基于Matlab仿真的系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響

韋忠海

摘 要：對(duì)于高階系統(tǒng)，若直接對(duì)其分析和控制比較困難，要對(duì)其進(jìn)行降階處理，就要考慮系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響。一般的系統(tǒng)，可以分為最小系統(tǒng)和非最小系統(tǒng)，首先要判斷出系統(tǒng)的最小相位或非最小相位，在使用根軌跡或Bode圖分析系統(tǒng)的特性，從而，分析零點(diǎn)、極點(diǎn)不同分布對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

關(guān)鍵詞：零點(diǎn)；極點(diǎn)；最小相位；非最小相位；Bode圖；穩(wěn)定性

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 最小相位與非最小相位

最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在S域右半平面沒(méi)有極點(diǎn)和零點(diǎn)。有以下特點(diǎn)：①在幅頻特性相同的情況下，對(duì)于任何大于零的頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。②最小相位系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性一一對(duì)應(yīng)，即由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線就可得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

非最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)至少有一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)在S域右半平面的系統(tǒng)。

1.2 系統(tǒng)響應(yīng)的求取

根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以求出系統(tǒng)輸出的復(fù)頻域表示，再進(jìn)行反拉式變換即可得到系統(tǒng)的響應(yīng)，從系統(tǒng)響應(yīng)曲線可以看出系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性等各項(xiàng)指標(biāo)。

1.3 幅頻、相頻特性

幅頻、相頻特性分別表現(xiàn)的是系統(tǒng)對(duì)不同頻率的輸入信號(hào)給出的輸出信號(hào)與其輸入信號(hào)之間的幅值增益和相位超前/落后情況，其表現(xiàn)形式是Bode圖。

2 Matlab中仿真及分析

2.1 已知二階系統(tǒng)，分析c的取值對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響。

理論分析：當(dāng)輸入單位階躍信號(hào)時(shí)，其響應(yīng)表達(dá)式為y（t）=1-2（1+）e-t+（1+）e-2t。初值為0，而中間過(guò)渡過(guò)程隨c選取不同而不同，終值為1。當(dāng)c離各極點(diǎn)越近，其響應(yīng)表達(dá)式中模態(tài)所占權(quán)值越小。

當(dāng)c<0時(shí)，系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。這里取c=-0.3、-1、-10。特別的，當(dāng)c=-1出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消，系統(tǒng)變?yōu)橐浑A慣性系統(tǒng)。

當(dāng)c>0時(shí)，系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。分別c=1、2、10。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：

clear all

% c= 1 3 10 -0.3 -1 -10 時(shí)各個(gè)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

a1=[-1 1]； b1=[0.5 1.5 1]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[-1 2]； b2=[1 3 2]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[-1 10]； b3=[5 15 10]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1 0.3]； b4=[0.15 0.75 0.3]； ss4=tf（a4，b4）；

a5=[1 1]； b5=[0.5 1.5 1]； ss5=tf（a5，b5）；

a6=[1 10]； b6=[5 15 10]； ss6=tf（a6，b6）；

step（ss1，k-，ss2，k--，ss3，k：，ss4，k--，ss5，k：，ss6，k-）

運(yùn)行即可得出二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖1所示。

圖1 二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

分析：由圖1可知

①在最小相位系統(tǒng)的情況下，隨著c值的增大，零點(diǎn)離虛軸越近，系統(tǒng)的阻尼減小，出現(xiàn)超調(diào)。其中，c=-1時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐浑A慣性系統(tǒng)，由圖可以看出當(dāng)時(shí)間常數(shù)為慣性指數(shù)（即t=0.5）時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)為0.632。

②對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)欠調(diào)，減小c的值，零點(diǎn)離虛軸越近，系統(tǒng)的阻尼減小，欠調(diào)量增大。

③可以看出不管最小相位系統(tǒng)，還是非最小相位系統(tǒng)，當(dāng)零點(diǎn)越近接近虛軸時(shí)，系統(tǒng)的阻尼越小，響應(yīng)曲線振蕩越厲害。

2.2 二階系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，分析c的取值對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響。（用Bode圖分析）

理論分析：當(dāng)c取-1和1時(shí)繪制系統(tǒng)Bode圖相應(yīng)響應(yīng)曲線。c=-1時(shí)為最小相位系統(tǒng)，c=1為非最小相位系統(tǒng)。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：

clear all %c= -1 1

a1=[1 1]； b1=[0.5 1.5 1]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[-1 1]； b2=[0.5 1.5 1]； ss2=tf（a2，b2）；

bode（ss1，k-.，ss2，k--） legend（c=-1，c=1）；grid；

運(yùn)行即可得出各個(gè)系統(tǒng)Bode圖如圖2所示：

圖2 二階系統(tǒng)的Bode圖

分析：從上面Bode圖可以看出，它們具有相同幅頻特性，而相頻特性不同，并且決定著穩(wěn)定性：

①對(duì)于c=-1時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率？棕c為0，而對(duì)數(shù)相頻特性起始與0°，終止于-90°，在-180°線上沒(méi)有穿越。系統(tǒng)相角裕度為180°。該最小相位系統(tǒng)為穩(wěn)定。

②對(duì)于c=1時(shí)，相頻特性起始與360°，可以等效一下移一個(gè)周期（即360°），即起始于0°。系統(tǒng)的截止頻率？棕c和穿越頻率？棕g分別為0和2.23，故得到系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度分別為1.5和180°，該非最小相位系統(tǒng)為穩(wěn)定。

③在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍比非最小相位系統(tǒng)小。對(duì)于大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。

2.3 對(duì)傳遞函數(shù)分別增加極點(diǎn)-5、-2.5、-0.5后，仿真其階躍響應(yīng)，并與原系統(tǒng)的階躍響應(yīng)比較。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真（注意：增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后要使響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值不變，需要補(bǔ)償一個(gè)極點(diǎn)絕對(duì)值倍的增益。），仿真程序如下：

clear all

% 分別增加極點(diǎn)p= -5 -2.5 -0.5 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

a1=[1]； b1=conv（[1 5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a1=5*a1； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=conv（[1 2.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a2=2.5*a2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=conv（[1 0.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a3=0.5*a3； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]）； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后單位階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的階躍響應(yīng)曲線

分析：由圖3可知，增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

①閉環(huán)極點(diǎn)的增加使原來(lái)的二階系統(tǒng)的系統(tǒng)阻尼增大，使響應(yīng)速度減慢（峰值時(shí)間遲后），超調(diào)量減少，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。

②極點(diǎn)離虛軸越近， 阻尼越大，超調(diào)量越小。

物理上，將原系統(tǒng)傳遞函數(shù)附加的極點(diǎn)寫(xiě)成時(shí)間常數(shù)形式，將其看成一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)越大，阻礙響應(yīng)的作用就越大，對(duì)應(yīng)極點(diǎn)離虛軸越近。

2.4 對(duì)傳遞函數(shù)分別增加零點(diǎn)-0.4、-2、-5后，仿真其階躍響應(yīng)，并與原系統(tǒng)的階躍響應(yīng)比較。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真（注意：增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后要使響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值不變，需要補(bǔ)償一個(gè)零點(diǎn)絕對(duì)值的倒數(shù)倍的增益。），仿真程序如下：

clear all

% 分別增加零點(diǎn)z= -0.4 -2 -5 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

a1=[1 0.4]； b1=[1 4 13]； b1=b1*0.4； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 2]； b2=[1 4 13]； b2=b2*2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 5]； b3=[1 4 13]； b3=b3*5； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 4 13]； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后單位階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的階躍響應(yīng)曲線

分析：由圖4可知，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)

①閉環(huán)零點(diǎn)的增加將減小系統(tǒng)的阻尼，使響應(yīng)速度加快（峰值時(shí)間提前），超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時(shí)間也會(huì)增加。②零點(diǎn)離虛軸越近，阻尼會(huì)越小，超調(diào)量會(huì)越大。

物理上，增加零點(diǎn)實(shí)際上加入了一階微分，而微分有超前預(yù)測(cè)作用，加速系統(tǒng)響應(yīng)的功能，并且微分時(shí)間常數(shù)越大，阻尼越小，響應(yīng)速度越快，對(duì)應(yīng)零點(diǎn)離虛軸越近。

2.5 對(duì)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-2、-3、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加零點(diǎn)z= -2 -3 2 后根軌跡曲線

a1=[1 2]； b1=[1 2 2 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 3]； b2=[1 2 2 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 -2]； b3=[1 2 2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 2 2 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k：，ss2，k-.，ss3，k--，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后根軌跡曲線如圖5所示。

圖5 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的根軌跡曲線

分析：由圖5可知，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)

①改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角及截距。若增加的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近，構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，則兩者相互抵消。因此，可加入一個(gè)零點(diǎn)來(lái)抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。③根軌跡曲線將向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且，所加的零點(diǎn)越靠近虛軸，影響越大。

2.6 對(duì)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2、0、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加極點(diǎn)p= -2 0 2 后根軌跡曲線

a1=[1]； b1=[1 2 3 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=[1 1 0 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=[1 -1 -2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 1 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k-.，ss2，k：，ss3，k--，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后根軌跡曲線如圖6所示。

圖6 增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的根軌跡曲線

分析：由圖6可知：增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)①改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距。③改變了根軌跡的分支數(shù)。④根軌跡曲線向右偏移，不利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。所增加的極點(diǎn)越靠近虛軸，這種影響就越大。

3 實(shí)驗(yàn)總結(jié)

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)分布不同對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)、頻率特性、根軌跡變化影響進(jìn)行分析可知：①閉環(huán)系統(tǒng)增加零點(diǎn)時(shí)，會(huì)增加系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量，帶寬增大，零點(diǎn)離虛軸越近，對(duì)系統(tǒng)影響越大。當(dāng)零點(diǎn)實(shí)部遠(yuǎn)大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時(shí)，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響減小，所以當(dāng)零點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)，可以忽略零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響。②閉環(huán)系統(tǒng)增加極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)整時(shí)間增大，極點(diǎn)離虛軸越近，對(duì)系統(tǒng)影響越大。當(dāng)極點(diǎn)實(shí)部遠(yuǎn)大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時(shí)，附加極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響減小，所以當(dāng)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)可以忽略極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響。③在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍為最小。如果兩個(gè)系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對(duì)于大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。④附加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)改變了實(shí)軸上根軌跡。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的引入使根軌跡向右移，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，系統(tǒng)的快速性變差，加入的極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越強(qiáng)；開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的引入使根軌跡向左移動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利，零點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越強(qiáng)。

參考文獻(xiàn)

[1]夏德鈴.自動(dòng)控制理論（第3版）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

[2]王海英.控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設(shè)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]胡壽松.自動(dòng)控制原理基礎(chǔ)教程[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[4]張聚.基于MATLAB的控制系統(tǒng)仿真及應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.

% 分別增加極點(diǎn)p= -5 -2.5 -0.5 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

a1=[1]； b1=conv（[1 5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a1=5*a1； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=conv（[1 2.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a2=2.5*a2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=conv（[1 0.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a3=0.5*a3； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]）； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后單位階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的階躍響應(yīng)曲線

分析：由圖3可知，增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

①閉環(huán)極點(diǎn)的增加使原來(lái)的二階系統(tǒng)的系統(tǒng)阻尼增大，使響應(yīng)速度減慢（峰值時(shí)間遲后），超調(diào)量減少，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。

②極點(diǎn)離虛軸越近， 阻尼越大，超調(diào)量越小。

物理上，將原系統(tǒng)傳遞函數(shù)附加的極點(diǎn)寫(xiě)成時(shí)間常數(shù)形式，將其看成一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)越大，阻礙響應(yīng)的作用就越大，對(duì)應(yīng)極點(diǎn)離虛軸越近。

2.4 對(duì)傳遞函數(shù)分別增加零點(diǎn)-0.4、-2、-5后，仿真其階躍響應(yīng)，并與原系統(tǒng)的階躍響應(yīng)比較。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真（注意：增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后要使響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值不變，需要補(bǔ)償一個(gè)零點(diǎn)絕對(duì)值的倒數(shù)倍的增益。），仿真程序如下：

clear all

% 分別增加零點(diǎn)z= -0.4 -2 -5 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

a1=[1 0.4]； b1=[1 4 13]； b1=b1*0.4； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 2]； b2=[1 4 13]； b2=b2*2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 5]； b3=[1 4 13]； b3=b3*5； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 4 13]； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后單位階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的階躍響應(yīng)曲線

分析：由圖4可知，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)

①閉環(huán)零點(diǎn)的增加將減小系統(tǒng)的阻尼，使響應(yīng)速度加快（峰值時(shí)間提前），超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時(shí)間也會(huì)增加。②零點(diǎn)離虛軸越近，阻尼會(huì)越小，超調(diào)量會(huì)越大。

物理上，增加零點(diǎn)實(shí)際上加入了一階微分，而微分有超前預(yù)測(cè)作用，加速系統(tǒng)響應(yīng)的功能，并且微分時(shí)間常數(shù)越大，阻尼越小，響應(yīng)速度越快，對(duì)應(yīng)零點(diǎn)離虛軸越近。

2.5 對(duì)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-2、-3、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加零點(diǎn)z= -2 -3 2 后根軌跡曲線

a1=[1 2]； b1=[1 2 2 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 3]； b2=[1 2 2 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 -2]； b3=[1 2 2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 2 2 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k：，ss2，k-.，ss3，k--，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后根軌跡曲線如圖5所示。

圖5 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的根軌跡曲線

分析：由圖5可知，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)

①改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角及截距。若增加的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近，構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，則兩者相互抵消。因此，可加入一個(gè)零點(diǎn)來(lái)抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。③根軌跡曲線將向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且，所加的零點(diǎn)越靠近虛軸，影響越大。

2.6 對(duì)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2、0、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加極點(diǎn)p= -2 0 2 后根軌跡曲線

a1=[1]； b1=[1 2 3 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=[1 1 0 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=[1 -1 -2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 1 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k-.，ss2，k：，ss3，k--，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后根軌跡曲線如圖6所示。

圖6 增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的根軌跡曲線

分析：由圖6可知：增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)①改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距。③改變了根軌跡的分支數(shù)。④根軌跡曲線向右偏移，不利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。所增加的極點(diǎn)越靠近虛軸，這種影響就越大。

3 實(shí)驗(yàn)總結(jié)

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)分布不同對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)、頻率特性、根軌跡變化影響進(jìn)行分析可知：①閉環(huán)系統(tǒng)增加零點(diǎn)時(shí)，會(huì)增加系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量，帶寬增大，零點(diǎn)離虛軸越近，對(duì)系統(tǒng)影響越大。當(dāng)零點(diǎn)實(shí)部遠(yuǎn)大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時(shí)，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響減小，所以當(dāng)零點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)，可以忽略零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響。②閉環(huán)系統(tǒng)增加極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)整時(shí)間增大，極點(diǎn)離虛軸越近，對(duì)系統(tǒng)影響越大。當(dāng)極點(diǎn)實(shí)部遠(yuǎn)大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時(shí)，附加極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響減小，所以當(dāng)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)可以忽略極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響。③在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍為最小。如果兩個(gè)系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對(duì)于大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。④附加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)改變了實(shí)軸上根軌跡。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的引入使根軌跡向右移，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，系統(tǒng)的快速性變差，加入的極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越強(qiáng)；開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的引入使根軌跡向左移動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利，零點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越強(qiáng)。

參考文獻(xiàn)

[1]夏德鈴.自動(dòng)控制理論（第3版）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

[2]王海英.控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設(shè)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]胡壽松.自動(dòng)控制原理基礎(chǔ)教程[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[4]張聚.基于MATLAB的控制系統(tǒng)仿真及應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.

% 分別增加極點(diǎn)p= -5 -2.5 -0.5 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

a1=[1]； b1=conv（[1 5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a1=5*a1； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=conv（[1 2.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a2=2.5*a2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=conv（[1 0.5]，conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]））； a3=0.5*a3； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=conv（[1，2+3i]，[1，2-3i]）； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后單位階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的階躍響應(yīng)曲線

分析：由圖3可知，增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

①閉環(huán)極點(diǎn)的增加使原來(lái)的二階系統(tǒng)的系統(tǒng)阻尼增大，使響應(yīng)速度減慢（峰值時(shí)間遲后），超調(diào)量減少，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。

②極點(diǎn)離虛軸越近， 阻尼越大，超調(diào)量越小。

物理上，將原系統(tǒng)傳遞函數(shù)附加的極點(diǎn)寫(xiě)成時(shí)間常數(shù)形式，將其看成一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)越大，阻礙響應(yīng)的作用就越大，對(duì)應(yīng)極點(diǎn)離虛軸越近。

2.4 對(duì)傳遞函數(shù)分別增加零點(diǎn)-0.4、-2、-5后，仿真其階躍響應(yīng)，并與原系統(tǒng)的階躍響應(yīng)比較。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真（注意：增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后要使響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值不變，需要補(bǔ)償一個(gè)零點(diǎn)絕對(duì)值的倒數(shù)倍的增益。），仿真程序如下：

clear all

% 分別增加零點(diǎn)z= -0.4 -2 -5 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

a1=[1 0.4]； b1=[1 4 13]； b1=b1*0.4； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 2]； b2=[1 4 13]； b2=b2*2； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 5]； b3=[1 4 13]； b3=b3*5； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 4 13]； ss4=tf（a4，b4）；

step（ss1，k--，ss2，k：，ss3，k-.，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后單位階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的階躍響應(yīng)曲線

分析：由圖4可知，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)

①閉環(huán)零點(diǎn)的增加將減小系統(tǒng)的阻尼，使響應(yīng)速度加快（峰值時(shí)間提前），超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時(shí)間也會(huì)增加。②零點(diǎn)離虛軸越近，阻尼會(huì)越小，超調(diào)量會(huì)越大。

物理上，增加零點(diǎn)實(shí)際上加入了一階微分，而微分有超前預(yù)測(cè)作用，加速系統(tǒng)響應(yīng)的功能，并且微分時(shí)間常數(shù)越大，阻尼越小，響應(yīng)速度越快，對(duì)應(yīng)零點(diǎn)離虛軸越近。

2.5 對(duì)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-2、-3、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加零點(diǎn)z= -2 -3 2 后根軌跡曲線

a1=[1 2]； b1=[1 2 2 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1 3]； b2=[1 2 2 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1 -2]； b3=[1 2 2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 2 2 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k：，ss2，k-.，ss3，k--，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后根軌跡曲線如圖5所示。

圖5 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的根軌跡曲線

分析：由圖5可知，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)

①改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角及截距。若增加的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近，構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，則兩者相互抵消。因此，可加入一個(gè)零點(diǎn)來(lái)抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。③根軌跡曲線將向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且，所加的零點(diǎn)越靠近虛軸，影響越大。

2.6 對(duì)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別增加其開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-2、0、2，仿真其根軌跡曲線，觀察根軌跡的變化，探討其中的規(guī)律，并給出合理的解釋。

在Matlab中對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：

clear all

% 系統(tǒng)分別增加極點(diǎn)p= -2 0 2 后根軌跡曲線

a1=[1]； b1=[1 2 3 0]； ss1=tf（a1，b1）；

a2=[1]； b2=[1 1 0 0]； ss2=tf（a2，b2）；

a3=[1]； b3=[1 -1 -2 0]； ss3=tf（a3，b3）；

a4=[1]； b4=[1 1 0]； ss4=tf（a4，b4）；

rlocus（ss1，k-.，ss2，k：，ss3，k--，ss4，k-）

運(yùn)行即可得出系統(tǒng)增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后根軌跡曲線如圖6所示。

圖6 增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的根軌跡曲線

分析：由圖6可知：增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)①改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。②改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距。③改變了根軌跡的分支數(shù)。④根軌跡曲線向右偏移，不利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。所增加的極點(diǎn)越靠近虛軸，這種影響就越大。

3 實(shí)驗(yàn)總結(jié)

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)分布不同對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)、頻率特性、根軌跡變化影響進(jìn)行分析可知：①閉環(huán)系統(tǒng)增加零點(diǎn)時(shí)，會(huì)增加系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量，帶寬增大，零點(diǎn)離虛軸越近，對(duì)系統(tǒng)影響越大。當(dāng)零點(diǎn)實(shí)部遠(yuǎn)大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時(shí)，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響減小，所以當(dāng)零點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)，可以忽略零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響。②閉環(huán)系統(tǒng)增加極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)整時(shí)間增大，極點(diǎn)離虛軸越近，對(duì)系統(tǒng)影響越大。當(dāng)極點(diǎn)實(shí)部遠(yuǎn)大于原二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)時(shí)，附加極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響減小，所以當(dāng)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)可以忽略極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響。③在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍為最小。如果兩個(gè)系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對(duì)于大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于非最小相位系統(tǒng)。④附加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)改變了實(shí)軸上根軌跡。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的引入使根軌跡向右移，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，系統(tǒng)的快速性變差，加入的極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越強(qiáng)；開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的引入使根軌跡向左移動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利，零點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越強(qiáng)。

參考文獻(xiàn)

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[3]胡壽松.自動(dòng)控制原理基礎(chǔ)教程[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[4]張聚.基于MATLAB的控制系統(tǒng)仿真及應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.