利用特值替換解答高考數學題

李金寨

(泉州經貿職業技術學院 福建泉州 362000)

數理化研究

利用特值替換解答高考數學題

李金寨

(泉州經貿職業技術學院 福建泉州 362000)

眾所周知，問題的一般性結論為真的前提是它的任一特殊情況下為真，這是特值替換(或賦值法)的理論依據，特值法本質上是一種演繹推理思維形式，具有函數的思想觀點。特殊值如何選取？視具體問題而定，沒有一成不變的規律，它的靈活性較強，常從題干或選擇支出發，通過考慮特殊情形把問題“特殊化”，甚至構造符合題設的特殊函數、特殊不等式、特殊數列、特殊圖形、特殊幾何體等。

特值；解答；數學題

特值法的模式是：對任意的x∈A，某式子恒成立，那么A中的特殊值X0，該式子一定成立，采用這種特殊方法解題，具有快速、準確的優點。選擇題、填空題因其題目的特殊性，在有些問題中不要求有嚴密的推理證明，而只要能借助于一些特殊方法寫出正確結果即可，故其應用相當普遍。下面以高考題為例加以說明。

一、從問題的特殊性入手，恰當賦值或構建特殊載體

1.善于結合題設條件選取特殊值

2.仔細觀察問題特點，構造特殊數列

例4:(93理)在各項均為正數的等比數列{an}中,若a5a6=9,則log3a1+log3a2+……+log3a10=( )

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析:設{an}=c(c為正常數)則由a5a6=9得c=3∴log3a=+log3a2+……+log3a10=10選B。

3.認真分析已知條件，發現特殊函數

例6：(99年理)函數f(x)=Msin(ωx+ψ)在區間[a,b]，上增函數，且f(a)=-M，f(b)=M則函數g(x)=Mcos(ωx+ψ)在[a,b]( )

A.是增函數 B.是減函數

C.可取得最大值M D.要取得最小值-M

解析：令f(x)=sinx,g(x)=cosx,(a,b)設為，分別比較它們的圖象便可選C。

例7:(97年理) 定義在區間(-∞,+∞)的奇函數f(x)為增函數,偶函數g(x)區間[0,+∞]的圖象與f(x)的圖象重合,設a＞b＞0,給出下列不等式其中成立的是( )

①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)

③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

二、特值法的拓廣—特形法

若從數形結合的觀點入手，將特殊值法中“值”的內涵延伸至“形”，這就是“特殊圖形法”。

1.研究分析非常規幾何體，構造特殊幾何體

例8：(92理)四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可以有( )

(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個

解析：這是得分率較低的一個題，究其原因，實質上是思維方法不對頭把四棱錐底面一般化了，即認為底面是一般四邊形，這是導致錯誤的關鍵！如果想到特殊化，如底面為正方形，則易知4個側面都可以是直角三角形。或特殊化底面為矩形，再特殊化一條側棱與底面垂直，不難知道4個側面都是直角三角形。為什么此題要特殊化？思維的啟動點在于類比聯想到函數取得最值的點也是特殊點，此題問“最多”，只有特殊圖形才能取得最多(大)或最少(小)，這樣通往正確結論的道路就找到了。

為( )

2.充分利用動態問題的特殊情形，找出特殊直線

以上幾例已說明從特值法到特形法這一拓廣的必要與實用。向學生有意識地適當介紹這一解題技巧，啟發學生掌握這一思想方法。

三、特值代換的解題功能

除了快速準確解答填空選擇題外，還可對某些解答題起到化難為易、化繁為簡、啟迪思路、探索結論的作用。

1.發現解題思路、尋求切入點

例11：(2000年高考)I. 數列{Cn}，其中Cn=2n+3n且數列等比數列，求常數pⅡ. 設{an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數列，Cn=an+bn證明數列{Cn}不是等比數列。

解析：Ⅰ).抓住C2-pC1、C3-pC2、C4-pC3為等比數列入手.

Ⅱ).只要證C1、C2、C3不成等比數列即可.

Ⅰ)解：由Cn=2n+3n得C1=5，C2=13，C3=35，C4=97又

∵C2-pC1、C3-pC2、C4-pC3為等比數列

∴(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)整理得p2-5p+6=0.解得p=2或3.

Ⅱ).證明：設{an}{bn}的公比別為p、q且p≠q,則它們的前三項為分別為：

2.探求未知結論，驗證一般性結論

解析：若等式對一切自然數n都成立則n=1, n=2, n=3時必成立

從而得到關于a、b、c的三元一次方程組求得a、b、c的值后，再用數學歸納法證明即可。

3.將一些抽象的推理問題轉化為具體的數學運算問題

例13：從十個字母A、B、C、D、E、F、G、X、Y、Z中任取五個(允許重復)組成一個詞，將所有可能的排列按“字典次序”(即英漢字典中英文詞匯排列順序)排列，得到一個詞表：AAAAA，AAAAB，…AAAAZ，AAABA，AAABB，…ZZZZY，ZZZZZ。設位于CYZGB與XEFDA之間(除這兩個詞外)的詞的個數為k，試寫出詞表中第k個詞。

解析：對A、B、C…、Z十個字母依次賦值為十個數0,1,2,…,9,這樣，問題中按次序排列的詞就轉化成了數0,1,2,…,99999(共有105個數).于是，詞CYZGB與XEFDA就分別轉化成了數28961和74530，故R=74530-28961-1=45568注意到AAAAA對應0，所以第k個詞就對應數45567，即這個詞是XFFGX。

總之，特值法通過巧妙取值，使問題數值化、直觀化、簡單化、特殊化，從而使問題得以很好的解決，在解題中具有廣泛的應用和獨特的價值，使學生更好地認識“從特殊到一般，從一般到特殊”的辯證思想，對于培養學生技能，開拓解題思路，是不可忽視的一個方面。

[1]汪勇建.賦值法在解題中的應用技巧[J].中學數學月刊,2003.

Using value replacement to solve math problems in the college entrance examination

Li Jin-zhai
(Quanzhou Economic Trade Technical College, Quanzhou Fujian, 362000, China)

The problem of the conclusion is true only if it in any particular case is true, this is the replacement value theory, especially value method is essentially a form of deductive reasoning thinking, has the function of ideas. How to select special cost? Depending on the specific issues, there is no fixed rule, its flexibility is stronger, often from the topic, dry, or choices, by considering the special situation "specialization", the question even structure accord with inequality problem of special function, special, special series, special graphics, special geometry, etc.

particular value; answer; math problems

G632

：A

：1000-9795（2014）011-000113-02

［責任編輯：劉 乾 ］

李金寨(1968-)，男，福建安溪人，泉州經貿職業技術學院講師，本科學歷，研究方向：五年制高職數學教學。