淺談“滾輪線”在高中物理習題教學中的應用

彭正飛

滾輪線，是數學眾多擺線中的一種.顧名思義，滾輪線是輪子某質點滾出來的曲線.半徑為R的輪子在水平面上沿一直線純滾動，輪子邊緣上任何一點的運動軌跡便是一條滾輪線.從理論角度來說，滾輪線是勻速直線運動圖像和勻速圓周運動圖像的疊加圖像.這種兩種圖像的疊加在物理學中的一種理解就是運動的合成.即，當某一質點的運動同時參與了勻速直線運動和勻速圓周運動時，該質點的運動軌跡就是我們生活中的滾輪線，通過對滾輪線形狀的定性了解，可以幫助我們快速的理解物理問題的內涵，找到解決物理問題的方法.

一、滾輪線在高中物理教學中的直接應用

圖1案例1 如圖1所示，在平直地面上勻速行駛的拖拉機速度為5 m/s，拖拉機前輪直徑d=0.8 m，在行駛過程中從前輪邊緣最高點A處水平飛出一個小石塊，車輪與地面“不打滑”.g取10 m/s2，求小石塊落地時距C點距離.

在這個問題中，小石塊水平離開邊緣A點后，做平拋運動，而平拋初速度v0為多少，對此，很多學生無法求解.在此，有的老師對如何求解最高點初速度vA作如下解說：車以速度v=5 m/s向前運動，則車軸O點向前的平移速度為v=5 m/s.車輪邊緣A點繞軸O點旋轉，當車速為 v=5 m/s時，A點繞O點的旋轉線速度v′=5 m/s，即A點相對于O點的速度為v′=5 m/s，所以A點的對地速度為v+v′=10 m/s.然后根據高度求出平拋時間t=0.4 s可以求出射程是4 m.

實際上，我們學生對這樣“生硬”理由是很難信服或不能理解的，至少部分學生會不明所以.其實，這樣的運動是非常典型的滾輪線圖2運動，輪子上任何一個點同時參與了水平向右的勻速直線運動和繞O點的勻速圓周運動，我們不妨設圓周運動的線速度為v′（如圖2），并且明確圓周運動是順時針方向進行的，那么A點線速度方向向右，而C點線速度方向向左，因此，A的速度就是v+v′，而最低點C的速度則是v-v′.由于車子和地面是“不打滑”的，這樣C點相對于地面的速度就是零，這樣自然而然的可以得出線速度v′的大小就等于勻速運動速度v的大小.那么，A的速度就必然是v+v′=10 m/s.然后根據高度求出平拋時間t=0.4 s最后可以求出射程是4 m.

二、滾輪線在高中物理教學中的輔助作用

圖3案例2 如圖3所示，M和N是兩塊面積很大、相互平行又相距較近的帶電金屬板，相距為d，兩板間的電勢差為U，同時，在這兩板間還有方向與均勻電場正交而垂直紙面向外的均勻磁場，一束電子通過左側帶負電的板M上的小孔，沿垂直于金屬板方向射入.為使電子束不碰到右側帶正電的N板，問所加磁場的磁感應強度至少是多大？

（設電子受到的重力及從小孔進入時的初速度均可不計）

不防借助于滾輪線的特征及方法求解.即作如下理解.電子剛進入兩板時，初速度為零，設想此時電子具有如圖4所示的豎直向上的速度v和向下的速度v，使向上的速度受到水平向右的磁場力正好和電子在兩板間所受的電場力相平衡，即v的大小滿足evB=eE=eUd可得v=UBd，此式表明，這個正值是恒定的.照此圖4設想，電子在其后的運功過程中將受三個力作用，一個是水平向右的電場力，一個是水平向左的磁場力，另一個電子向下運動而產生的水平向右的磁場力.這三個力所對應的加速度引起電子速度的改變，它和原來電子向下運動的速度的合成正是一種勻速圓周運動模式，而電子向上運動的速度沒有改變，它引起的磁場力和電場力保持平衡（如圖4所示）.

于是，電子最終的運動軌跡是滾輪線（運動軌跡如圖5）.對圖5于勻速圓周運動，有evB=mv2R.而且，由圖4可知，要求電子不碰到N板，則必須滿足2R

結合以上三個式子可得

d2>R=mveB=mUedB2，即B>2mUed2.

由此可見，合理應用滾輪線的性質和特征，將會讓學生在考慮帶電粒子在復合場中的運動問題變得直觀，對粒子復雜的運動軌跡也有一個清晰地認識.學生的分析、解決問題的能力也能得到提高，對運動合成與分解間的關系也能有個全新的認識和更深的理解.

三、滾輪線在高中物理教學中的啟示作用

圖6案例3 如圖6所示，質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以初速v0垂直射入相互正交的勻強電場E和勻強磁場B，粒子從P點離開該區域的速率為vP，此時側移量為s，下列說法中正確的是（ ）.

A.在P點帶電粒子所受磁場力有可能比電場力大

B.帶電粒子的加速度大小恒為qBv0-Eqm

C.帶電粒子到達P點的速率vp=v20+2qEsm

D .帶電粒子到達P點的速率vp=v20-2qEsm

對BCD選項的解答只要應用“牛頓第二定律”和“功能關系”，解決的難度不大.而對于A選項的說明，筆者查閱了許多的參考答案，各地老師幾乎千遍一律地給出了這樣的解釋：帶電粒子進入電場時，受到的電場力FE=Eq豎直向上，受到的磁場力FB=Bqv豎直向下，由于粒子向上偏轉且能從P點射出，說明開始時FE>FB；但是粒子在側移過程中，電場力對其做正功，其速率v不斷增大，FB亦隨之增大，故到達P點時有可能使FB>FE，所以選項A正確.

其實，這是粒子在復合場中的復雜的運動，如果老師事先和學生討論滾輪線的相關性質和特征，對于A選項的解答可以輕松面對、毫無破綻地解答的.可以設粒子射入復合場時具有的速度為向右的v1和向左的v2，使得v1-v2=v0，并圖7且由案例2中原理可得：粒子在復合場中作水平方向上以的v1為速度大小的勻速直線運動和以v2為線速度的順時針勻速圓周運動的合運動（如圖7），其中最低點的對地速度是v1-v2，最高點的對地速度為v1+v2，其它各點的速度是v1與v2根據平行四邊形定則求出的合速度.利用幾何畫板可以畫出這種滾輪線的圖像（如圖8）.

圖8 圖9（也可以和學生一起用描點法大致畫出其圖像的大致形狀，該曲線實際上是自行車前進過程中，地面打滑現象），根據圖像可以清晰看出，粒子出來時的P點在軌跡上的可能是很多的，P點有可能在圖像最高點A的左側的位置，也有可能是圖像最高點A右側的位置，甚至P點可能剛好就是圖像中的A點（如圖9）.

認可這一點的以后，認為最高點的磁場力為FB=qB（v1+v2）>qE.所以說A選擇的說法是可能出現的.老師做出這樣的解釋，筆者認為雖然繁瑣，但能培養學生不斷尋求“真理”的物理思想和物理精神.

物理是一門嚴謹的自然學科，教授學生學習物理的過程中，不僅是傳授學科的知識，同時也是對學生進行跨學科整合理念的滲透，高中物理中，還有很多地方能夠找到與其他學科知識相關或相近的知識板塊，借助于其他學科已有的觀點，能夠幫助物理學科的教學.高中物理概念、規律的教學過程中，教師一定要避免模棱兩可，是非不明的情況出現.在常規辦法無法實施的時候，適當地考慮用數學圖像的辦法加以說明論證往往能起到意想不到的效果.

滾輪線，是數學眾多擺線中的一種.顧名思義，滾輪線是輪子某質點滾出來的曲線.半徑為R的輪子在水平面上沿一直線純滾動，輪子邊緣上任何一點的運動軌跡便是一條滾輪線.從理論角度來說，滾輪線是勻速直線運動圖像和勻速圓周運動圖像的疊加圖像.這種兩種圖像的疊加在物理學中的一種理解就是運動的合成.即，當某一質點的運動同時參與了勻速直線運動和勻速圓周運動時，該質點的運動軌跡就是我們生活中的滾輪線，通過對滾輪線形狀的定性了解，可以幫助我們快速的理解物理問題的內涵，找到解決物理問題的方法.

一、滾輪線在高中物理教學中的直接應用

圖1案例1 如圖1所示，在平直地面上勻速行駛的拖拉機速度為5 m/s，拖拉機前輪直徑d=0.8 m，在行駛過程中從前輪邊緣最高點A處水平飛出一個小石塊，車輪與地面“不打滑”.g取10 m/s2，求小石塊落地時距C點距離.

在這個問題中，小石塊水平離開邊緣A點后，做平拋運動，而平拋初速度v0為多少，對此，很多學生無法求解.在此，有的老師對如何求解最高點初速度vA作如下解說：車以速度v=5 m/s向前運動，則車軸O點向前的平移速度為v=5 m/s.車輪邊緣A點繞軸O點旋轉，當車速為 v=5 m/s時，A點繞O點的旋轉線速度v′=5 m/s，即A點相對于O點的速度為v′=5 m/s，所以A點的對地速度為v+v′=10 m/s.然后根據高度求出平拋時間t=0.4 s可以求出射程是4 m.

實際上，我們學生對這樣“生硬”理由是很難信服或不能理解的，至少部分學生會不明所以.其實，這樣的運動是非常典型的滾輪線圖2運動，輪子上任何一個點同時參與了水平向右的勻速直線運動和繞O點的勻速圓周運動，我們不妨設圓周運動的線速度為v′（如圖2），并且明確圓周運動是順時針方向進行的，那么A點線速度方向向右，而C點線速度方向向左，因此，A的速度就是v+v′，而最低點C的速度則是v-v′.由于車子和地面是“不打滑”的，這樣C點相對于地面的速度就是零，這樣自然而然的可以得出線速度v′的大小就等于勻速運動速度v的大小.那么，A的速度就必然是v+v′=10 m/s.然后根據高度求出平拋時間t=0.4 s最后可以求出射程是4 m.

二、滾輪線在高中物理教學中的輔助作用

圖3案例2 如圖3所示，M和N是兩塊面積很大、相互平行又相距較近的帶電金屬板，相距為d，兩板間的電勢差為U，同時，在這兩板間還有方向與均勻電場正交而垂直紙面向外的均勻磁場，一束電子通過左側帶負電的板M上的小孔，沿垂直于金屬板方向射入.為使電子束不碰到右側帶正電的N板，問所加磁場的磁感應強度至少是多大？

（設電子受到的重力及從小孔進入時的初速度均可不計）

不防借助于滾輪線的特征及方法求解.即作如下理解.電子剛進入兩板時，初速度為零，設想此時電子具有如圖4所示的豎直向上的速度v和向下的速度v，使向上的速度受到水平向右的磁場力正好和電子在兩板間所受的電場力相平衡，即v的大小滿足evB=eE=eUd可得v=UBd，此式表明，這個正值是恒定的.照此圖4設想，電子在其后的運功過程中將受三個力作用，一個是水平向右的電場力，一個是水平向左的磁場力，另一個電子向下運動而產生的水平向右的磁場力.這三個力所對應的加速度引起電子速度的改變，它和原來電子向下運動的速度的合成正是一種勻速圓周運動模式，而電子向上運動的速度沒有改變，它引起的磁場力和電場力保持平衡（如圖4所示）.

于是，電子最終的運動軌跡是滾輪線（運動軌跡如圖5）.對圖5于勻速圓周運動，有evB=mv2R.而且，由圖4可知，要求電子不碰到N板，則必須滿足2R

結合以上三個式子可得

d2>R=mveB=mUedB2，即B>2mUed2.

由此可見，合理應用滾輪線的性質和特征，將會讓學生在考慮帶電粒子在復合場中的運動問題變得直觀，對粒子復雜的運動軌跡也有一個清晰地認識.學生的分析、解決問題的能力也能得到提高，對運動合成與分解間的關系也能有個全新的認識和更深的理解.

三、滾輪線在高中物理教學中的啟示作用

圖6案例3 如圖6所示，質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以初速v0垂直射入相互正交的勻強電場E和勻強磁場B，粒子從P點離開該區域的速率為vP，此時側移量為s，下列說法中正確的是（ ）.

A.在P點帶電粒子所受磁場力有可能比電場力大

B.帶電粒子的加速度大小恒為qBv0-Eqm

C.帶電粒子到達P點的速率vp=v20+2qEsm

D .帶電粒子到達P點的速率vp=v20-2qEsm

對BCD選項的解答只要應用“牛頓第二定律”和“功能關系”，解決的難度不大.而對于A選項的說明，筆者查閱了許多的參考答案，各地老師幾乎千遍一律地給出了這樣的解釋：帶電粒子進入電場時，受到的電場力FE=Eq豎直向上，受到的磁場力FB=Bqv豎直向下，由于粒子向上偏轉且能從P點射出，說明開始時FE>FB；但是粒子在側移過程中，電場力對其做正功，其速率v不斷增大，FB亦隨之增大，故到達P點時有可能使FB>FE，所以選項A正確.

其實，這是粒子在復合場中的復雜的運動，如果老師事先和學生討論滾輪線的相關性質和特征，對于A選項的解答可以輕松面對、毫無破綻地解答的.可以設粒子射入復合場時具有的速度為向右的v1和向左的v2，使得v1-v2=v0，并圖7且由案例2中原理可得：粒子在復合場中作水平方向上以的v1為速度大小的勻速直線運動和以v2為線速度的順時針勻速圓周運動的合運動（如圖7），其中最低點的對地速度是v1-v2，最高點的對地速度為v1+v2，其它各點的速度是v1與v2根據平行四邊形定則求出的合速度.利用幾何畫板可以畫出這種滾輪線的圖像（如圖8）.

圖8 圖9（也可以和學生一起用描點法大致畫出其圖像的大致形狀，該曲線實際上是自行車前進過程中，地面打滑現象），根據圖像可以清晰看出，粒子出來時的P點在軌跡上的可能是很多的，P點有可能在圖像最高點A的左側的位置，也有可能是圖像最高點A右側的位置，甚至P點可能剛好就是圖像中的A點（如圖9）.

認可這一點的以后，認為最高點的磁場力為FB=qB（v1+v2）>qE.所以說A選擇的說法是可能出現的.老師做出這樣的解釋，筆者認為雖然繁瑣，但能培養學生不斷尋求“真理”的物理思想和物理精神.

物理是一門嚴謹的自然學科，教授學生學習物理的過程中，不僅是傳授學科的知識，同時也是對學生進行跨學科整合理念的滲透，高中物理中，還有很多地方能夠找到與其他學科知識相關或相近的知識板塊，借助于其他學科已有的觀點，能夠幫助物理學科的教學.高中物理概念、規律的教學過程中，教師一定要避免模棱兩可，是非不明的情況出現.在常規辦法無法實施的時候，適當地考慮用數學圖像的辦法加以說明論證往往能起到意想不到的效果.

滾輪線，是數學眾多擺線中的一種.顧名思義，滾輪線是輪子某質點滾出來的曲線.半徑為R的輪子在水平面上沿一直線純滾動，輪子邊緣上任何一點的運動軌跡便是一條滾輪線.從理論角度來說，滾輪線是勻速直線運動圖像和勻速圓周運動圖像的疊加圖像.這種兩種圖像的疊加在物理學中的一種理解就是運動的合成.即，當某一質點的運動同時參與了勻速直線運動和勻速圓周運動時，該質點的運動軌跡就是我們生活中的滾輪線，通過對滾輪線形狀的定性了解，可以幫助我們快速的理解物理問題的內涵，找到解決物理問題的方法.

一、滾輪線在高中物理教學中的直接應用

圖1案例1 如圖1所示，在平直地面上勻速行駛的拖拉機速度為5 m/s，拖拉機前輪直徑d=0.8 m，在行駛過程中從前輪邊緣最高點A處水平飛出一個小石塊，車輪與地面“不打滑”.g取10 m/s2，求小石塊落地時距C點距離.

在這個問題中，小石塊水平離開邊緣A點后，做平拋運動，而平拋初速度v0為多少，對此，很多學生無法求解.在此，有的老師對如何求解最高點初速度vA作如下解說：車以速度v=5 m/s向前運動，則車軸O點向前的平移速度為v=5 m/s.車輪邊緣A點繞軸O點旋轉，當車速為 v=5 m/s時，A點繞O點的旋轉線速度v′=5 m/s，即A點相對于O點的速度為v′=5 m/s，所以A點的對地速度為v+v′=10 m/s.然后根據高度求出平拋時間t=0.4 s可以求出射程是4 m.

實際上，我們學生對這樣“生硬”理由是很難信服或不能理解的，至少部分學生會不明所以.其實，這樣的運動是非常典型的滾輪線圖2運動，輪子上任何一個點同時參與了水平向右的勻速直線運動和繞O點的勻速圓周運動，我們不妨設圓周運動的線速度為v′（如圖2），并且明確圓周運動是順時針方向進行的，那么A點線速度方向向右，而C點線速度方向向左，因此，A的速度就是v+v′，而最低點C的速度則是v-v′.由于車子和地面是“不打滑”的，這樣C點相對于地面的速度就是零，這樣自然而然的可以得出線速度v′的大小就等于勻速運動速度v的大小.那么，A的速度就必然是v+v′=10 m/s.然后根據高度求出平拋時間t=0.4 s最后可以求出射程是4 m.

二、滾輪線在高中物理教學中的輔助作用

圖3案例2 如圖3所示，M和N是兩塊面積很大、相互平行又相距較近的帶電金屬板，相距為d，兩板間的電勢差為U，同時，在這兩板間還有方向與均勻電場正交而垂直紙面向外的均勻磁場，一束電子通過左側帶負電的板M上的小孔，沿垂直于金屬板方向射入.為使電子束不碰到右側帶正電的N板，問所加磁場的磁感應強度至少是多大？

（設電子受到的重力及從小孔進入時的初速度均可不計）

不防借助于滾輪線的特征及方法求解.即作如下理解.電子剛進入兩板時，初速度為零，設想此時電子具有如圖4所示的豎直向上的速度v和向下的速度v，使向上的速度受到水平向右的磁場力正好和電子在兩板間所受的電場力相平衡，即v的大小滿足evB=eE=eUd可得v=UBd，此式表明，這個正值是恒定的.照此圖4設想，電子在其后的運功過程中將受三個力作用，一個是水平向右的電場力，一個是水平向左的磁場力，另一個電子向下運動而產生的水平向右的磁場力.這三個力所對應的加速度引起電子速度的改變，它和原來電子向下運動的速度的合成正是一種勻速圓周運動模式，而電子向上運動的速度沒有改變，它引起的磁場力和電場力保持平衡（如圖4所示）.

于是，電子最終的運動軌跡是滾輪線（運動軌跡如圖5）.對圖5于勻速圓周運動，有evB=mv2R.而且，由圖4可知，要求電子不碰到N板，則必須滿足2R

結合以上三個式子可得

d2>R=mveB=mUedB2，即B>2mUed2.

由此可見，合理應用滾輪線的性質和特征，將會讓學生在考慮帶電粒子在復合場中的運動問題變得直觀，對粒子復雜的運動軌跡也有一個清晰地認識.學生的分析、解決問題的能力也能得到提高，對運動合成與分解間的關系也能有個全新的認識和更深的理解.

三、滾輪線在高中物理教學中的啟示作用

圖6案例3 如圖6所示，質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以初速v0垂直射入相互正交的勻強電場E和勻強磁場B，粒子從P點離開該區域的速率為vP，此時側移量為s，下列說法中正確的是（ ）.

A.在P點帶電粒子所受磁場力有可能比電場力大

B.帶電粒子的加速度大小恒為qBv0-Eqm

C.帶電粒子到達P點的速率vp=v20+2qEsm

D .帶電粒子到達P點的速率vp=v20-2qEsm

對BCD選項的解答只要應用“牛頓第二定律”和“功能關系”，解決的難度不大.而對于A選項的說明，筆者查閱了許多的參考答案，各地老師幾乎千遍一律地給出了這樣的解釋：帶電粒子進入電場時，受到的電場力FE=Eq豎直向上，受到的磁場力FB=Bqv豎直向下，由于粒子向上偏轉且能從P點射出，說明開始時FE>FB；但是粒子在側移過程中，電場力對其做正功，其速率v不斷增大，FB亦隨之增大，故到達P點時有可能使FB>FE，所以選項A正確.

其實，這是粒子在復合場中的復雜的運動，如果老師事先和學生討論滾輪線的相關性質和特征，對于A選項的解答可以輕松面對、毫無破綻地解答的.可以設粒子射入復合場時具有的速度為向右的v1和向左的v2，使得v1-v2=v0，并圖7且由案例2中原理可得：粒子在復合場中作水平方向上以的v1為速度大小的勻速直線運動和以v2為線速度的順時針勻速圓周運動的合運動（如圖7），其中最低點的對地速度是v1-v2，最高點的對地速度為v1+v2，其它各點的速度是v1與v2根據平行四邊形定則求出的合速度.利用幾何畫板可以畫出這種滾輪線的圖像（如圖8）.

圖8 圖9（也可以和學生一起用描點法大致畫出其圖像的大致形狀，該曲線實際上是自行車前進過程中，地面打滑現象），根據圖像可以清晰看出，粒子出來時的P點在軌跡上的可能是很多的，P點有可能在圖像最高點A的左側的位置，也有可能是圖像最高點A右側的位置，甚至P點可能剛好就是圖像中的A點（如圖9）.

認可這一點的以后，認為最高點的磁場力為FB=qB（v1+v2）>qE.所以說A選擇的說法是可能出現的.老師做出這樣的解釋，筆者認為雖然繁瑣，但能培養學生不斷尋求“真理”的物理思想和物理精神.

物理是一門嚴謹的自然學科，教授學生學習物理的過程中，不僅是傳授學科的知識，同時也是對學生進行跨學科整合理念的滲透，高中物理中，還有很多地方能夠找到與其他學科知識相關或相近的知識板塊，借助于其他學科已有的觀點，能夠幫助物理學科的教學.高中物理概念、規律的教學過程中，教師一定要避免模棱兩可，是非不明的情況出現.在常規辦法無法實施的時候，適當地考慮用數學圖像的辦法加以說明論證往往能起到意想不到的效果.