具有共振的分數階微分方程邊值問題解的存在性

江衛華，劉秀君，宗慧敏

（1.河北科技大學理學院，河北石家莊 050018；2.河北化工醫藥職業技術學院基礎部，河北石家莊050026）

1 問題提出

（k，n-k）共軛邊值問題長期以來一直受到國內外很多專家學者的廣泛關注，讀者可參閱文獻［1］-文獻［9］。文獻［1］-文獻［6］在非共振條件下研究了整數階（k，n-k）共軛邊值問題解的存在性；文獻［7］研究了具有共振的整數階（k，n-k）共軛邊值問題解的存在性；在非共振情況下，文獻［8］與文獻［9］研究了分數階（n-1，1）共軛邊值問題分別在局部和非局部邊界條件下解的存在性。受上述文獻啟發，本文研究具有共振的分數階（n-1，1）共軛邊值問題：

解的存在性，其中A（t）是［0，1］上的有界變差函數，n是大于或等于α的最小整數。

假設如下條件成立：

C1）f：［0，1］×R2→R關于L p［0，1］，1＜p＜＋∞ 滿足S-Carathéodory條件，即：

1）對a.e.t∈ ［0，1］，f（t，·）在R2上連續；

2）對任意z∈R2，f（·，z）是［0，1］上的Lebesgue可測函數；

3）對任意r＞0，存在非負函數φr∈L p［0，1］使得：

2 預備知識

為了獲得相應結論，首先給出幾個概念和算子方程解的存在定理，見文獻［10］。

設X，Y是實Banach空間，L：domL?C→Y是指數為零的Fredholm算子，P：X→X和Q：Y→Y是連續投影算子，且滿足ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL⊕KerP，Y=ImL⊕ImQ。由此可知L：domL∩KerP→ImL是可逆的，用K p表示它的逆。

定義1 設Ω為X的有界開子集，且domL∩Ω≠?，算子N：X→Y，如果QN（）有界，且K p（I-Q）N（）是緊的，則稱N在上是L-緊的。

定理1［10］設L是指數為零的Fredholm算子，N在上是L-緊的，假設下列條件成立：

1）Lx≠λNx，對任意（x，λ）∈ ［（domL＼KerL）∩?Ω］×（0，1）；

2）Nx?ImL，對任意x∈KerL∩?Ω；

3）deg（QN｜KerL，Ω∩ KerL，0）≠0。

則Lx=Nx在domL∩上至少有1個解。

以下定義和引理參見文獻［11］和文獻［12］。

定義2 函數y：［0，1］→R的α階分數階積分定義為

其中α＞0，右端被積函數在［0，1］區間逐點可積。

定義3 函數y：［0，1］→R的α階分數階導數定義為

其中α＞0，右端被積函數在［0，1］區間逐點可積且可導，n=［α］＋1。

引理1 設f∈L1［0，1］，q≥p≥0，q＞1，則

引理2 設α＞0，λ＞-1，則

其中n是大于或等于α的最小正整數。

易證下述不等式成立：

引理4 對 任意b＞a＞0，p≥1，有（b-a）p≥bp-ap。

3 主要結果

假設條件C1）和條件C2）成立。

取空間X=Cα-1［0，1］= ｛x｜x，Dα0-＋1x∈C［0，1］｝，范數定義為｝，其中｜。由文獻［13］知，（X，‖·‖）是Banach空間，取空間Y=L p［0，1］，范數定義為，其中p同條件C1）。

定義線性算子L：domL?X→Y如下：

其中：

定義非線性算子N：X→Y如下：

則算子方程Lx=Nx，x∈domL的解即為邊值問題（1）的解。

引理5 設條件C1）和條件C2）成立，則L：domL?X→Y是指數為零的Fredholm算子，且投影算子Q：Y→Y及算子L：domL∩KerP→ImL的逆算子K p分別為

證明 易 知KerL= ｛ctα-1｜c∈R｝。定義算子P：X→X為。通過簡單計算可得P2x=Px，x∈X，且ImP=KerL，X=KerL⊕KerP。

由Lx=y，x∈domL可得y滿足：

反之，若y滿足式（4），取x（t）

易證x∈domL，且Lx=y。從而可得：

顯然KerQ=ImL，通過簡單計算可得Q2y=Qy，y∈Y。

任取y∈Y，由y=（y-Qy）＋Qy知Y=ImL＋ImQ。取y∈ImL∩ImQ，由y∈ImQ得y=Qy，由y∈ImL=KerQ得Qy=0，因此y=0。所以有Y=ImL⊕ImQ。從而dim KerL=dimY／ImL=1，即：L是指數為零的Fredholm算子。

取y∈ImL，容易驗證K p y∈domL∩KerP且LK p y=y。反之，若x∈domL∩KerP，則

由x，K p Lx∈domL∩KerP，可得c1=c2= … =cn=0。從而有K p Lx=x。即

引理6 設Ω是X的有界開子集，且domL∩Ω≠?，則N在上是L-緊的。

證明 因Ω有界，存在常數r＞0，使得‖x‖≤r，x∈，由條件C1），存在函數φr∈Y，使得：

取x∈，則有

由式（5）以及Holder不等式可得：

由t（α-1）q＋1和t在［0，1］上的一致連續性可得Kp（I-Q）N（）是等度連續的。

因為φr∈Y?L1［0，1］，由積分的絕對連續性可得Kp（I-Q）N（）是等度連續的。由Arzela-Ascoli定理知Kp（I-Q）N（）是緊的。

定理2 設條件C1）和條件C2）成立，并假設下列條件成立：

H1）存在常數M ＞ 0使得當x∈X，｜｜＞M，?t∈ ［ 0，1］時，QNx ≠ 0。

H2）存在非負函數a（t），b（t），c（t）∈L1［0，1］使得：

其中 ‖c‖1＜1，‖b‖1＜Γ（α）（1-‖c‖1）。

H3）存在常數M＊＞0，如果｜c｜＞M＊，那么下列不等式之一成立：

1）cQN（ctα-1）＞0，

2）cQN（ctα-1）＜0。

為證明該結論，首先證明如下3個引理。

引理7 假設條件H1）和條件H2）成立，則下述集合有界：

證明 任 取x∈Ω1，則有Lx=λNx，從而Nx∈Im L=Ker Q。由條件H1）可知，存在t0∈ ［0，1］，使得｜≤ M 。又由Lx=λNx 得 ：

兩邊求α-1階導數，得：

代入t=t0，得：

由此可得：

由于x（t）=且x j（0）=0，0≤j≤n-2，所以有c1=c2= … =cn-1=0，即

因此有：

從而可得：

由式（8）和式（9）知Ω1有界。

引理8 設條件H1）成立，則集合Ω2=｛x∈KerL｜Nx∈ImL｝有界。

證明 由x∈Ω2可知x=ctα-1且QNx=0。由條件 H1）可得｜x（t）｜=Γ（α）｜c｜≤M。所以有因此Ω2有界。

引理9 設 條件 H1）和條件 H3）成立，則集合Ω3= ｛x∈KerL｜λθJx＋（1-λ）QNx=0，λ∈ ［ 0，1］｝有界，其中

證明 任 取x∈Ω3，則x=ctα-1且 滿足λθJ（ctα-1）＋（1-λ）QN（ctα-1）=0。如果λ=1，則c=0；如果λ=0，則QN（ctα-1）=0，由引理8的證明過程可得如果λ∈ （ 0，1），則有：

假設｜c｜＞M＊，由條件 H3）可得：λc2=-（1-λ）θcQN（ctα-1）＜0。

與已知矛盾。因此｜c｜≤M＊，即Ω3有界。

定理2的證明。

1）Lx≠λNx，對任意（x，λ）∈ ［ （domL＼KerL）∩?Ω］× （0，1）；

2）Nx?ImL，對任意x∈KerL∩?Ω；

下面證明deg（QN｜KerL，Ω∩KerL，0）≠0。

令H（x，λ）=λθJx＋（1-λ）QNx。由引理9知H（x，λ）≠0，x∈KerL∩?Ω。由度的同倫不變性可得：

由定理1，Lx=Nx在domL∩上至少有1個解，此即為問題（1）的解。

例 考慮如下分數階微分方程解的存在性：

其中

對應問題（1），α=。取φr（t）=t2＋t＋rt3，a（t）=t2＋t，b（t）=0，c（t）=t3，M=M＊=45。通過簡單計算可得問題（10）滿足定理2的所有條件，因此邊值問題（10）至少有1個解。

／References：

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