剪刀下的奇跡
2014-03-21 19:12:17張遠南
數學教學通訊·初中版 2014年2期
張遠南
我國著名數學家華羅庚在統籌方法中以泡茶為引子，引出了最長矛盾線，也就是用時最長的工序線. 對于很多非常復雜的工序流線圖，要找出主要矛盾線是極為困難的. 不過你可能萬萬沒有想到，要解決主要矛盾線的問題，只需要一把普通的剪刀就夠了……
我國著名的數學家華羅庚教授，曾用一道簡單而有趣的問題作引子，介紹了一門新興的數學分支——統籌方法.
問題是這樣的：想泡壺茶喝，當時的情況是沒有開水，開水壺需要洗，茶壺和茶杯也需要洗，已經有茶葉了，火也已經升了，怎么辦？
方法自然是有的，例如：
方法一，先洗開水壺，灌上涼水，放在火上，然后坐著等水開，水開了之后立即洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，再泡茶喝；
方法二，先洗開水壺、茶壺和茶杯，并拿來茶葉，一切準備就緒后再灌水、燒水，待水開后泡茶喝；
方法三，先洗開水壺，灌上涼水，放在火上，在等待水開的時間里，洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水一開便泡茶喝.
我想，聰明的讀者都已經看出來了，方法三是最好的. 頭兩種都“窩了工”，造成了時間上的浪費.
仔細分析一下就會知道，在要做的許多事中，有些事必須做在另一些事的前面，而有些事則一定要做在另一些事的后頭. 例如，不洗開水壺，即使水燒開了，衛生沒有保證，這自然是不可取的. 因此，洗開水壺是燒開水的先決條件. 同樣，燒開水、洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉都是泡茶的先決條件. 圖1的箭頭圖，可使人一目了然地看清楚各事件間的先后順序和相互關系，箭桿上的數字表示完成這一動作所需要的時間（圖中的單位為分鐘）.
用數字表示任務，并把本身沒有先后順序而且是同一個人干的活合并起來，便有了這種箭頭圖，我們稱之為工序流線圖. 當然，華羅庚教授所舉例子中的工序流線圖是極為簡單的. 在一般情況下，需要完成的任務很多，內部關系縱橫交錯，因而工序流線圖也就比較復雜.
對一項工程來說，一個很重要的指標是：完成它需要多長的時間？例如上面的泡茶例子，完成它至少需要16分鐘. 這是根據圖2中用時最長的一條工序流線①→②→④計算出來的. 這條用時最長的工序流線，我們稱之為主要矛盾線. 工序流線圖中的其余工序，顯然都可以安排在完成主要矛盾線的同時去完成. 正如泡茶例子中的工序（3→4），即洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，都可以安排在工序（2→4），即燒開水中去完成.
讀者容易明白：主要矛盾線上如果耽誤一分鐘，整個工程完成的時間也勢必推遲一分鐘，相反，如果主要矛盾線提早完成了，那么整個工程也就有希望提早完成！
下面是一張生產計劃表：
相應的工序流線圖如圖3所示.
要找出該生產計劃的主要矛盾線，就必須算出各條工序流線所需要的時間. 所需的時間如下表所示.
由上表可看出，編號為5的工序流線為該生產計劃的主要矛盾線，它表明要完成這項生產計劃所花的時間不能少于26個單位.
讀者不難想象，對于更為復雜的工序流線圖，要像上面那樣找出主要矛盾線是極為困難的. 不過，讀者可能萬萬沒有想到，要解決主要矛盾線的問題，只需一把普通的剪刀就夠了！要說明這種剪刀下的奇跡，我們還得從“緊繩法”講起.
大家都知道，如果從甲地到乙地有兩條路可以走，人們總是走近道. 但對于交通發達、道路縱橫的區域，要想從一個地方找近道到另一個地方，就不那么容易了.
有一種簡捷的辦法，可以使人在幾分鐘甚至幾秒鐘內就從幾十條甚至幾百條道路中，選出一條最短的，這就是緊繩法. 具體是這樣的：把區域的交通圖鋪在平板上，然后用不容易伸縮的細線，仿照地圖上的線路結成一張如圖4所示的交通網. 如果我們要找出從A到B的最短路線，只需用手捏住A、B兩點的線頭，用力把它們往相反的方向拉開，則拉成的直線ACDEB就是我們所要找的最短路線（如圖5）. 道理無須多說，讀者也會明白.
現在輪到找主要矛盾線了. 明眼的讀者可能已經看出，工序流線圖有點像城市的交通網，不過，只是把完成任務的時間看成相應道路的長短，同時，任務的進行是有方向的罷了！可惜這里要求的不是最短的路線，而是最長的路線.
現在，我們就利用一把剪刀，把緊繩法巧妙地移植到本篇文章所要求的問題上來.
像緊繩法那樣，用不容易伸縮的細線編成一個工序流線圖那樣的網. 仍以前面的生產計劃為例，我們作出圖6，網中各段細線的長度表示完成相應工序所用的時間.
拉緊1、9可得圖7.
以上顯然求出了從1到9的最短路線. 為求主要矛盾線，我們可以將直線段1到9上有分叉的某一節剪去. 當然，剪時最好能從頭開始，同時還要注意剪后新圖上工序箭頭的合理性. 例如，剪去2—5并拉緊1、9可得圖8.
同理，剪去圖8中的2—3并拉緊1、9得圖9.
讀者從原來的工序流線圖上不難看出，工序7—3—6與工序7—5—6并不存在（箭頭方向不對），因而線頭3和5實際上不起作用，可以大膽剪去，得到圖10.
最后，剪去4—6得到圖11.
現在已經沒有分叉了，所得的最長路線為：
1—2—4—7—8—9.
這顯然與我們前面通過計算得到的主要矛盾線是一樣的！
瞧，剪刀下果真出現了奇跡！這是當初數學家們所沒有料到的.endprint
我國著名數學家華羅庚在統籌方法中以泡茶為引子，引出了最長矛盾線，也就是用時最長的工序線. 對于很多非常復雜的工序流線圖，要找出主要矛盾線是極為困難的. 不過你可能萬萬沒有想到，要解決主要矛盾線的問題，只需要一把普通的剪刀就夠了……
我國著名的數學家華羅庚教授，曾用一道簡單而有趣的問題作引子，介紹了一門新興的數學分支——統籌方法.
問題是這樣的：想泡壺茶喝，當時的情況是沒有開水，開水壺需要洗，茶壺和茶杯也需要洗，已經有茶葉了，火也已經升了，怎么辦？
方法自然是有的，例如：
方法一，先洗開水壺，灌上涼水，放在火上，然后坐著等水開，水開了之后立即洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，再泡茶喝；
方法二，先洗開水壺、茶壺和茶杯，并拿來茶葉，一切準備就緒后再灌水、燒水，待水開后泡茶喝；
方法三，先洗開水壺，灌上涼水，放在火上，在等待水開的時間里，洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水一開便泡茶喝.
我想，聰明的讀者都已經看出來了，方法三是最好的. 頭兩種都“窩了工”，造成了時間上的浪費.
仔細分析一下就會知道，在要做的許多事中，有些事必須做在另一些事的前面，而有些事則一定要做在另一些事的后頭. 例如，不洗開水壺，即使水燒開了，衛生沒有保證，這自然是不可取的. 因此，洗開水壺是燒開水的先決條件. 同樣，燒開水、洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉都是泡茶的先決條件. 圖1的箭頭圖，可使人一目了然地看清楚各事件間的先后順序和相互關系，箭桿上的數字表示完成這一動作所需要的時間（圖中的單位為分鐘）.
用數字表示任務，并把本身沒有先后順序而且是同一個人干的活合并起來，便有了這種箭頭圖，我們稱之為工序流線圖. 當然，華羅庚教授所舉例子中的工序流線圖是極為簡單的. 在一般情況下，需要完成的任務很多，內部關系縱橫交錯，因而工序流線圖也就比較復雜.
對一項工程來說，一個很重要的指標是：完成它需要多長的時間？例如上面的泡茶例子，完成它至少需要16分鐘. 這是根據圖2中用時最長的一條工序流線①→②→④計算出來的. 這條用時最長的工序流線，我們稱之為主要矛盾線. 工序流線圖中的其余工序，顯然都可以安排在完成主要矛盾線的同時去完成. 正如泡茶例子中的工序（3→4），即洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，都可以安排在工序（2→4），即燒開水中去完成.
讀者容易明白：主要矛盾線上如果耽誤一分鐘，整個工程完成的時間也勢必推遲一分鐘，相反，如果主要矛盾線提早完成了，那么整個工程也就有希望提早完成！
下面是一張生產計劃表：
相應的工序流線圖如圖3所示.
要找出該生產計劃的主要矛盾線，就必須算出各條工序流線所需要的時間. 所需的時間如下表所示.
由上表可看出，編號為5的工序流線為該生產計劃的主要矛盾線，它表明要完成這項生產計劃所花的時間不能少于26個單位.
讀者不難想象，對于更為復雜的工序流線圖，要像上面那樣找出主要矛盾線是極為困難的. 不過，讀者可能萬萬沒有想到，要解決主要矛盾線的問題，只需一把普通的剪刀就夠了！要說明這種剪刀下的奇跡，我們還得從“緊繩法”講起.
大家都知道，如果從甲地到乙地有兩條路可以走，人們總是走近道. 但對于交通發達、道路縱橫的區域，要想從一個地方找近道到另一個地方，就不那么容易了.
有一種簡捷的辦法，可以使人在幾分鐘甚至幾秒鐘內就從幾十條甚至幾百條道路中，選出一條最短的，這就是緊繩法. 具體是這樣的：把區域的交通圖鋪在平板上，然后用不容易伸縮的細線，仿照地圖上的線路結成一張如圖4所示的交通網. 如果我們要找出從A到B的最短路線，只需用手捏住A、B兩點的線頭，用力把它們往相反的方向拉開，則拉成的直線ACDEB就是我們所要找的最短路線（如圖5）. 道理無須多說，讀者也會明白.
現在輪到找主要矛盾線了. 明眼的讀者可能已經看出，工序流線圖有點像城市的交通網，不過，只是把完成任務的時間看成相應道路的長短，同時，任務的進行是有方向的罷了！可惜這里要求的不是最短的路線，而是最長的路線.
現在，我們就利用一把剪刀，把緊繩法巧妙地移植到本篇文章所要求的問題上來.
像緊繩法那樣，用不容易伸縮的細線編成一個工序流線圖那樣的網. 仍以前面的生產計劃為例，我們作出圖6，網中各段細線的長度表示完成相應工序所用的時間.
拉緊1、9可得圖7.
以上顯然求出了從1到9的最短路線. 為求主要矛盾線，我們可以將直線段1到9上有分叉的某一節剪去. 當然，剪時最好能從頭開始，同時還要注意剪后新圖上工序箭頭的合理性. 例如，剪去2—5并拉緊1、9可得圖8.
同理，剪去圖8中的2—3并拉緊1、9得圖9.
讀者從原來的工序流線圖上不難看出，工序7—3—6與工序7—5—6并不存在（箭頭方向不對），因而線頭3和5實際上不起作用，可以大膽剪去，得到圖10.
最后，剪去4—6得到圖11.
現在已經沒有分叉了，所得的最長路線為：
1—2—4—7—8—9.
這顯然與我們前面通過計算得到的主要矛盾線是一樣的！
瞧，剪刀下果真出現了奇跡！這是當初數學家們所沒有料到的.endprint
我國著名數學家華羅庚在統籌方法中以泡茶為引子，引出了最長矛盾線，也就是用時最長的工序線. 對于很多非常復雜的工序流線圖，要找出主要矛盾線是極為困難的. 不過你可能萬萬沒有想到，要解決主要矛盾線的問題，只需要一把普通的剪刀就夠了……
我國著名的數學家華羅庚教授，曾用一道簡單而有趣的問題作引子，介紹了一門新興的數學分支——統籌方法.
問題是這樣的：想泡壺茶喝，當時的情況是沒有開水，開水壺需要洗，茶壺和茶杯也需要洗，已經有茶葉了，火也已經升了，怎么辦？
方法自然是有的，例如：
方法一，先洗開水壺，灌上涼水，放在火上，然后坐著等水開，水開了之后立即洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，再泡茶喝；
方法二，先洗開水壺、茶壺和茶杯，并拿來茶葉，一切準備就緒后再灌水、燒水，待水開后泡茶喝；
方法三，先洗開水壺，灌上涼水，放在火上，在等待水開的時間里，洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水一開便泡茶喝.
我想，聰明的讀者都已經看出來了，方法三是最好的. 頭兩種都“窩了工”，造成了時間上的浪費.
仔細分析一下就會知道，在要做的許多事中，有些事必須做在另一些事的前面，而有些事則一定要做在另一些事的后頭. 例如，不洗開水壺，即使水燒開了，衛生沒有保證，這自然是不可取的. 因此，洗開水壺是燒開水的先決條件. 同樣，燒開水、洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉都是泡茶的先決條件. 圖1的箭頭圖，可使人一目了然地看清楚各事件間的先后順序和相互關系，箭桿上的數字表示完成這一動作所需要的時間（圖中的單位為分鐘）.
用數字表示任務，并把本身沒有先后順序而且是同一個人干的活合并起來，便有了這種箭頭圖，我們稱之為工序流線圖. 當然，華羅庚教授所舉例子中的工序流線圖是極為簡單的. 在一般情況下，需要完成的任務很多，內部關系縱橫交錯，因而工序流線圖也就比較復雜.
對一項工程來說，一個很重要的指標是：完成它需要多長的時間？例如上面的泡茶例子，完成它至少需要16分鐘. 這是根據圖2中用時最長的一條工序流線①→②→④計算出來的. 這條用時最長的工序流線，我們稱之為主要矛盾線. 工序流線圖中的其余工序，顯然都可以安排在完成主要矛盾線的同時去完成. 正如泡茶例子中的工序（3→4），即洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，都可以安排在工序（2→4），即燒開水中去完成.
讀者容易明白：主要矛盾線上如果耽誤一分鐘，整個工程完成的時間也勢必推遲一分鐘，相反，如果主要矛盾線提早完成了，那么整個工程也就有希望提早完成！
下面是一張生產計劃表：
相應的工序流線圖如圖3所示.
要找出該生產計劃的主要矛盾線，就必須算出各條工序流線所需要的時間. 所需的時間如下表所示.
由上表可看出，編號為5的工序流線為該生產計劃的主要矛盾線，它表明要完成這項生產計劃所花的時間不能少于26個單位.
讀者不難想象，對于更為復雜的工序流線圖，要像上面那樣找出主要矛盾線是極為困難的. 不過，讀者可能萬萬沒有想到，要解決主要矛盾線的問題，只需一把普通的剪刀就夠了！要說明這種剪刀下的奇跡，我們還得從“緊繩法”講起.
大家都知道，如果從甲地到乙地有兩條路可以走，人們總是走近道. 但對于交通發達、道路縱橫的區域，要想從一個地方找近道到另一個地方，就不那么容易了.
有一種簡捷的辦法，可以使人在幾分鐘甚至幾秒鐘內就從幾十條甚至幾百條道路中，選出一條最短的，這就是緊繩法. 具體是這樣的：把區域的交通圖鋪在平板上，然后用不容易伸縮的細線，仿照地圖上的線路結成一張如圖4所示的交通網. 如果我們要找出從A到B的最短路線，只需用手捏住A、B兩點的線頭，用力把它們往相反的方向拉開，則拉成的直線ACDEB就是我們所要找的最短路線（如圖5）. 道理無須多說，讀者也會明白.
現在輪到找主要矛盾線了. 明眼的讀者可能已經看出，工序流線圖有點像城市的交通網，不過，只是把完成任務的時間看成相應道路的長短，同時，任務的進行是有方向的罷了！可惜這里要求的不是最短的路線，而是最長的路線.
現在，我們就利用一把剪刀，把緊繩法巧妙地移植到本篇文章所要求的問題上來.
像緊繩法那樣，用不容易伸縮的細線編成一個工序流線圖那樣的網. 仍以前面的生產計劃為例，我們作出圖6，網中各段細線的長度表示完成相應工序所用的時間.
拉緊1、9可得圖7.
以上顯然求出了從1到9的最短路線. 為求主要矛盾線，我們可以將直線段1到9上有分叉的某一節剪去. 當然，剪時最好能從頭開始，同時還要注意剪后新圖上工序箭頭的合理性. 例如，剪去2—5并拉緊1、9可得圖8.
同理，剪去圖8中的2—3并拉緊1、9得圖9.
讀者從原來的工序流線圖上不難看出，工序7—3—6與工序7—5—6并不存在（箭頭方向不對），因而線頭3和5實際上不起作用，可以大膽剪去，得到圖10.
最后，剪去4—6得到圖11.
現在已經沒有分叉了，所得的最長路線為：
1—2—4—7—8—9.
這顯然與我們前面通過計算得到的主要矛盾線是一樣的！
瞧，剪刀下果真出現了奇跡！這是當初數學家們所沒有料到的.endprint
