二次曲線弦的中點軌跡方程的求解公式及其應用

王愛生 周輝 楊育棟

摘 要：該文研究二次曲線定向弦、定點弦、定長弦這三種動弦的中點軌跡方程的求解方法。通過把直線標準參數方程代入二次曲線方程中，利用直線標準參數方程的幾何意義及弦的中點性質，導出了二次曲線這三種動弦的中點軌跡方程的求解公式，并借用導數記號簡化了公式的形式，方便了公式的記憶和運用。從而減少了計算量，簡化了過程，不僅能使二次曲線三種動弦的中點軌跡問題迎刃而解，而且能非常簡便地解決許多以弦的中點有關的其它問題。

關鍵詞：二次曲線 動弦 中點 軌跡

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）11（a）-0163-02

二次曲線動弦的中點軌跡主要有三種類型：（1）方向一定的弦的中點軌跡；（2）過定點的弦的中點軌跡；（3）弦長為定值的弦的中點軌跡。很多人對這個問題進行了研究，得到了許多方法和結論。但這些方法中對第（1）類問題，通常是把直線方程的斜截式代入二次曲線方程得到一個二次方程，再用韋達定理解決；對（2）類問題，通常把直線方程的點斜式代入二次曲線方程中得到一個二次方程再用韋達定理；對（3）類問題，通常是綜合運用兩點間的距離公式，韋達定理及多元消元法；也有一些文章解決這3類問題時用的是“沒而不求法”或“點差法”等。不管怎樣，一般運算量很大，技巧性特強，不便于操作和運用。

該文通過把直線標準參數方程代入二次曲線方程中，利用直線標準參數方程中t的幾何意義及弦的中點性質，導出了二次曲線這三種動弦的中點軌跡方程的求解公式，并借用導數記號簡化了公式的形式，方便了公式的記憶和運用，然后用實例說明如何運用這3個公式簡便地解決二次曲線三種動弦的中點軌跡方程的求解問題以及這3個公式在與二次曲線弦的中點有關的許多其它問題（如弦的中點坐標的確定、與對稱有關的問題等）中的廣泛應用。從而使這類問題的解決變得有“法”可依，減少了計算量，簡化了過程。

1 公式的推導

為了得到一般結論，從二次曲線的一般方程入手。設二次曲線C的一般方程為：

又設過點P（，），傾斜角為的直線L的標準參數方程為：

把（3）代入（1）消去x，y化簡整理得關于t的二次方程：

因為直線L與曲線C有兩個交點時，方程（3）總有兩個相異的實根，當點為的中點時，根據t的幾何意義有，由韋達定理得：

特別地，在通常情況下，

上式可寫成：

形式地借用（2）的導數記號，有

對于第（1）類問題，若定向弦P1，P2的斜率為k，則，代入（6），得軌跡方程為： （Ⅰ）

對于第（2）類問題，若定點弦P1，P2經過的定點坐標為（a，b），則，代（6），得軌跡方程為：

（Ⅱ）

對于第（3）類問題，若定長弦P1，P2的弦長為L，則方程（4）的兩根與分別為，代入（4），并由于（5）得

或

（Ⅲ）

其中

式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ），尤其是（Ⅲ）看起來繁，但實際做題時，大多數情況下，圓錐曲線方程是標準形式，往往B=0，D=0或E=0，計算量不大。

3 公式的應用

3.1 確定動弦的中點軌跡或方程

（1）求定向弦中點的軌跡

例1 已知雙曲線方程為，求斜率為2的弦的中點軌跡。

解：化雙曲線方程為一般形式，又弦的斜率k=2，設弦的中點為（x，y），由公式（Ⅰ）得：，化簡有

因此，所求軌跡是被雙曲線所截得的兩條射線。

（2）求定點弦中點的軌跡

例2 過點A（1，2），作直線L交橢圓于P1，P2兩點，當L繞點A轉動時，求弦中點的軌跡。

解：化橢圓方程為一般形式，又弦過定點（1，2），

設弦的中點為（x，y）由公式（Ⅱ）得： ，化簡有

（﹡）

因此，所求軌跡當點A（1，2）在已知橢圓上或內部時，弦的中點軌跡是橢圓（﹡），當點A（1，2）在已知橢圓外時，弦的中點軌跡是橢圓（﹡）在已知橢圓內的一段。

（3）求定長弦中點的軌跡。

例3 已知線段AB的長為5，兩個端點分別在拋物線上滑動，求線段AB的中點P的軌跡方程。

解：化拋物線方程為一般形式，又弦長為5，設弦的中點為（x，y），由公式（Ⅲ）得：，

把代入，化簡得：，這就是所求的軌跡方程。

3.2 確定弦的中點坐標

例4 求直線被橢圓截得的弦的中點坐標。

解：化橢圓方程為一般形式，又弦的斜率，設弦的中點為，由公式（Ⅰ）得：，即 ①

又點在直線上得： ②

①、②聯立求解，可得中點坐標為。

3.3 確定以定點為中點的弦的方程

例5 求拋物線，以點A（4，1）為中點的弦的方程。

解：設弦上任意一點為（x，y），由公式（Ⅱ）得：化簡得。這就是所求的以點A（4，1）為中點的弦的方程。

3.4 求解與對稱點有關的問題

例6 已知橢圓C的標準方程為，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上總有不同的兩點關于直線對稱。

解：化橢圓方程為一般形式：，設P1，P2是橢圓C上關于直線對稱的兩點，則連結P1，P2的弦所在直線的斜率。

又設弦P1，P2與直線的交點為，則此點就是弦P1，P2的中點。

由公式（Ⅰ）得：，即

又點P在已知直線上，即

由于弦的中點P在橢圓內部，因此，即，解此不等式得：

3.5 解決其它問題

例7 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線上移動，該線段AB的中點為M，求點M到y軸的最短距離，并求此時點M的坐標。

解：由公式（Ⅲ）得：

，點M到y軸的最短距離就是的最小值。又

而且僅當，即時，的取得最小值。

因此，點M到y軸的最短距離為，此時點M的坐標為或。

例8 定長為4的線段AB，兩端點分別在直角坐標系兩坐標軸上滑動，求線段AB的中點M的軌跡。

解：把直角坐標系x軸與y軸，看成退化的圓錐曲線xy=0.設M的坐標為（x，y）

由公式（Ⅲ）得：

很明顯，xy=0不屬于軌跡上的點。因此，只能有，即，所求軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓。

由以上例子看出，借助公式（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），很多與弦的中點有關的問題，都能很簡便地解決，減少了很多計算量，繞過了尋找技巧的障礙。

公式（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），我認為還有許多應用需要挖掘，限于自己的水平，只能暫且擱筆。

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