巖土工程非線性位移時間序列分析的灰色自記憶模型

鄧金鵬，黃 東，謝學(xué)斌

(1.十一冶建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司, 廣西 柳州市 545007；2.中國有色金屬長沙勘察設(shè)計研究院有限公司，湖南 長沙 410011；3.中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院， 湖南 長沙 410083)

0 引 言

目前用于巖土工程非線性位移時間序列預(yù)測的方法或模型較多，主要有：時間序列分析方法[1-2]，如AR模型、ARMA模型等；灰色理論預(yù)測[3-4]，如GM(1，1)模型；智能算法[5-6]，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)BP算法、支持向量機(jī)方法；非線性混沌時間序列分析[7]；組合預(yù)測方法，如灰色─神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)─時間序列分析模型[9]、灰色─支持向量機(jī)模型[10]等。上述方法或模型各有其適用性與優(yōu)點，但也存在一些不足。比如時間序列分析AR模型或ARMA模型模型本質(zhì)上是線性的，不能反應(yīng)位移時間序列非線性特征。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法在學(xué)習(xí)樣本數(shù)量有限時，精度難以保證，學(xué)習(xí)樣本數(shù)量多時，又可能陷入“維數(shù)災(zāi)難”[11]。灰色GM(1,1)模型的建模機(jī)理實際上是一個指數(shù)模型，而位移監(jiān)測資料的時間序列其累加生成未必一定具有指數(shù)規(guī)律，事實上是常常不具有指數(shù)規(guī)律[11-12]。因此，研究巖土工程非線性位移時間序列建模預(yù)測新方法，提高位移時間序列的預(yù)測精度，對于巖土工程的穩(wěn)定性分析預(yù)報與災(zāi)害防治，具有較重要意義。

本文將巖土工程非線性位移隨時間的演化視為動力學(xué)系統(tǒng)的演化問題，基于動力系統(tǒng)自記憶性原理[13]，在灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上，利用歷史量測數(shù)據(jù)反演得到系統(tǒng)灰色微分方程，以此作為微分動力核，建立位移預(yù)測的灰色自記憶模型，并進(jìn)行了工程實例分析研究。結(jié)果表明，本文提出的灰色自記憶模型具有良好的預(yù)測精度。

1 動力系統(tǒng)自記憶原理與建模方法

1.1 動力系統(tǒng)自記憶原理

設(shè)系統(tǒng)演化的動力微分方程為:

(1)

式中t、r、x分別為時間、空間和變量，λ為參數(shù)。定義記憶函數(shù)為β(r,t)，若假設(shè)固定在某一具體空間點ri上，則可以在F、β的函數(shù)式中省寫r。在Hilbert空間定義的內(nèi)積運算為：

(2)

設(shè)有某一時間集合T=[t-p,t-p+1,…,t-1,t0,t]，其中時間序列間隔為Δt，t0是預(yù)測的初始時刻，t為未來的預(yù)測時刻。t-p,…,t0是歷史觀測時刻(次)，預(yù)測的回溯階數(shù)為p。引進(jìn)記憶函數(shù)β(t)，用上述Hilbert空間定義的內(nèi)積運算對動力微分方程式(1)在區(qū)間[t-p,t]上進(jìn)行積分運算，可得下式：

(3)

對(3)式等號左邊的所有積分項分別應(yīng)用分部積分原理及微分中值定理并化簡，可得：

(4)

1.2 自記憶方程的離散數(shù)值預(yù)測模型

(5)

(6)

式中,αi=(βi+1-βi)/βt，θi=βi/βt。求出記憶系數(shù)αi，θi，則可以用(6)式進(jìn)行模擬、預(yù)測和預(yù)報。

1.3 自記憶模型中記憶系數(shù)的求解

可采用最小二乘法求解(6)式中自記憶模型的記憶系數(shù)αi，θi，具體求解方法如下。

設(shè)對于一組觀測樣本資料，其中L個時刻的數(shù)據(jù)為xt1,xt2,xt3,…,xtl，定義如下向量與矩陣：

則式(6)的矩陣形式為：

(7)

W=(ZTZ)-1ZTXt

(8)

2 巖土工程位移時間序列灰色微分方程的建立

在等時間距情形下，設(shè)巖土工程位移時間序列為x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),···,x(0)(n))，對該數(shù)據(jù)序列做一次累加后得到1—AGO序列，即:

x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),···,x(1)(n))

(9)

以1—AGO數(shù)據(jù)序列為基礎(chǔ)，基于灰色系統(tǒng)理論，可建立位移灰色微分方程為:

(10)

其中a、b為灰參數(shù)，可由最小二乘估計求得：

(a,b)T=(BTB)-1BTQ

(11)

式中：

求解微分方程，可得：

(12)

(13)

其中k=1,2,...,n-1。

將求得的灰色微分方程(式10)寫成如下形式:

(14)

對式(14)運用自憶性原理即可建立灰色自記憶模型。

3 巖土工程位移時序灰色自記憶預(yù)測模型的建模步驟與方法

(1) 監(jiān)測收集巖土工程位移時間序列的詳細(xì)資料。為便于建模和提高精度，要求時間序列資料有足夠建模的長度，以及具有等時間距的特征。

(3) 建立巖土工程位移預(yù)測的灰色自記憶模型。運用動力系統(tǒng)自記憶原理，將步驟(2)反演得出的灰色微分方程變成一個回溯階數(shù)為p的自記憶方程。將自記憶方程離散化，利用已有的位移監(jiān)測資料，采用最小二乘法，求出記憶系數(shù)，從而建立位移預(yù)測的灰色自記憶模型。建模時，可通過試擬合的方法，確定最佳回溯階數(shù)p。

4 工程實例分析

本文選取了文獻(xiàn)[14]中溫州樂清市旭陽路工程勝利塘段路基位移沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行建模與比較分析。溫州樂清市旭陽路工程的勝利塘段位于圍墾僅數(shù)年的濱海淤積灘涂土上，最大路堤高度2.8 m，大部分路堤高度為2.2 m左右，路基土主要為淤泥質(zhì)粘土和淤泥，屬于典型軟土地基。該路段的施工時間為2001年10月至2002年6月中旬。加載后某一斷面的沉降觀測數(shù)據(jù)如表1所示，表中y(k)為地基累積沉降值，Δy為5 d的地基沉降增量[14]。

表1 實際觀測地基沉降數(shù)據(jù)[14]

日期/d序號y(k)Δy1251353.61.01351456.12.51451558.62.51551661.12.51651765.14.01751868.93.81851972.73.81952075.93.22052179.53.62152282.32.82252385.33.02352489.13.8

取1-19號觀測資料作為建模樣本，20-24號觀測資料為預(yù)測樣本，運用灰色系統(tǒng)理論求得地基沉降量的灰色G(1,1)模型的灰參數(shù)a、b以及一階微分方程為:

選擇擬合誤差最小的回溯階p=1，得到地基沉降預(yù)測灰色自記憶方程:

用所建模型對3-19號位移值進(jìn)行擬合計算，因回溯階的原因，1號和2號位移值沒有擬合值，對21-24號位移值進(jìn)預(yù)測。模型擬合值與實測值對比見圖1，位移預(yù)測結(jié)果見表2。

圖1 溫州樂清市旭陽路路基沉降實測值與模型計算值對比

序號實測值/mm預(yù)測值/mm絕對誤差/mm相對誤差/%2075.9076.060.160.222179.5078.90-0.60-0.762282.3083.220.921.122385.3084.86-0.44-0.522489.1088.38-0.72-0.80

分析上述溫州樂清市旭陽路勝利塘段路基沉降灰色自記憶模型擬合與預(yù)測結(jié)果可知，參與擬合計算的17個數(shù)據(jù)中，相對誤差中最大值為-15.37%，最小值為0.005%，平均相對誤差值為3.25%。其中13個擬合值的相對誤差均小于4%，只有兩個擬合值的相對誤差大于9%。模型預(yù)測數(shù)據(jù)的最大相對誤差為1.12%，最小相對誤差僅為0.21%，平均相對誤差為0.68%。上述路基位移沉降的模擬與預(yù)測實例分析結(jié)果表明，本文提出的非線性位移時間序列灰色自記憶模型能很好的模擬和預(yù)測路基沉降的變形規(guī)律與發(fā)展趨勢，模擬和預(yù)測結(jié)果都具有較高的數(shù)值精度，能夠滿足路基沉降預(yù)測工程實際的需要。

5 結(jié) 語

本文基于動力系統(tǒng)自記憶原理和灰色系統(tǒng)理論，建立了巖土工程位移預(yù)測灰色自記憶模型。路基位移沉降實例分析研究表明，本文提出的位移預(yù)測灰色自記憶模型具有較好的擬合和預(yù)測精度，從而為巖土工程非線性位移時間序列分析與預(yù)測預(yù)報提供了一種新方法。

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