三維Helmholtz方程在擾動的共軸波導上的解的存在唯一性*

劉立漢

(重慶師范大學數學學院, 重慶401331)

本文考慮在擾動的共軸波導上的三維Helmholtz方程

Δu(x1,x2,z)+[k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)]

u(x1,x2,z)=f(x1,x2,z),(x1,x2,z)∈R3

(1)

其中

(2)

(A2) 函數p(x1,x2,z)還滿足

p(x1,x2,z)|dx1dx2dz<1

(3)

其中G(x1,x2,z;ξ1,ξ2,ζ)是三維齊次Helmholtz方程在無擾動的共軸波導上的Green函數(更多細節見第1節)。

我們的工作主要是由在共軸導波中電磁波的研究所導出的。當函數p(x1,x2,z)≡0，方程(1)描述了在共軸波導上的電磁波的傳播，其中k是波數，函數n(x1,x2)是折射率，函數f(x1,x2,z)是點源項，R是波導的半徑和函數u(x1,x2,z)是時間調和的電磁波速率勢能。在文[1]，我們引進了一個推廣的Sommerfeld-Rellich輻射條件(輸出輻射條件)：對所有的導波分支和自由波分支都有一個類似Sommerfeld輻射條件，然后我們研究了三維Helmholtz方程在擾動的分層介質上的解的存在唯一性，也就是這個折射率是一個一元函數。然而，當波導是共軸的情況，也就是這個折射率是一個二元函數，目前還不清楚它的合適的輻射條件，因此本文我們引進了另一個推廣的Sommerfeld-Rellich輻射條件(輸出輻射條件)，然后我們考慮了滿足給定輻射條件的擾動的共軸波導上的三維Helmholtz方程的解的存在唯一性。

正如文[1-3]所示，我們將利用如下記號。在不同的坐標系下，三維空間R3中的一個點分別記為：

P=(x1,x2,z)～(r,θ,z),P′=(ξ1,ξ2,ζ)～(r′,θ′,ζ)

它們有如下關系:

本文內容安排如下: 在第1節，我們回顧了三維齊次Helmholtz方程在無擾動的共軸波導上的Green函數和它的漸近性質；在第2.1節，我們將證明滿足后面將給出的某個輸出輻射條件的三維Helmholtz方程(1)的解的唯一性；在第2.2節，我們將證明滿足后面將給出的某個輸出輻射條件的三維Helmholtz方程(1)的解的存在性。

事實上，我們的方法也許可以推廣到任何其它類型的共軸波導上，如最近得到廣泛應用的“全絕緣波導”[4-5]，于是可以得到類似的結果。

1 Green函數

1.1 三維Helmholtz方程在共軸波導上的Green函數

在這一小節，我們回顧三維齊次Helmholtz方程在無擾動的共軸波導上的Green函數[6-7]。這個Green函數后面將用來構造三維Helmholtz方程(1)的解。

在柱面坐標下，無擾動的共軸波導上的三維齊次Helmholtz方程為：

(4)

求這個方程的一個分離變量的解

u(r,θ,z)=eikβzeimθv(r)

其中β∈C和m∈Z, 則v(r)必須滿足如下常微分方程：

(5)

定義

(6)

那么這個方程就變形為

(7)

函數q(r)變形為

(8)

我們把(7)式看成是關于l∈C的特征值問題，并且稱它為方程(4)的特征值問題[8-9]。從文[6-7]中，可以得到方程(4)的Green函數G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)：

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=

jm(r,λ)jm(r′,λ)eim(θ-θ′)dχm(λ),0

0≤θ,θ′≤2π;z,ζ∈R

(9)

當λ>d2時，

(10)

其中Jm,Ym分別是m階第一型Bessel函數和第二型Bessel函數，

αm(λ)=(-1)(|m|-m)/2|m|!2|m|(λ-d2)-|m|/2,

(11)

(12)

(13)

其中Im,Km是分別是m階的第一型修正的Bessel函數和第二型修正的Bessel函數，

(14)

其中

(15)

(16)

其中

(17)

(18)

其中

(19)

(20)

1.2 Green函數的漸近性質

在這一小節, 我們給出如下引理。

引理1 設函數G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)是由(9)式所給出的Green函數，則對于任意給定的r′,θ′,ζ，我們有

(21)

(22)

證明我們需要考慮三種情況：0<λd2，在每一個區間內jm(r,λ)和G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)都有不同的性質。只證明(21)式，(22)式可類似地證明。

第一種情形：當0<λ

又由文[10](或文[11])的(9.6.6)和(9.6.7)式，有

和

I-m(s)=Im(s),m∈Z

則可以得到

記

則

并且由(9)式，有

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通過簡單的計算立即可以得到(21)式。

第二種情形：當λ=d2時，由(18)式得

jm(r,λ)=r|m|+1/2, 當r→0

則可以得到

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通過簡單的計算立即可以得到(21)式。

第三種情形：當λ>d2時，由(10)式，我們有

又由文[10](或文[11])的(9.1.5)和(9.1.7)式，有

和

J-m(s)=(-1)mJm(s),m∈Z

則可以得到

記

則

jm(r,λ)～am(λ)r|m|+1/2,r→0,

并且由(9)式，有

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通過簡單的立即可以得到(21)式。

定義

則可以得到如下的引理。

(23)

證明由(10)、(14)、(18)式和由(9)式所定義的Green函數G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)，可以得到

于是，由Fubini-Tonelli定理，容易就可以立即得到(23)式。

引理3 設(r,θ,z),(r′,θ′,ζ)∈R3和|P-P′|=(rcosθ-r′cosθ′,rsinθ-r′sinθ′,z-ζ)且|P-P′|<1，則存在一個不依賴于r,θ,z,r′,θ′,ζ的正常數C1，使得

(24)

證明這個引理的證明類似于文[12]的引理2.19的證明，因此在這省略。

2 三維Helmholtz方程在擾動的共軸波導上的解的存在唯一性

2.1 三維Helmholtz方程在擾動的共軸波導上的解的唯一性

我們將給出推廣的Sommerfeld-Rellich輻射條件，并稱它為輸出輻射條件：首先，我們假設

u∈C1(R3)∩L2(R3)

(25)

其次，假設對所有m∈Z,z∈R，如下等式成立：

(26)

其中函數um(r,z)是如下Fourier級數的Fourier系數：

最后，

(27)

這些條件都是由其物理意義所得到的，詳情請見文[6-7]和那里提到的參考文獻。

引理4 設函數u(x1,x2,z)∈L2(μ)滿足方程

Δu(x1,x2,z)+

[k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)]u(x1,x2,z)=0

(28)

(29)

證明一方面，由于函數u(x1,x2,z)是方程(28)的一個解，從文[1]，可以得到函數|▽u(x1,x2,z)|2μ(x1,x2,z)和函數|▽2u(x1,x2,z)|2μ(x1,x2,z)在三維空間R3上是可積的。因此， 很容易得到函數

屬于Sobolev空間W2,2(R3)。由Sobolev嵌入定理[13]，可以得到函數Φ(x1,x2,z)∈L∞(R3)，因此，立即可得到(29)式中的第一個極限。

另一方面，接下來證明(29)式中的第二個極限。通過簡單計算可知，函數Φ(x1,x2,z)滿足如下方程：

ΔΦ(x1,x2,z)+b(x1,x2,z)·▽Φ(x1,x2,z)+

c(x1,x2,z)Φ(x1,x2,z)=0,

其中

b(x1,x2,z)=(-μ-1μx1,-μ-1μx2,-μ-1μz)=-μ-1·▽μ,

c(x1,x2,z)=k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)+

都是關于(x1,x2,z)的函數。

由于函數Φ(x1,x2,z)∈W2,2(R3)，并且由文[14]的定理8.10，可以得到函數Φ(x1,x2,z)∈W3,2(H+)，其中H+={(x1,x2,z)∈R3‖z|≥h},h>0是一個常數。再次利用Sobolev嵌入定理，可以得到函數|▽Φ(x1,x2,z)|∈L∞(H+)，因此，立即可得到(29)式中的第二個極限。

設函數u(x1,x2,z)=u(r,θ,z)是三維Helmholtz方程(1)的一個解，我們定義如下函數：

則有

引理5 設函數u(x1,x2,z)=u(r,θ,z)是方程(28)的一個弱解，并且函數U(r,θ,z)定義如上，則函數U(r,θ,z)是方程

k2n2(r)u(r,θ,z)=-ψ(r,θ,z),

(30)

的一個弱解，其中

(31)

證明這個引理的證明類似于文獻[1]的引理6的證明，因此在這省略。

引理6 設點(r′,θ′,ζ)是固定的，并且R′充分大使得點(r′,θ′,ζ)∈ΩR′，又設函數u(r,θ,z)是方程 (32)的一個解，則有如下等式：

(32)

其中ΩR′={(r,θ,z)|(rcosθ)2+(rsinθ)2+z2≤(R′)2}，函數ψ(r,θ,z)由(31)式所給定和ν是ΩR′的向外的法向。

證明容易驗證函數ΔG+k2n2(r)G有一個奇點(θ,z)≡(θ′,ζ)。于是，由引理5我們可以得到，

其中Ωε={(r,θ,z)∈R3|(rcosθ-r′cosθ′)2+(rsinθ-r′sinθ′)2+(z-ζ)2≤ε2}。

由上述公式和第二Green公式，我們可以得到

(33)

因此，通過在上述等式(33)當ε→0+取極限，我們很容易就可以立即得到(32)式。

故得到本文的第一個結果：

定理1[解的唯一性]設函數p(x1,x2,z)滿足假設條件(A1)和(A2)，則滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)的三維Helmholtz方程(1)最多只有一個有界的解。

證明設函數u1(x1,x2,z)和函數u2(x1,x2,z)是滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)的三維Helmholtz方程(1)的兩個有界的解，并且設函數u(x1,x2,z)=u1(x1,x2,z)-u2(x1,x2,z)。很明顯，函數u(x1,x2,z)是方程(28)的一個有界的解且滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)。

由(32)式，有

(34)

由三角不等式和Cauchy-Schwartz不等式，我們得到(34)式的右邊如下：

由(9)式，并且由于函數jm(r,λ)是有界的，很容易得到

I1→0,I2→0, 當R′→∞

因此，得到(34)式的右邊趨于0，當R′→∞。

由文[8-9]和Fubini-Tonelli定理，可以得到(34)式的左邊如下：

因此，在(34)式中兩邊當R′→∞取極限，可以得到

u(r,θ,z)rdrdθdz=0

(35)

p(r,θ,z)|rdrdθdz

(36)

又由(3)式和上述不等式(36)，可以得到M=0，即:u1(x1,x2,z)=u2(x1,x2,z)。

2.2 三維Helmholtz方程在擾動的共軸波導上的解的存在性

在研究三維Helmholtz方程(1)的解的存在性之前，我們先給出如下兩個引理。

引理7 設Ψ(r′,θ′,ζ)是一個復值函數并且滿足假設條件(A1)，則函數

滿足

證明由引理1和假設條件(A1)，我們很容易得到此引理。

引理8 設Ψ(r′,θ′,ζ)是一個復值函數并且滿足假設條件(A1)，則函數

Ψ(r′,θ′,ζ)r′dr′dθ′dζ

滿足

證明由引理2和假設條件(A1)，很容易得到此引理。

考慮滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)的三維Helmholtz方程(1)的解的存在性，則得到如下結果。

定理2[解的存在性]設函數f(x1,x2,z)∈L2(R3)和函數p(x1,x2,z)∈L2(R3)，并且都滿足假設條件(A1)和(A2)，則滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)的三維Helmholtz方程(1)至少存在一個有界的解。

特別地，這個解是如下積分方程唯一的有界的解：

p(ξ1,ξ2,ζ)u(ξ1,ξ2,ζ)]dξ1dξ2dζ

(37)

證明首先，證明函數u(x1,x2,z)有界，然后證明它滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)。

一方面，我們有

J1+J2

(38)

其中B1(x1,x2,z)={(x1,x2,z)∈R3|(x1-ξ1)2+(x2-ξ2)2+(z-ζ)2≤1}。

由引理3和(9)式，我們可知，在相差一個常數倍的情況下，|J1|相當于

由H?lder不等式，我們估計|J1|2。

因為函數f(x1,x2,z)∈L2(R3)，所以，(38)式右邊的第一個積分J1有界。

由引理1，引理2和引理3，我們知道函數G(x1,x2,z;ξ1,ξ2,ζ)在B1(x1,x2,z)之外有界，又由函數f(x1,x2,z)滿足假設條件(A1)，因此，(38)式右邊的第二個積分J2有界。

由(3)式和壓縮影像原理，我們立即可得到函數u(x1,x2,z)有界。

另一方面，接下來我們證明函數u(x1,x2,z)滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)。由于函數u(x1,x2,z)有界，并且由于函數f(x1,x2,z)和函數p(x1,x2,z)都滿足假設條件(A1)和(A2)，再根據引理7和引理8，我們立即可得到此結論。

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