一個向量恒等式的“四渡赤水”

徐興生

人教A版教材必修四（2007年2月）《2.5.1平面幾何中的向圖1量方法》中例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖1，AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能發現平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？

解析 不妨設AB=a，AD=b，則AC=a+b，DB=a-b.涉及長度問題常常考慮向量的數量積.我們計算|AC|2與|DB|2.|AC|2=AC·AC=（a+b）·（a+b）=|a|2+2a·b+|b|2. （1）

同理，|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. （2）

觀察（1）、（2）兩式的特點，我們發現，（1）+（2）得|AC|2+|DB|2=2（|a|2+|b|2）=2（|AB|2+|AD|2），即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

事實上教材中還有一個有用的結論沒有點明：（1）-（2）得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2，或4a·b=（a+b）2-（a-b）2.這不由得想起在初中代數中有一個常用的恒等式是：4ab=（a+b）2-（a-b）2，它是兩個完全平方公式相減而成，而今在高中向量中有一個類似的恒等式是：4a·b=（a+b）2-（a-b）2或a·b=（a+b2）2-（a-b22）.它在我省有份量的考試中頻頻出現應用，同一知識點一考再考，深受命題專家的青睞，但考該知識點的載體大相庭徑，體現虛虛實實，實實虛虛，頗有點像中國革命史上的“四渡赤水”.

題1 （2012年浙江省高考理科試題15）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則AB·AC=.

解析 此題方法有多種，法一：AB·AC=（AM+MB）·（AM+MC）=AM2+AM·（MB+MC）+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.圖2

法二（特例法）： 既然題目中沒有講什么三角形，不妨假設△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，如圖2. 由AM=3，BC=10，得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

法三（應用向量恒等式）：AB·AC=（AB+AC2）2-（AB-AC2）2=AM2-14CB2=9-25=-16.

下面2道題都有幾種不同特色的解題方法，現只用法三中的向量恒等式來解.

題2 （2013年4月浙江省高中數學競賽試題5）已知直線AB與拋物線y2=4x交于A、B兩點，M為AB的中點，C為拋物線上一個動點，若C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB}，則下列一定成立的是（ ）.

A.C0M⊥AB B.C0M⊥l，其中l是拋物線過C0的切線

C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

解析 CA·CB=14[（CA+CB）2-（CA-CB）2]=CM2-14BA2.同理：C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB}，則C0A·C0B≤CA·CB恒成立，即|C0M|≤|CM|恒成立，四個選擇支逐一驗證可選項B.

題3 （2013年浙江省高考理科試題7）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（ ）.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D. AC=BC

解析 取BC中點M，則PB·PC=14[PB+PC）2-（PB-PC）2]=PM2-14CB2.同理：P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C，則PM2≥P0M2恒成立，即|PM|≥|P0M|恒成立.

圖3所以P0M恒為直線AB的垂線段，即P0M⊥AB（如圖3）.又取AB中點N，則MN=MB，而MN=12AC，MB=12BC，所以AC=BC，選項D.

值得一提的是，題3借助向量的手段考查初中平面幾何一個耳熟能詳的常用定理 “直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短.”無獨有偶，05年浙江省理科第10題就已考過類似的知識點：

（2005年浙江省理科第10題）已知向量，a≠e，|e|=1，滿足對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則（ ）.

A.a⊥e B.a⊥（a-e）

C.e⊥（a-e）D.（a+e）⊥（a-e）

解析 設AB=e，AC=a，AD=te，則|DC|=|a-te|，|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|，則|DC|≥|BC|.如圖4，可知CB⊥AB，即a⊥（a-e）.同理，若點D在AB的反向延長線上，結論也一樣.選C.圖4

更巧的是06年全國高中數學競賽第1小題和上面考題如出一轍：已知△ABC，若對任意t∈R，|BA-tBC|≥|AC|，則△ABC（ ）.

A.必為銳角三角形 B.必為鈍角三角形

C.必為直角三角形 D.答案不確定

我們在復習講評一道題目時，用多種方法有些時候不一定是好事，一方面學生一下難接受，結果一種方法都沒學會；另一方面考試時，學生在各種方法之間檢索，亂湊方法，湊不到方法反而擾亂心情.其實有時一招走遍天下更好，用數學術語講就是要抓住數學問題的本質，抓住核心知識點.

人教A版教材必修四（2007年2月）《2.5.1平面幾何中的向圖1量方法》中例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖1，AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能發現平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？

解析 不妨設AB=a，AD=b，則AC=a+b，DB=a-b.涉及長度問題常常考慮向量的數量積.我們計算|AC|2與|DB|2.|AC|2=AC·AC=（a+b）·（a+b）=|a|2+2a·b+|b|2. （1）

同理，|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. （2）

觀察（1）、（2）兩式的特點，我們發現，（1）+（2）得|AC|2+|DB|2=2（|a|2+|b|2）=2（|AB|2+|AD|2），即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

事實上教材中還有一個有用的結論沒有點明：（1）-（2）得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2，或4a·b=（a+b）2-（a-b）2.這不由得想起在初中代數中有一個常用的恒等式是：4ab=（a+b）2-（a-b）2，它是兩個完全平方公式相減而成，而今在高中向量中有一個類似的恒等式是：4a·b=（a+b）2-（a-b）2或a·b=（a+b2）2-（a-b22）.它在我省有份量的考試中頻頻出現應用，同一知識點一考再考，深受命題專家的青睞，但考該知識點的載體大相庭徑，體現虛虛實實，實實虛虛，頗有點像中國革命史上的“四渡赤水”.

題1 （2012年浙江省高考理科試題15）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則AB·AC=.

解析 此題方法有多種，法一：AB·AC=（AM+MB）·（AM+MC）=AM2+AM·（MB+MC）+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.圖2

法二（特例法）： 既然題目中沒有講什么三角形，不妨假設△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，如圖2. 由AM=3，BC=10，得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

法三（應用向量恒等式）：AB·AC=（AB+AC2）2-（AB-AC2）2=AM2-14CB2=9-25=-16.

下面2道題都有幾種不同特色的解題方法，現只用法三中的向量恒等式來解.

題2 （2013年4月浙江省高中數學競賽試題5）已知直線AB與拋物線y2=4x交于A、B兩點，M為AB的中點，C為拋物線上一個動點，若C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB}，則下列一定成立的是（ ）.

A.C0M⊥AB B.C0M⊥l，其中l是拋物線過C0的切線

C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

解析 CA·CB=14[（CA+CB）2-（CA-CB）2]=CM2-14BA2.同理：C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB}，則C0A·C0B≤CA·CB恒成立，即|C0M|≤|CM|恒成立，四個選擇支逐一驗證可選項B.

題3 （2013年浙江省高考理科試題7）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（ ）.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D. AC=BC

解析 取BC中點M，則PB·PC=14[PB+PC）2-（PB-PC）2]=PM2-14CB2.同理：P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C，則PM2≥P0M2恒成立，即|PM|≥|P0M|恒成立.

圖3所以P0M恒為直線AB的垂線段，即P0M⊥AB（如圖3）.又取AB中點N，則MN=MB，而MN=12AC，MB=12BC，所以AC=BC，選項D.

值得一提的是，題3借助向量的手段考查初中平面幾何一個耳熟能詳的常用定理 “直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短.”無獨有偶，05年浙江省理科第10題就已考過類似的知識點：

（2005年浙江省理科第10題）已知向量，a≠e，|e|=1，滿足對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則（ ）.

A.a⊥e B.a⊥（a-e）

C.e⊥（a-e）D.（a+e）⊥（a-e）

解析 設AB=e，AC=a，AD=te，則|DC|=|a-te|，|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|，則|DC|≥|BC|.如圖4，可知CB⊥AB，即a⊥（a-e）.同理，若點D在AB的反向延長線上，結論也一樣.選C.圖4

更巧的是06年全國高中數學競賽第1小題和上面考題如出一轍：已知△ABC，若對任意t∈R，|BA-tBC|≥|AC|，則△ABC（ ）.

A.必為銳角三角形 B.必為鈍角三角形

C.必為直角三角形 D.答案不確定

我們在復習講評一道題目時，用多種方法有些時候不一定是好事，一方面學生一下難接受，結果一種方法都沒學會；另一方面考試時，學生在各種方法之間檢索，亂湊方法，湊不到方法反而擾亂心情.其實有時一招走遍天下更好，用數學術語講就是要抓住數學問題的本質，抓住核心知識點.

人教A版教材必修四（2007年2月）《2.5.1平面幾何中的向圖1量方法》中例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖1，AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能發現平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？

解析 不妨設AB=a，AD=b，則AC=a+b，DB=a-b.涉及長度問題常常考慮向量的數量積.我們計算|AC|2與|DB|2.|AC|2=AC·AC=（a+b）·（a+b）=|a|2+2a·b+|b|2. （1）

同理，|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. （2）

觀察（1）、（2）兩式的特點，我們發現，（1）+（2）得|AC|2+|DB|2=2（|a|2+|b|2）=2（|AB|2+|AD|2），即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

事實上教材中還有一個有用的結論沒有點明：（1）-（2）得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2，或4a·b=（a+b）2-（a-b）2.這不由得想起在初中代數中有一個常用的恒等式是：4ab=（a+b）2-（a-b）2，它是兩個完全平方公式相減而成，而今在高中向量中有一個類似的恒等式是：4a·b=（a+b）2-（a-b）2或a·b=（a+b2）2-（a-b22）.它在我省有份量的考試中頻頻出現應用，同一知識點一考再考，深受命題專家的青睞，但考該知識點的載體大相庭徑，體現虛虛實實，實實虛虛，頗有點像中國革命史上的“四渡赤水”.

題1 （2012年浙江省高考理科試題15）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則AB·AC=.

解析 此題方法有多種，法一：AB·AC=（AM+MB）·（AM+MC）=AM2+AM·（MB+MC）+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.圖2

法二（特例法）： 既然題目中沒有講什么三角形，不妨假設△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，如圖2. 由AM=3，BC=10，得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

法三（應用向量恒等式）：AB·AC=（AB+AC2）2-（AB-AC2）2=AM2-14CB2=9-25=-16.

下面2道題都有幾種不同特色的解題方法，現只用法三中的向量恒等式來解.

題2 （2013年4月浙江省高中數學競賽試題5）已知直線AB與拋物線y2=4x交于A、B兩點，M為AB的中點，C為拋物線上一個動點，若C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB}，則下列一定成立的是（ ）.

A.C0M⊥AB B.C0M⊥l，其中l是拋物線過C0的切線

C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

解析 CA·CB=14[（CA+CB）2-（CA-CB）2]=CM2-14BA2.同理：C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB}，則C0A·C0B≤CA·CB恒成立，即|C0M|≤|CM|恒成立，四個選擇支逐一驗證可選項B.

題3 （2013年浙江省高考理科試題7）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（ ）.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D. AC=BC

解析 取BC中點M，則PB·PC=14[PB+PC）2-（PB-PC）2]=PM2-14CB2.同理：P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C，則PM2≥P0M2恒成立，即|PM|≥|P0M|恒成立.

圖3所以P0M恒為直線AB的垂線段，即P0M⊥AB（如圖3）.又取AB中點N，則MN=MB，而MN=12AC，MB=12BC，所以AC=BC，選項D.

值得一提的是，題3借助向量的手段考查初中平面幾何一個耳熟能詳的常用定理 “直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短.”無獨有偶，05年浙江省理科第10題就已考過類似的知識點：

（2005年浙江省理科第10題）已知向量，a≠e，|e|=1，滿足對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則（ ）.

A.a⊥e B.a⊥（a-e）

C.e⊥（a-e）D.（a+e）⊥（a-e）

解析 設AB=e，AC=a，AD=te，則|DC|=|a-te|，|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|，則|DC|≥|BC|.如圖4，可知CB⊥AB，即a⊥（a-e）.同理，若點D在AB的反向延長線上，結論也一樣.選C.圖4

更巧的是06年全國高中數學競賽第1小題和上面考題如出一轍：已知△ABC，若對任意t∈R，|BA-tBC|≥|AC|，則△ABC（ ）.

A.必為銳角三角形 B.必為鈍角三角形

C.必為直角三角形 D.答案不確定

我們在復習講評一道題目時，用多種方法有些時候不一定是好事，一方面學生一下難接受，結果一種方法都沒學會；另一方面考試時，學生在各種方法之間檢索，亂湊方法，湊不到方法反而擾亂心情.其實有時一招走遍天下更好，用數學術語講就是要抓住數學問題的本質，抓住核心知識點.