單純空間相鄰域及染色的研究

張士慶 ，張 號

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 阜新123000；2.中國礦業(yè)大學(xué)銀川學(xué)院，寧夏 銀川 750011；3.廣東美的廚衛(wèi)電器制造有限公司，廣東 佛山 528300)

在“3維度”空間里的一堆肥皂泡，兩兩相鄰的最大數(shù)目是4。若要將其染色，須4+1個(gè)顏色。將它們映射到2維度面上，就是四色問題[1-2]；映射到更多維度空間，就是近、現(xiàn)代理論物理學(xué)家、天文學(xué)家關(guān)心的宇宙及多個(gè)平行宇宙的幾何模型問題[3-4]。多維度空間問題超出了人類的感知能力、觀察能力和想象能力，常用“抽象幾何”去表達(dá)[5-6]?！皩?shí)幾何”在平面上得到充分的演繹，但在空間卻遇到很大的障礙。其實(shí)，直觀是問題的源泉，也是追求的終極目的——人們總是在用各種手段和方法將感知不到的事物轉(zhuǎn)化為直觀的表象。因此，本文采用計(jì)算機(jī)3D模擬，用豐富的色彩，用“投影降維”的方法，最大限度賦予它相對直觀的分析研究，希望使復(fù)雜的空間問題一目了然。

為了方便閱讀和分析，本文盡量采用傳統(tǒng)符號表述，例如，O-X1,X2, …,Xn：表示笛卡爾直角坐標(biāo)系；D：表示維度；S：表示圓球；1DS、2DS、3DS…：分別表示圓、二維度球面、三維度球面…；結(jié)構(gòu)式1DS2D、2DS3D、3DS4D…：分別表示圓面(圓圈及內(nèi)部，屬于二維圖形)、球體(二維度球面及內(nèi)部，屬于三維度圖形)、三維度球體(三維度球面及內(nèi)部，屬于四維度圖形)…；H2、H3：分別表示投影平面、投影超平面(三維歐氏空間作為投影面)；平面的上、下(或球面2DS、3DS的內(nèi)、外)——即空間反演平面(或2DS、3DS)；同時(shí)又大量制作直觀的計(jì)算機(jī)模擬空間彩色表象，幫助讀者去理解語言無法準(zhǔn)確表達(dá)又難以想象的空間關(guān)系。除特別需要，一般不再說明。

1 單純空間

單純空間定義：處處同質(zhì)的空間。歐幾里得空間、黎曼球面空間沒有對大小、方向設(shè)定條件，空間內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)(元素)的所有微分性質(zhì)都相同。將歐幾里得平直空間和黎曼球面擴(kuò)張至無窮遠(yuǎn)界(注：從1維度到4維度分別是點(diǎn)、線、面、體)[7-9]，它們就沒有實(shí)質(zhì)區(qū)別，稱為射影空間，見圖1所示。歐幾里得平直空間(注：黎曼球面空間的特殊情況：半徑R=∞)和黎曼球面空間統(tǒng)一起來，稱為單純空間。

圖1 單純空間

本文定義“單純空間”，是以直觀的射影幾何的方法去研究特殊的空間關(guān)系[9-10]，避免繁雜的幾何體系以及抽象幾何設(shè)定的假設(shè)、定理、公設(shè)，限制對實(shí)質(zhì)問題的簡潔討論，也有利于對空間的兩兩相鄰域、空間的N+1染色定理的研究。同時(shí)，也想與宇宙學(xué)“各向同性空間”一詞建立某些聯(lián)想，使它的應(yīng)用擴(kuò)展到諸如建立“標(biāo)準(zhǔn)宇宙”幾何模型等類問題上。

本文討論的問題僅限于單純空間。多數(shù)情況下，“單純空間”又特指有限的、具體的球面。

2 2DS3D相鄰域?qū)嶒?yàn)

相鄰域是指一個(gè)低維度空間將一個(gè)高維度空間一分為二，兩者互為反演，拓?fù)涞葍r(jià)[11]。例如平面上的一個(gè)圓，將平面分為內(nèi)、外兩個(gè)相鄰部分；一個(gè)球面將空間分為內(nèi)、外兩個(gè)相鄰部分(分別見圖1左圖、右圖所示)。這兩個(gè)相鄰部分存在公共實(shí)質(zhì)邊界，稱為兩個(gè)相鄰域，兩者互為反演，拓?fù)涞葍r(jià)。

2DS3D(球體)相鄰域定義：兩個(gè)及兩個(gè)以上球體相交，球體彼此間有一個(gè)實(shí)質(zhì)共有面，稱其相鄰(球面彼此間有一段實(shí)質(zhì)共有線——表面交線)。

2DS3D(球體)兩兩相鄰域定義：兩個(gè)及兩個(gè)以上球體相鄰，且每個(gè)球體都與其它所有球體相鄰，稱其為兩兩相鄰域(簡稱：相鄰域)。

以上定義可以推廣到更高維，詞語相近。以下不再贅述。

在3DS空間，做2DS3D相鄰域計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，將分析結(jié)果分類列表，如圖2所示。上排圖形(a)～(d)分別是無序的2DS3D球組合、四個(gè)有序的兩兩相鄰的2DS3D球組合(以正四面體頂點(diǎn)為球心)、六個(gè)有序的2DS3D球組合(以正八面體頂點(diǎn)為球心)、八個(gè)有序的2DS3D球組合(以正六面體頂點(diǎn)——立方體頂點(diǎn)為球心)[12](注：圖2(a)～(d)的上排圖是實(shí)體造型渲染圖，下排圖是線網(wǎng)顯示圖)；圖2(e)～(f)分別是4個(gè)有序的兩兩相鄰的2DS3D球組合的結(jié)合過程、相鄰域演變過程——隨著白球變大，改變了紅、藍(lán)兩球相鄰域關(guān)系。

圖2 2DS3D相鄰域模擬實(shí)驗(yàn)圖

兩個(gè)球體相鄰，有一條實(shí)質(zhì)表面交線；3個(gè)球體兩兩相鄰，彼此間有三段實(shí)質(zhì)表面交線，并匯聚于一點(diǎn)，即圖2(b)和圖2(e)中a點(diǎn)處所示。實(shí)驗(yàn)表明兩兩相鄰域最大數(shù)是4，即圖2(b)和圖2(e)所示。若加上背景空間，就是4+1。

3 2DS的映射分析法

設(shè)2D球面2DS，球心O，半徑為r。以O(shè)為原點(diǎn)建立一個(gè)任意直角坐標(biāo)系O-X1，X2，X3。設(shè)過球心，垂直于X3的平面為投影面H2，圖3上排左圖所示。球面上的所有平行于H2的圓，稱為等高的緯線圓1DS。高度為l的等高的緯線圓1DS=f (r，l)。每個(gè)等高的緯線圓1DS正投影到H2上，就是反映自己實(shí)際形狀的1DS圓。將它們都正投影到H2上，形成一個(gè)“二重圓域”，圖3上排中圖所示。上半球面投影到H2上表面(紅線所示)，下半球投影到H2下表面(綠線所示)，得到圖3上排右圖所示正投影圖形。這是一一對應(yīng)的射影變換。由于是正投影，保留了水平部分的度量性。球面2DS與平面H2建立起映射關(guān)系。2DS和H2平面上的圖形互為映射關(guān)系。圖3下排圖所示，由P向射影，球面上的紅、綠、藍(lán)3個(gè)兩兩相鄰域圖形與H2上的紅、綠、藍(lán)3個(gè)兩兩相鄰域圖形構(gòu)成一一對應(yīng)的映射關(guān)系?？梢杂蒆2平面上的這個(gè)圖形去分析2DS球面上的圖形，這一方法稱為映射分析法(或投影降維分析法)。

圖3 映射分析法

4 2DS3D兩兩相鄰域最大數(shù)4+1

圖4上排左圖表明平面上的兩兩相鄰域最大數(shù)是3+1，在文獻(xiàn)[2]中已經(jīng)作了嚴(yán)格證明。

圖4上排右圖是2DS3D及3DS(空間)的兩兩相鄰域的幾何證明圖。2DS上與H2上的相鄰域圖是互為映射關(guān)系，因此只能在2DS(圖中紫色的2DSⅡ)球面上，由三個(gè)兩兩相鄰域圖Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ向外(或內(nèi)——內(nèi)、外無實(shí)質(zhì)區(qū)別)空間做3個(gè)球體(圖4下排左圖、中圖紅、綠、藍(lán)3球所示)；構(gòu)成4個(gè)2DS3D兩兩相鄰域：2DSⅠ(紅色球)、2DSⅢ(綠色球)、2DSⅣ(藍(lán)色球)及2DSⅡ(紫色的基礎(chǔ)球)。這恰好與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。假設(shè)有第5個(gè)2DS3D與這4個(gè)2DS3D都相鄰，因?yàn)?個(gè)球體兩兩相鄰，彼此間有3段實(shí)質(zhì)表面交線，并匯聚于1點(diǎn)，因此這第5個(gè)2DS3D表面與2DSⅡ(紫色球面)的交線必須與紫線(2DSⅠ與2DSⅡ交線)、綠線(2DSⅢ與2DSⅡ交線)、藍(lán)線(2DSⅣ與2DSⅡ交線)均有交點(diǎn)(圖3下排圖及圖4所示)，這是不可能的。詳細(xì)論證參見文獻(xiàn)[2]。

圖4 兩兩相鄰域

傳統(tǒng)意義平面上的兩兩相鄰域問題，表面上是平面問題，實(shí)質(zhì)是3D射影空間內(nèi)的2維度平面問題。因?yàn)?，沒有3D射影空間，就不存在2DS變換問題；同時(shí)，人也無法去觀察、分析2維度平面問題。平面上的兩兩相鄰域最大數(shù)是“3+1”，其中“3”是指平面上最多只能做出3個(gè)都與背景平面(空間)相鄰的兩兩相鄰的2維度圖形(圖4上排左圖所示)；“+1”是指2維度的背景平面(因?yàn)?維度圖形不可能無窮大)。

空間中由4個(gè)2DS3D構(gòu)成的兩兩相鄰域的3維度圖形(模型)，是4D射影空間內(nèi)的3維度空間問題，實(shí)際兩兩相鄰域最大數(shù)是4+1，其中“+1”是指3維度的背景空間。

圖4下排右圖，2DSⅠ、2DSⅡ、2DSⅢ、2DSⅣ是4個(gè)2DS3D構(gòu)成的兩兩相鄰域在H2上的投影示意圖，2DSⅤ是背景空間。

5 三維球面的可視模型

圖5上排圖是在3DS空間的2DS投影降維法。圖5下排圖是在4DS空間的3DS一次投影降維。與3DS空間的2DS投影降維法相似，設(shè)過4DS空間的3DS球心O為原點(diǎn)，建立一個(gè)任意直角坐標(biāo)系O-X1，X2，X3，γ(注:γ即X4)，以絕對垂直于γ的超平面為投影超平面H3[13]，圖5下排左圖所示(注：目前還沒有制作4維軸測圖的公認(rèn)的理論、方法和技術(shù))。3DS球面上，所有平行于H3的2DS(圓球面)稱為等高的緯面圓球2DS(圖上僅畫出上、中、下三個(gè)2DS，中間大的2DS是3DS球面在H3上的截影)。在半徑為R的3DS球面上，距離H3高度為L的等高的緯面圓球2DS=f (L，R)。每個(gè)等高的緯面圓球2DS正投影到H3上，就是反映自己實(shí)際形狀的2DS球面。將它們都正投影到H3上，形成一個(gè)“二重圓球體域”。它的結(jié)構(gòu)是：由以球心向外，一層一層2DS球面所構(gòu)成，圖5下排中圖(正視)、右圖(側(cè)視)所示(前、上面剖去1/8，以便觀看)；第4維γ，投影為一個(gè)點(diǎn)，即球心；上半3DS球面投影到H3“上表面”上(上、下、內(nèi)、外無實(shí)質(zhì)區(qū)別)——各球面彩色外殼所示，下半3DS球面投影到H3“下表面”上——各球面灰色內(nèi)面所示。這是一一對應(yīng)的射影變換，由于是正投影，保留了水平部分的度量性。3DS球面與超平面H3建立起映射關(guān)系。3DS上的圖形映射到H3超平面上，形成一一對應(yīng)的圖形?？梢杂蒆3超平面上的這個(gè)圖形去分析3DS球面上的圖形。

圖5 三維球面及其投影模型

6 N維空間兩兩相鄰域最大數(shù)定理

單純空間兩兩相鄰域最大數(shù)定理：在N維度單純空間，做出N-1維度的兩兩相鄰單純空間的最大數(shù)是N+1，N+1之“+1”指的是背景空間。簡稱相鄰域定理。證明如下：

由“4 2DS3D兩兩相鄰域最大數(shù)4+1”所證：在3維度射影空間可以在2維度球面(或平面)上做出最多3個(gè)都與背景球面相鄰的兩兩相鄰的2維度圖形(封閉線確定的面積，即1DS2D)，形成3+1個(gè)兩兩相鄰的2維度圖形(其中之一是背景圖形，圖3下排圖、圖4上排圖所示)；將其映射到4維度射影空間，由上述3+1個(gè)具有2維度的1DS2D兩兩相鄰域圖形為基礎(chǔ)，可以做出最多4個(gè)都與背景球面相鄰的3維度兩兩相鄰的2DS3D圖形(封閉球面確定的體積)，形成4+1個(gè)兩兩相鄰的3維度圖形(其中之一是背景圖形，圖4下排圖所示)?！凑沼傻途S度到高維度構(gòu)成的一一對應(yīng)的射影變換，映射到更高維度空間，可以歸納為：設(shè)N-1(注：N≥5)維度射影空間成立，即：在其內(nèi)部可以建立最多N-1個(gè)(N-2)維度兩兩相鄰域球面圖形，其兩兩相鄰域最大數(shù)是[(N-1)+1]，[(N-1)+1]之“(N-1)”是相鄰域球面圖形數(shù)，其中“+1”是背景空間(因?yàn)榍蛎鎴D形不可能無窮大)；由一一對應(yīng)的射影變換及一一對應(yīng)的映射關(guān)系，將其映射到N維度射影空間中，由上述[(N-1)+1]個(gè)(N-2)維度兩兩相鄰域球面圖形為基礎(chǔ)，可以做出最多[(N-1)+1]個(gè)都與背景球面(空間)相鄰的(N-1)維度兩兩相鄰域球面圖形，形成[(N-1)+1]+1個(gè)兩兩相鄰的(N-1)維度圖形，兩兩相鄰單純空間的最大數(shù)是“[(N-1)+1]+1”，“[(N-1)+1]+1”之“[(N-1)+1]”是相鄰域球面圖形數(shù)，其中“+1”是背景空間(因?yàn)榍蛎鎴D形不可能無窮大)。即是：在N維度單純空間，做出N-1維度的兩兩相鄰單純空間的最大數(shù)是N+1，N+1之“+1”指的是背景空間。

證畢。

二維度空間僅僅是傳統(tǒng)概念意義上的特例。將它作為射影空間，即為1DS2D，內(nèi)部的單純空間是0DS1D，僅僅存在線束。相鄰域問題，可以理解為點(diǎn)分線為兩相鄰部分(見圖7)。

在上述這個(gè)幾何體系下，我們所生活的空間(現(xiàn)實(shí)空間)，其實(shí)是在4維度射影空間中的3DS空間內(nèi)。關(guān)于第4維γ(注:γ即X4)，除抽象幾何(也稱綜合幾何)外，即使是頂級學(xué)者也知之甚少，但他們越來越關(guān)心第4維γ，更越來越感到第4維γ存在的重要性，只是感知、觀察和想象非常模糊。

7 N維空間(N-1)DS的構(gòu)形圖及N+1染色定理

設(shè)N維度單純空間內(nèi)，由若干個(gè)(N-1)DS任意分布，組合成一幅N-1維度構(gòu)形圖。其中每個(gè)(N-1)DS的結(jié)構(gòu)式是：(N-2)DS(N-1)D，即由(N-2)維度球面及內(nèi)部所構(gòu)成的球體。

單純空間N+1染色定理：在N維度單純空間的每一幅N-1維度構(gòu)形圖，可以至多用N+1種顏色染色。簡稱N+1色定理。證明如下：

要區(qū)分相鄰域就須染色，即相鄰域染上不同顏色。

N維空間的(N-1)DS的構(gòu)形圖可以歸納為3種基本類型：①鏈?zhǔn)?圖6左1所示)、②內(nèi)含式(圖6左2所示)、③兩兩相鄰域式(圖6左3所示)。如圖6所示，是3DS空間的2DS鄰域關(guān)系的3種基本類型。將3種基本類型的最簡模型作為基本構(gòu)形圖，任意組合，可以生成任意復(fù)雜的構(gòu)形圖。例如：平面圖形(地圖)；空間的肥皂泡；超弦理論之多個(gè)“平行宇宙”的幾何模型圖。其構(gòu)圖的方法及過程都與地圖相同[2]。

圖6 基本構(gòu)形圖及染色定理

圖6所示2DS的①鏈?zhǔn)?、②?nèi)含式染色所需顏色數(shù)不多于③兩兩相鄰域式；在N維度單純空間依然如此。因此按照兩兩相鄰域形式的基本構(gòu)形圖去作任意復(fù)雜的構(gòu)形圖，是研究染色所需最多顏色的充要條件。

設(shè)有一個(gè)含N+1個(gè)(N-1)DS組成的最大數(shù)兩兩相鄰域構(gòu)形圖，染色所需顏色數(shù)為N+1。在以它為基本構(gòu)形圖的基礎(chǔ)上，任意添加1域(即“第N+2域”，例如，圖6右圖白色球所示)；整個(gè)N+2個(gè)(N-1)DS構(gòu)形圖，超過兩兩相鄰域最大數(shù)，必至少有2個(gè)(N-1)DS不相鄰；這2個(gè)不相鄰的(N-1)DS球，用同1種顏色染色。再任意添加1域“第N+3域”，當(dāng)不改變原來各相鄰域關(guān)系情況下，至多與其他N+2個(gè)域之中的N個(gè)(N-1)DS構(gòu)形圖組成兩兩相鄰域，可以用這N個(gè)兩兩相鄰域顏色之外的第N+1色染色；當(dāng)改變原來各相鄰域關(guān)系情況下(例如，與多于N+1個(gè)(N-1)DS相鄰)，必出現(xiàn)①鏈?zhǔn)健ⅱ趦?nèi)含式結(jié)構(gòu)，含有①鏈?zhǔn)?、②?nèi)含式結(jié)構(gòu)的N+2個(gè)(N-1)DS構(gòu)形圖可以染色，余下的最后一域，至多與其他N+2個(gè)域之中的N個(gè)(N-1)DS構(gòu)形圖組成兩兩相鄰域，因此可以用這N個(gè)兩兩相鄰域顏色之外的第N+1色染色。設(shè)N+T個(gè)(N-1)DS構(gòu)形圖可染(注：T≥3，整數(shù))，再任意添加1域“第N+T+1域”，構(gòu)成N+T+1個(gè)(N-1)DS構(gòu)型圖，當(dāng)不改變原來各相鄰域關(guān)系情況下，“第N+T+1域”至多與其他N+T域之中的N個(gè)(N-1)DS構(gòu)形圖組成兩兩相鄰域，可以用這N個(gè)相鄰域顏色之外的第N+1色染色；當(dāng)改變原來各相鄰域關(guān)系情況下，必出現(xiàn)①鏈?zhǔn)健ⅱ趦?nèi)含式結(jié)構(gòu)，按照上述推理，含有①鏈?zhǔn)?、②?nèi)含式結(jié)構(gòu)的N+T個(gè)(N-1)DS構(gòu)形圖可以染色，則余下的最后一域，至多與其他N+T域之中的N個(gè)(N-1)DS構(gòu)形圖組成兩兩相鄰域，因此可以用這N個(gè)相鄰域顏色之外的第N+1色染色。即是：在N維度單純空間的每一幅N-1維度構(gòu)形圖，可以至多用N+1種顏色染色。

證畢。

這一論證過程在文獻(xiàn)[2]中已經(jīng)用過。圖6右圖是3DS空間中的2DS例，在N維空間中的(N-1)DS也類似。

N+1染色定理適用于從特例1DS2D到(N-1)DSND的所有情況。例如：1DS2D，即2維度(平面)射影空間，其內(nèi)部的構(gòu)形圖結(jié)構(gòu)式是0DS1D，0DS表示無單純空間構(gòu)形圖，1D表示僅僅存在線束，點(diǎn)分線為兩相鄰部分，染色須3色(圖7左圖所示)；2DS3D，即3維度射影空間，其內(nèi)部的構(gòu)形圖結(jié)構(gòu)式是1DS2D，表示圓面構(gòu)形圖，就是“四色問題”(圖7中圖所示)；3DS4D，即4維度射影空間，其內(nèi)部的構(gòu)形圖結(jié)構(gòu)式是2DS3D，表示球體構(gòu)形圖，就是“肥皂泡問題”(即現(xiàn)實(shí)空間)，染色須5色(圖7右圖所示)。

圖7 染色圖例

8 標(biāo)準(zhǔn)宇宙的三維投影模型

幾何學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展都是為了應(yīng)用。上述內(nèi)容的另一個(gè)重要應(yīng)用是可以為理論物理學(xué)、宇宙學(xué)提供一個(gè)有堅(jiān)實(shí)幾何學(xué)基礎(chǔ)的標(biāo)準(zhǔn)宇宙的3維度投影模型[14-17]。如圖8所示，從左至右分別是4DS空間3DS示意圖(兩團(tuán)色斑表示兩個(gè)有限宇宙)、無限宇宙在H3(超平面)上的3維度投影模型(圖8左2所示)、有限并行宇宙在H3(超平面)上的3維度投影模型(圖8左3所示)、有限相鄰宇宙在H3(超平面)上的3維度投影模型(圖8左4所示)。

圖8 標(biāo)準(zhǔn)宇宙的三維投影模型

基于這一模型，可以用重積分方法計(jì)算宇宙容 量I(參見文獻(xiàn)[14])：

宇宙的年齡約140億年，具體容量還沒有定論。若宇宙范圍(測地線周長)L=1250億光年，則R=L/2π≈200億光年，I≈15.8×1031[光年]3；則徑向膨脹速度超光速，周向退行速度大于3倍光速；則“視界”僅為宇宙的1/3。若宇宙范圍L=280億光年，則地球處于A點(diǎn)，恰好可以從兩個(gè)相反方向看到最遠(yuǎn)點(diǎn)B，圖8右圖所示。若宇宙范圍＜280億光年，則可以從兩個(gè)相反方向看到不同時(shí)期的點(diǎn)C。存在膨脹因素的影響，實(shí)際情況很復(fù)雜[14,17]。

9 結(jié)束語

“實(shí)幾何”對空間問題的研究十分重要。一些世界難題，例如，四色問題，空間相鄰域及染色問題，經(jīng)過“實(shí)幾何”，借助計(jì)算機(jī)輔助研究，會變得一目了然。

空間——宇宙，既是科學(xué)問題，也是哲學(xué)問題，自古以來受人關(guān)注。人類太渺小，只是近代才對宇宙有一些膚淺認(rèn)識。但近一百年來有加速認(rèn)識的動(dòng)力、方法和手段。發(fā)展趨勢之一是不斷突破對空間的認(rèn)知。在純數(shù)學(xué)、理論物理學(xué)、宇宙觀測得到突飛猛進(jìn)發(fā)展之時(shí)，“實(shí)幾何學(xué)”卻沒有長足進(jìn)步，以至于完成這篇論文十分困難；而且仍然有缺憾之處，這些缺憾之處是在近期無法解決的世界難題(例如，4D模擬的理論、方法、技術(shù))。作此論文，除論證以上問題，也想關(guān)注實(shí)幾何問題、空間關(guān)系問題與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的緊密聯(lián)系。

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