一個新構造混沌糾纏系統的動力學分析

楊 敏, 俞建寧, 張建剛, 安新磊, 杜文舉, 李耀偉

(蘭州交通大學 數理學院, 甘肅 蘭州 730070)

近年來,人們不僅力求深入分析非線性對系統動力學的影響,而且開始探索利用分岔、混沌等非線性現象造福人類,對創建新的混沌系統的需求明顯增加.目前,設計和建造新的人工混沌系統已經成為一個活躍的話題[1-5].文獻[6]提出一個新的名詞混沌糾纏,它是一種新的產生混沌的方法，基本原理是通過糾纏函數糾纏兩個或多個穩定的線性子系統來產生一個人造的混沌系統.混沌糾纏提供了一個更簡單的方法來設計和構建新的混沌吸引子.在實際中混沌糾纏可以被用來作為一個指導原則,以有效地構造人工混沌系統.

本文利用混沌糾纏的方法構造出一個新的超混沌系統,通過一系列動力學分析[7-9],驗證了這個系統是混沌的.

1 新混沌系統的構造

通過一些非線性函數進行糾纏時,如果兩個或多個線性子系統能產生混沌行為,這種現象就叫混沌糾纏.其中非線性函數叫做糾纏函數.

考慮兩個線性子系統.一個是二維的,另一個是一維的,分別如下所示

(1)

(2)

其中(x,y,z)是狀態變量.當a<0,c<0,兩個子系統是穩定的.

通過正弦函數糾纏(1)和(2)三個子系統,我們就得到下面的系統

(3)

其中(a,b,c,d,e)是糾纏系數,(sinx,siny,sinz)是糾纏函數.

當a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18時,系統(3)有一個混沌吸引子,如圖1所示.

圖1 當a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18時系統(4)的相圖

2 新系統的混沌驗證

2.1 對稱性和不變性

2.2 耗散性與吸引子的存在

由于系統(3)的向量場散度

(4)

所以,當a+b+d<0時系統(3)是耗散的,并且以指數形式收斂

即體積元V0在時刻t時收縮為體積元V0e(a+c-d)t,且當t→∞時包含系統軌線的每個小體積元以指數率(a+c-d)收縮到零, 所有系統的軌線最終會被限制在一個體積為零的極限子集上，且漸近運動將被固定到一個吸引子上.

2.3 有界性分析

通常,如果一個系統是有界的,且有一個正Lyapunov指數,那么這個系統是混沌的.

定理1 當a<0,c<0時,系統(3)是有界的.

證明為了計算方便,我們將系統(3)寫成如下形式

其中,

定義V=XTX,于是有

XT(AT+A)X+2FTBTX≤

于是

Ω0={X|‖X‖=M},Ω1={X|‖X‖≤M}

當‖X‖>M時，有

這表明系統(3)有界于Ω0.

2.4 平衡點的穩定性

要分析新系統的動力學特性,首先是要找出它的平衡點,通常平衡點與系統的參數有關.由于系統(3)是一個超越方程組,有很多個平衡點,通常,不容易找到其精確的解,所以這里只考慮一個平衡點E0=(0,0,0).

定理2[10]多項式L(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3(pi為實數)的所有的根都有負實部的充分且必要條件為p1,p2,p3都為正數,且滿足不等式p1p2>p3.

定理3 當a<0,b<0,c<0,d>0,b+e>0,b2d+e3<0時，平衡點E0是漸進穩定的.

證明系統(3)在平衡點E0=(0，0，0)處的Jacobian矩陣為

可得系統(3)在E0=(0,0,0)處的Jacobian矩陣的特征多項式為

p(λ)=λ3+(d-a-c)λ2+

(ac-b2-ad-cd-be)λ+

acd-b2d-be2-bde-e3

(5)

根據引理2知,要使式(5)有負實部的特征根,即平衡點E0是局部漸進穩定的充分必要條件是不等式

(6)

成立.所以當滿足條件(6)時,平衡點E0=(0,0,0)漸進穩定.

3 數值模擬

取參數a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18,計算得λ1=1.754358,λ2=0.001866,λ3=-6.756883.系統(3)有兩個大于零的Lyapunov指數,所以系統(3)此時處于超混沌狀態.圖2、3給出了系統(3)隨分岔參數e變化的分岔圖和Lyapunov指數譜.從圖2、3可以看出系統(3)隨分岔參數e變化運動的復雜性,隨著參數e的逐漸增大,系統(3)經歷由一周期倍化為二周期,四周期,…,的倍周期分岔的運動形式,從穩定的周期1軌道通過倍周期分岔的形式走向混沌.在混沌域內夾雜著許多長度不同的周期窗口,在這些窗口中,有的發生了倍周期分岔,有的鑲嵌較寬的3周期窗口(圖4(a)),說明系統(3)的運動比較穩定,有的窗口出現混沌危機(圖4(b)).

4 結束語

本文構造了一個新的混沌系統,通過一系列動力學分析,驗證了該系統是混沌的.數值計算顯示這個系統有兩個正的Lyapunov指數,這表明是超混沌的.最后畫出了全局分岔圖,可以看到該系統通過倍周期分岔通向混沌.

圖2 系統(3)超混沌狀態下e關于x的分岔圖

圖3 Lyapunov指數譜

圖4 系統(3)混沌狀態下e關于x的分岔圖

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