)屬不易.方法三是兩組不等式一一配組，找出所有符合條件的不等式組，再逐個(gè)分析，得到結(jié)論.相對(duì)于一道選擇題來(lái)講，短時(shí)間內(nèi)完成，難度很大.

二、新方法探求，構(gòu)造有序數(shù)組

我們知道，任何一個(gè)不等關(guān)系都可以用數(shù)軸上點(diǎn)的位置來(lái)刻畫，由集合S的元素滿足“三個(gè)條件x

如圖1，一條封閉的有向曲線，不妨取方向?yàn)轫槙r(shí)針.

集合X的n個(gè)自然數(shù)按順時(shí)針?lè)较蛞来闻帕性谠撉€上，任意一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z）中的x，y，z只要按順時(shí)針?lè)较蛞来稳∏€上排列的自然數(shù)，不論它們?nèi)『沃担賦

因?yàn)椋▁，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圓周上的排列如圖1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）這兩個(gè)有序數(shù)組中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按順時(shí)針排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

該方法輕巧靈活，它抓住三個(gè)不等式所構(gòu)成的循環(huán)鏈所蘊(yùn)含的圖形特征，即封閉曲線上按照一定順序排列的一列數(shù)，按照該順序任意取三個(gè)數(shù)，它們的大小關(guān)系一定恰好滿足三個(gè)不等式的一個(gè)，這樣集合S中元素的屬性本應(yīng)是三個(gè)不定量的大小關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，就轉(zhuǎn)化為三個(gè)點(diǎn)在封閉曲線上的位置關(guān)系，形象直觀，避免了繁瑣的字母討論，符合選擇題的特點(diǎn).

該題雖小，但蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法十分豐富，很好地考查了學(xué)生抽象思維、形象思維的能力和創(chuàng)新意識(shí)，堪稱2013年廣東高考理科數(shù)學(xué)題中一道靚麗的風(fēng)景線.

2013年廣東省高考理科數(shù)學(xué)第8題：設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三個(gè)條件x

一、常規(guī)方法及分析

方法一：特殊值法

因?yàn)椋▁，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，則，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以選B.

方法二：分類討論

①若x

x

②若x>z，因?yàn)椋▁，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：窮舉法

由（x，y，z）∈S可得第一組中的①x

恰有一個(gè)成立，因?yàn)榈谝唤M中的某一個(gè)不等式與第二組中的某一個(gè)不等式要同時(shí)成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④這四種配組同時(shí)成立.

當(dāng)①⑤同時(shí)成立時(shí)，可得w

當(dāng)①⑥同時(shí)成立時(shí)，可得x

當(dāng)②④同時(shí)成立時(shí)，可得y

當(dāng)③④同時(shí)成立時(shí)，可得z

綜上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

以上幾種方法，特殊值法適合于用字母表示的一般性結(jié)論的選擇題，而且每個(gè)選項(xiàng)的結(jié)果唯一，根據(jù)“一般”包含“特殊”的思想，取適合的數(shù)字代入檢驗(yàn)，即可得到正確的選項(xiàng).方法二是典型的含有字母分類討論的問(wèn)題，（y，z，w）和（x，y，w）這兩組數(shù)組中的字母，只有z和x不同，只要對(duì)這兩個(gè)字母的大小分類討論，其他字母的大小自然就確定了，但這種分類討論的標(biāo)準(zhǔn)非常隱蔽，要找到實(shí)屬不易.方法三是兩組不等式一一配組，找出所有符合條件的不等式組，再逐個(gè)分析，得到結(jié)論.相對(duì)于一道選擇題來(lái)講，短時(shí)間內(nèi)完成，難度很大.

二、新方法探求，構(gòu)造有序數(shù)組

我們知道，任何一個(gè)不等關(guān)系都可以用數(shù)軸上點(diǎn)的位置來(lái)刻畫，由集合S的元素滿足“三個(gè)條件x

如圖1，一條封閉的有向曲線，不妨取方向?yàn)轫槙r(shí)針.

集合X的n個(gè)自然數(shù)按順時(shí)針?lè)较蛞来闻帕性谠撉€上，任意一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z）中的x，y，z只要按順時(shí)針?lè)较蛞来稳∏€上排列的自然數(shù)，不論它們?nèi)『沃担賦

因?yàn)椋▁，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圓周上的排列如圖1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）這兩個(gè)有序數(shù)組中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按順時(shí)針排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

該方法輕巧靈活，它抓住三個(gè)不等式所構(gòu)成的循環(huán)鏈所蘊(yùn)含的圖形特征，即封閉曲線上按照一定順序排列的一列數(shù)，按照該順序任意取三個(gè)數(shù)，它們的大小關(guān)系一定恰好滿足三個(gè)不等式的一個(gè)，這樣集合S中元素的屬性本應(yīng)是三個(gè)不定量的大小關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，就轉(zhuǎn)化為三個(gè)點(diǎn)在封閉曲線上的位置關(guān)系，形象直觀，避免了繁瑣的字母討論，符合選擇題的特點(diǎn).

該題雖小，但蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法十分豐富，很好地考查了學(xué)生抽象思維、形象思維的能力和創(chuàng)新意識(shí)，堪稱2013年廣東高考理科數(shù)學(xué)題中一道靚麗的風(fēng)景線.

2013年廣東省高考理科數(shù)學(xué)第8題：設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三個(gè)條件x

一、常規(guī)方法及分析

方法一：特殊值法

因?yàn)椋▁，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，則，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以選B.

方法二：分類討論

①若x

x

②若x>z，因?yàn)椋▁，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：窮舉法

由（x，y，z）∈S可得第一組中的①x

恰有一個(gè)成立，因?yàn)榈谝唤M中的某一個(gè)不等式與第二組中的某一個(gè)不等式要同時(shí)成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④這四種配組同時(shí)成立.

當(dāng)①⑤同時(shí)成立時(shí)，可得w

當(dāng)①⑥同時(shí)成立時(shí)，可得x

當(dāng)②④同時(shí)成立時(shí)，可得y

當(dāng)③④同時(shí)成立時(shí)，可得z

綜上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

以上幾種方法，特殊值法適合于用字母表示的一般性結(jié)論的選擇題，而且每個(gè)選項(xiàng)的結(jié)果唯一，根據(jù)“一般”包含“特殊”的思想，取適合的數(shù)字代入檢驗(yàn)，即可得到正確的選項(xiàng).方法二是典型的含有字母分類討論的問(wèn)題，（y，z，w）和（x，y，w）這兩組數(shù)組中的字母，只有z和x不同，只要對(duì)這兩個(gè)字母的大小分類討論，其他字母的大小自然就確定了，但這種分類討論的標(biāo)準(zhǔn)非常隱蔽，要找到實(shí)屬不易.方法三是兩組不等式一一配組，找出所有符合條件的不等式組，再逐個(gè)分析，得到結(jié)論.相對(duì)于一道選擇題來(lái)講，短時(shí)間內(nèi)完成，難度很大.

二、新方法探求，構(gòu)造有序數(shù)組

我們知道，任何一個(gè)不等關(guān)系都可以用數(shù)軸上點(diǎn)的位置來(lái)刻畫，由集合S的元素滿足“三個(gè)條件x

如圖1，一條封閉的有向曲線，不妨取方向?yàn)轫槙r(shí)針.

集合X的n個(gè)自然數(shù)按順時(shí)針?lè)较蛞来闻帕性谠撉€上，任意一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z）中的x，y，z只要按順時(shí)針?lè)较蛞来稳∏€上排列的自然數(shù)，不論它們?nèi)『沃担賦

因?yàn)椋▁，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圓周上的排列如圖1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）這兩個(gè)有序數(shù)組中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按順時(shí)針排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

該方法輕巧靈活，它抓住三個(gè)不等式所構(gòu)成的循環(huán)鏈所蘊(yùn)含的圖形特征，即封閉曲線上按照一定順序排列的一列數(shù)，按照該順序任意取三個(gè)數(shù)，它們的大小關(guān)系一定恰好滿足三個(gè)不等式的一個(gè)，這樣集合S中元素的屬性本應(yīng)是三個(gè)不定量的大小關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，就轉(zhuǎn)化為三個(gè)點(diǎn)在封閉曲線上的位置關(guān)系，形象直觀，避免了繁瑣的字母討論，符合選擇題的特點(diǎn).

該題雖小，但蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法十分豐富，很好地考查了學(xué)生抽象思維、形象思維的能力和創(chuàng)新意識(shí)，堪稱2013年廣東高考理科數(shù)學(xué)題中一道靚麗的風(fēng)景線.