高中數(shù)學(xué)中分類思想的討論研究

張友健

在分類討論時(shí)，充分挖掘問(wèn)題潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性，靈活地采用相應(yīng)的解題策略，可簡(jiǎn)化或避免分類討論.下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明如何簡(jiǎn)化或避免分類討論.

一、整體分析，有效避免討論

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若對(duì)任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .

分析 由于對(duì)任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，即fmax（x）≤gmin（x）.因此在求函數(shù)f（x）的最大值時(shí)常規(guī)思路是對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論.倘若同學(xué)們從整體思維出發(fā)，由二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）或f（2），所以只要f（1）≤gmin（x），

f（2）≤gmin（x）.

解析 由題意可知，因?yàn)閤1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，

f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，

4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-45].

評(píng)析 整體分析是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是從全局的視角上去通觀問(wèn)題，放棄細(xì)節(jié)，把握解題方向.受定勢(shì)習(xí)慣思維的影響，在解含參問(wèn)題時(shí)，一些同學(xué)先想到的是如何分類討論，而忽視了從整體把握問(wèn)題，突破常規(guī)思路，切中解題要點(diǎn)避免分類討論.

二、變更主元，有效避免討論

例2 設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對(duì)于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

分析 本例為含參數(shù)的不等式，關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的處理，從表面上看，是一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集是[-2，2]，求參數(shù)x的范圍.因此通過(guò)參數(shù)m與未知數(shù)x的地位的變化，借助一次函數(shù)圖象，避免了對(duì)參數(shù)的討論.

解析 設(shè)f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m為自變量的一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）.當(dāng)m∈[-2，2]時(shí)，其圖象是線段，應(yīng)在橫軸下方，故有f（-2）<0，

f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，

2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，

1-32

評(píng)析 在含有參數(shù)的方程、不等式問(wèn)題中，若已知參量的取值范圍，需確定主變量的取值范圍，常常可以變換主元，構(gòu)造以參量為自變量的函數(shù)（變換主元），實(shí)現(xiàn)反客為主，避開(kāi)分類討論.

三、消去參數(shù)，有效避免討論

例3 設(shè)00且a≠1，比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.

分析 本例通常應(yīng)分a>1與0

解析 運(yùn)用作商比較法，因?yàn)?1-x，11-x>1+x>1，所以|loga（1-x）loga（1+x）|=|log1+x（1-x）|=-log1+x（1-x）=log1+x1（1-x）>1，所以|loga（1-x）|>|loga（1+x）|.

評(píng)析 數(shù)學(xué)定義以及基本原理是數(shù)學(xué)知識(shí)再生之源，蘊(yùn)涵特定的數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若從最基本的知識(shí)點(diǎn)入手，回歸定義，聯(lián)想性質(zhì)，可以優(yōu)化解題過(guò)程.

四、數(shù)形結(jié)合，有效避免討論

利用函數(shù)圖象，幾何圖形的直觀性，能巧妙地將數(shù)量關(guān)系與空間圖形結(jié)合起來(lái)，有時(shí)也可以回避問(wèn)題的討論.

圖1例4 當(dāng)x∈[-4，0]時(shí)，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范圍.

解析 若設(shè)函數(shù)y1=x（-4-x），則（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其圖象為上半圓.設(shè)函數(shù)y2=43x+1-a，其圖象為直線.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象如圖，依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心（-2，0）到直線4x-3y+3-3a=0的距離d=|-8+3-3a|5>2且1-a>0時(shí)成立，從而求得a的取值范圍為a<-5.

五、通過(guò)換元，，有效避免討論

引入?yún)⒆兞浚鳛榻沂咀兞块g內(nèi)在聯(lián)系的媒介，能幫助對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程作出定量的刻畫(huà)，消化難點(diǎn)，化難為易.

例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1.

分析 本題按常規(guī)解法是去分母，兩邊平方去根號(hào)，而且需要討論左右的正負(fù)情況.若我們注意觀察原不等式，引入?yún)?shù)，進(jìn)行三角換元，可避免繁瑣的解題過(guò)程.

解 令x=tanα，α∈（-π2，π2），則原不等式可化為2sin2α-sinα-1<0，解得-12-33.所以原不等式的解集為（-33，+∞）.

在分類討論時(shí)，充分挖掘問(wèn)題潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性，靈活地采用相應(yīng)的解題策略，可簡(jiǎn)化或避免分類討論.下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明如何簡(jiǎn)化或避免分類討論.

一、整體分析，有效避免討論

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若對(duì)任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .

分析 由于對(duì)任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，即fmax（x）≤gmin（x）.因此在求函數(shù)f（x）的最大值時(shí)常規(guī)思路是對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論.倘若同學(xué)們從整體思維出發(fā)，由二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）或f（2），所以只要f（1）≤gmin（x），

f（2）≤gmin（x）.

解析 由題意可知，因?yàn)閤1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，

f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，

4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-45].

評(píng)析 整體分析是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是從全局的視角上去通觀問(wèn)題，放棄細(xì)節(jié)，把握解題方向.受定勢(shì)習(xí)慣思維的影響，在解含參問(wèn)題時(shí)，一些同學(xué)先想到的是如何分類討論，而忽視了從整體把握問(wèn)題，突破常規(guī)思路，切中解題要點(diǎn)避免分類討論.

二、變更主元，有效避免討論

例2 設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對(duì)于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

分析 本例為含參數(shù)的不等式，關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的處理，從表面上看，是一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集是[-2，2]，求參數(shù)x的范圍.因此通過(guò)參數(shù)m與未知數(shù)x的地位的變化，借助一次函數(shù)圖象，避免了對(duì)參數(shù)的討論.

解析 設(shè)f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m為自變量的一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）.當(dāng)m∈[-2，2]時(shí)，其圖象是線段，應(yīng)在橫軸下方，故有f（-2）<0，

f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，

2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，

1-32

評(píng)析 在含有參數(shù)的方程、不等式問(wèn)題中，若已知參量的取值范圍，需確定主變量的取值范圍，常常可以變換主元，構(gòu)造以參量為自變量的函數(shù)（變換主元），實(shí)現(xiàn)反客為主，避開(kāi)分類討論.

三、消去參數(shù)，有效避免討論

例3 設(shè)00且a≠1，比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.

分析 本例通常應(yīng)分a>1與0

解析 運(yùn)用作商比較法，因?yàn)?1-x，11-x>1+x>1，所以|loga（1-x）loga（1+x）|=|log1+x（1-x）|=-log1+x（1-x）=log1+x1（1-x）>1，所以|loga（1-x）|>|loga（1+x）|.

評(píng)析 數(shù)學(xué)定義以及基本原理是數(shù)學(xué)知識(shí)再生之源，蘊(yùn)涵特定的數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若從最基本的知識(shí)點(diǎn)入手，回歸定義，聯(lián)想性質(zhì)，可以優(yōu)化解題過(guò)程.

四、數(shù)形結(jié)合，有效避免討論

利用函數(shù)圖象，幾何圖形的直觀性，能巧妙地將數(shù)量關(guān)系與空間圖形結(jié)合起來(lái)，有時(shí)也可以回避問(wèn)題的討論.

圖1例4 當(dāng)x∈[-4，0]時(shí)，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范圍.

解析 若設(shè)函數(shù)y1=x（-4-x），則（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其圖象為上半圓.設(shè)函數(shù)y2=43x+1-a，其圖象為直線.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象如圖，依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心（-2，0）到直線4x-3y+3-3a=0的距離d=|-8+3-3a|5>2且1-a>0時(shí)成立，從而求得a的取值范圍為a<-5.

五、通過(guò)換元，，有效避免討論

引入?yún)⒆兞浚鳛榻沂咀兞块g內(nèi)在聯(lián)系的媒介，能幫助對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程作出定量的刻畫(huà)，消化難點(diǎn)，化難為易.

例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1.

分析 本題按常規(guī)解法是去分母，兩邊平方去根號(hào)，而且需要討論左右的正負(fù)情況.若我們注意觀察原不等式，引入?yún)?shù)，進(jìn)行三角換元，可避免繁瑣的解題過(guò)程.

解 令x=tanα，α∈（-π2，π2），則原不等式可化為2sin2α-sinα-1<0，解得-12-33.所以原不等式的解集為（-33，+∞）.

在分類討論時(shí)，充分挖掘問(wèn)題潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性，靈活地采用相應(yīng)的解題策略，可簡(jiǎn)化或避免分類討論.下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明如何簡(jiǎn)化或避免分類討論.

一、整體分析，有效避免討論

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若對(duì)任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .

分析 由于對(duì)任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，即fmax（x）≤gmin（x）.因此在求函數(shù)f（x）的最大值時(shí)常規(guī)思路是對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論.倘若同學(xué)們從整體思維出發(fā)，由二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）或f（2），所以只要f（1）≤gmin（x），

f（2）≤gmin（x）.

解析 由題意可知，因?yàn)閤1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，

f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，

4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-45].

評(píng)析 整體分析是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是從全局的視角上去通觀問(wèn)題，放棄細(xì)節(jié)，把握解題方向.受定勢(shì)習(xí)慣思維的影響，在解含參問(wèn)題時(shí)，一些同學(xué)先想到的是如何分類討論，而忽視了從整體把握問(wèn)題，突破常規(guī)思路，切中解題要點(diǎn)避免分類討論.

二、變更主元，有效避免討論

例2 設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對(duì)于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

分析 本例為含參數(shù)的不等式，關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的處理，從表面上看，是一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集是[-2，2]，求參數(shù)x的范圍.因此通過(guò)參數(shù)m與未知數(shù)x的地位的變化，借助一次函數(shù)圖象，避免了對(duì)參數(shù)的討論.

解析 設(shè)f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m為自變量的一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）.當(dāng)m∈[-2，2]時(shí)，其圖象是線段，應(yīng)在橫軸下方，故有f（-2）<0，

f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，

2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，

1-32

評(píng)析 在含有參數(shù)的方程、不等式問(wèn)題中，若已知參量的取值范圍，需確定主變量的取值范圍，常常可以變換主元，構(gòu)造以參量為自變量的函數(shù)（變換主元），實(shí)現(xiàn)反客為主，避開(kāi)分類討論.

三、消去參數(shù)，有效避免討論

例3 設(shè)00且a≠1，比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.

分析 本例通常應(yīng)分a>1與0

解析 運(yùn)用作商比較法，因?yàn)?1-x，11-x>1+x>1，所以|loga（1-x）loga（1+x）|=|log1+x（1-x）|=-log1+x（1-x）=log1+x1（1-x）>1，所以|loga（1-x）|>|loga（1+x）|.

評(píng)析 數(shù)學(xué)定義以及基本原理是數(shù)學(xué)知識(shí)再生之源，蘊(yùn)涵特定的數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若從最基本的知識(shí)點(diǎn)入手，回歸定義，聯(lián)想性質(zhì)，可以優(yōu)化解題過(guò)程.

四、數(shù)形結(jié)合，有效避免討論

利用函數(shù)圖象，幾何圖形的直觀性，能巧妙地將數(shù)量關(guān)系與空間圖形結(jié)合起來(lái)，有時(shí)也可以回避問(wèn)題的討論.

圖1例4 當(dāng)x∈[-4，0]時(shí)，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范圍.

解析 若設(shè)函數(shù)y1=x（-4-x），則（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其圖象為上半圓.設(shè)函數(shù)y2=43x+1-a，其圖象為直線.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象如圖，依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心（-2，0）到直線4x-3y+3-3a=0的距離d=|-8+3-3a|5>2且1-a>0時(shí)成立，從而求得a的取值范圍為a<-5.

五、通過(guò)換元，，有效避免討論

引入?yún)⒆兞浚鳛榻沂咀兞块g內(nèi)在聯(lián)系的媒介，能幫助對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程作出定量的刻畫(huà)，消化難點(diǎn)，化難為易.

例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1.

分析 本題按常規(guī)解法是去分母，兩邊平方去根號(hào)，而且需要討論左右的正負(fù)情況.若我們注意觀察原不等式，引入?yún)?shù)，進(jìn)行三角換元，可避免繁瑣的解題過(guò)程.

解 令x=tanα，α∈（-π2，π2），則原不等式可化為2sin2α-sinα-1<0，解得-12-33.所以原不等式的解集為（-33，+∞）.