旋轉液面形狀的推斷與探索

肖捷+馮佳偉

用于實驗的儀器，底部由一個三角形的重鐵架組成，這樣的構造可以使得整個儀器重心較低，使其更穩，不易倒.中間接連一根剛型支柱，鏈接頂部的圓盤，圓盤內有凹槽，可以放置物品，這樣的設計可以使物品不容易在旋轉中轉出盤面.實際上，我們的道具還有塑料大圓盤，用以完成我們接下來的整個實驗.

實驗中，觀察到一個細節：三角形底盤的三個角上分別有一個可調節高度的螺旋釘.有個問題：三角鐵的三邊的高度應該是相等的，為什么還需要用螺旋釘.為保證三角鐵的絕對水平，但是不能保證實驗所用的地方、桌子是完全呈絕對水平狀態，所以需要用螺旋釘來調節三邊的高度，最終保證三角鐵三邊的高度相等使得圓盤保持絕對水平.用來驗證圓盤絕對水平的方法是通過調整各角的高度后，在圓盤上任意一位置輕放一物品，圓盤不轉動，即圓盤保持絕對水平.

將塑料圓盤固定，并保持圓盤水平即完成了實驗的準備工作.

運用現有物理知識，對實驗結果進行猜測.

圖1一個裝滿水的杯子放在加速為a向左加速運動的小車中，預測容器中液面的形狀.

根據生活經驗知道，向左加速的條件下，容器中的液面會呈現出左低右高的斜形液面.如何驗證這個猜測呢？運用了兩種方式通過理論的手段來解決這個問題.

方法1（微元法） 以地面為參考系，設容器內的液體密度為ρ，容器向左運動的加速度為a.設想在左側液面下方M點（設其壓強P0）任取一水平薄片液體片MN，令MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它隨整個液體一起作加速運動，所以其加速度應由該液體片左右兩側的壓力產生，若N處液體壓強為P，則根據牛頓第二定律可以得出（P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，解得N點的壓強P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出，當液體做沿水平方向做加速（或減速）運動時，在液體的內部，同一深度的壓強將不再相等！沿加速度的反方向，壓強逐漸增大，其大小與該位置到容器側壁的距離L成線性關系.又因為液體在豎直方向上處于平衡狀態，所以此處壓強必定等于該點上方液體重力所產生的壓強，即ρaL+P0=ρgH，解得N點的深度H=agL+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H，與該點到容器左側壁的距離L也成線性關系.因此液面將呈現出一個傾斜的平面的形狀.

方法2（等效法） 以加速運動的車為參考系，假設液體在此參考系中處于“平衡狀態”.根據愛因斯坦的廣義相對論中的等效原理：一個均勻的引力場與一個做勻加速運動的參考系等價.所以這時可認為該參照系中的物體都處于兩個恒定的力場中，一個向下為m，另一個向右為m.再將這兩個力場合成為一個“等效重力場”，液體此時的“等效重力”為=m+m，其大小G=（mg）2+（ma）2，方向與地面成tan-1ga斜向右下方.也就是說現在等效的“豎直向下”是從左上方斜向右下方的，等效的“水平方向”則是從左下方斜向右上方的.而處于“平衡狀態”下液體的液面必定處于“水平”狀態，所以這時液面將呈現出一個從左下到右上傾斜的平面形狀.

有在水平加速度下液面形狀的理論依據后，由于加速度的方向則液面較低.在旋轉的條件下，加速度的方向向圓心，所以猜測旋轉液面的形狀為中間低，四周高的斜液面.讓我們用實驗來觀察一下猜測是否于實驗相同.

首先將方形的容器裝適量水，方形的一角放置在圓心，另一對角放置在圓周，旋轉盤面，最終容器中的液面形成了二次型的形狀.與前期的猜測相近但也不相同.此圖形近似與二次函數形的有半部分.再將方形容器按左圖的樣式放置，旋轉盤面，此圖形近似與二次函數形.

圖2 圖3接下來我們再來看下在弧形的情況，旋轉盤面，旋轉的液面會形成什么樣的形狀.將弧形的容器放入適量水，旋轉盤面，最終水的液面幾乎沒有什么變化，還是呈水平狀.但是經實驗發現，弧形容器的厚度必須足夠小，若厚度很大，則會相當于多個方形容器的結合.

分別將裝有石頭和裝有乒乓球裝入柱形容器中，容器中裝滿水，旋轉盤面.觀察石頭和乒乓球的變化.實驗結果呈現出兩種截然不同的結果.石頭在圓周，而乒乓球則集中在圓心.在裝有石頭和水的圓柱旋轉狀態中，相當于是處于空氣和石頭的狀態中，圓柱壁需要給石頭提供向心力，所以石頭會在圓周.而在裝有乒乓球和水的旋轉狀態中，乒乓球充當了空氣的角色，而水則需要圓柱壁為其提供向心力.所以才有了以上兩種截然不同的實驗結果.

我們從理論的層面上來深究.旋轉液面的形狀呈現出二次拋物線的形狀.在盛水的玻璃杯放在水平面上，現使被繞其豎直中心軸勻速轉動，試分析液體表面穩定后呈現的形狀.

用前面分析的方法，在液體內部的轉軸上M點（設其壓強P0）任取一水平薄片液體片，設MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它也隨整個液體一起加速運動，其加速度應由該液體左右兩側的壓力差決定.設N處液體壓強為P，根據牛頓第二定律有 （P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，雖然液體片MN上各處加速度不同，但因各處的加速度a=ω2r，與各點到轉軸的距離r成正比，因此可認為整個液體片MN的加速度等于MN中點處的加速度，即a=ω2L2，化簡以上兩式可解得N點的壓強 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液體內部同一水平線上不同位置的壓強，與該位置到轉軸OO′的距離L成二次函數關系.由于此壓強同樣等于該位置上方的液體重力所產生的壓強，因此有ρω2L2+P0=ρgH，解得N點的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H，與該點到容器中心軸的距離L成二次函數關系，因此此時液面成拋物面形狀.

結論：旋轉液面的形狀主要受到容器形狀、轉動速度等多方面的影響，在相當自由的狀態下，旋轉液面的截面呈現出拋物面的形狀.各種不同的容器下，其實旋轉液面還是遵循截面為拋物面的形狀，只是因為容器形狀的不同，從不同的角度看，所感受到形狀不同，其本質的形狀都是一樣的.

用于實驗的儀器，底部由一個三角形的重鐵架組成，這樣的構造可以使得整個儀器重心較低，使其更穩，不易倒.中間接連一根剛型支柱，鏈接頂部的圓盤，圓盤內有凹槽，可以放置物品，這樣的設計可以使物品不容易在旋轉中轉出盤面.實際上，我們的道具還有塑料大圓盤，用以完成我們接下來的整個實驗.

實驗中，觀察到一個細節：三角形底盤的三個角上分別有一個可調節高度的螺旋釘.有個問題：三角鐵的三邊的高度應該是相等的，為什么還需要用螺旋釘.為保證三角鐵的絕對水平，但是不能保證實驗所用的地方、桌子是完全呈絕對水平狀態，所以需要用螺旋釘來調節三邊的高度，最終保證三角鐵三邊的高度相等使得圓盤保持絕對水平.用來驗證圓盤絕對水平的方法是通過調整各角的高度后，在圓盤上任意一位置輕放一物品，圓盤不轉動，即圓盤保持絕對水平.

將塑料圓盤固定，并保持圓盤水平即完成了實驗的準備工作.

運用現有物理知識，對實驗結果進行猜測.

圖1一個裝滿水的杯子放在加速為a向左加速運動的小車中，預測容器中液面的形狀.

根據生活經驗知道，向左加速的條件下，容器中的液面會呈現出左低右高的斜形液面.如何驗證這個猜測呢？運用了兩種方式通過理論的手段來解決這個問題.

方法1（微元法） 以地面為參考系，設容器內的液體密度為ρ，容器向左運動的加速度為a.設想在左側液面下方M點（設其壓強P0）任取一水平薄片液體片MN，令MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它隨整個液體一起作加速運動，所以其加速度應由該液體片左右兩側的壓力產生，若N處液體壓強為P，則根據牛頓第二定律可以得出（P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，解得N點的壓強P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出，當液體做沿水平方向做加速（或減速）運動時，在液體的內部，同一深度的壓強將不再相等！沿加速度的反方向，壓強逐漸增大，其大小與該位置到容器側壁的距離L成線性關系.又因為液體在豎直方向上處于平衡狀態，所以此處壓強必定等于該點上方液體重力所產生的壓強，即ρaL+P0=ρgH，解得N點的深度H=agL+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H，與該點到容器左側壁的距離L也成線性關系.因此液面將呈現出一個傾斜的平面的形狀.

方法2（等效法） 以加速運動的車為參考系，假設液體在此參考系中處于“平衡狀態”.根據愛因斯坦的廣義相對論中的等效原理：一個均勻的引力場與一個做勻加速運動的參考系等價.所以這時可認為該參照系中的物體都處于兩個恒定的力場中，一個向下為m，另一個向右為m.再將這兩個力場合成為一個“等效重力場”，液體此時的“等效重力”為=m+m，其大小G=（mg）2+（ma）2，方向與地面成tan-1ga斜向右下方.也就是說現在等效的“豎直向下”是從左上方斜向右下方的，等效的“水平方向”則是從左下方斜向右上方的.而處于“平衡狀態”下液體的液面必定處于“水平”狀態，所以這時液面將呈現出一個從左下到右上傾斜的平面形狀.

有在水平加速度下液面形狀的理論依據后，由于加速度的方向則液面較低.在旋轉的條件下，加速度的方向向圓心，所以猜測旋轉液面的形狀為中間低，四周高的斜液面.讓我們用實驗來觀察一下猜測是否于實驗相同.

首先將方形的容器裝適量水，方形的一角放置在圓心，另一對角放置在圓周，旋轉盤面，最終容器中的液面形成了二次型的形狀.與前期的猜測相近但也不相同.此圖形近似與二次函數形的有半部分.再將方形容器按左圖的樣式放置，旋轉盤面，此圖形近似與二次函數形.

圖2 圖3接下來我們再來看下在弧形的情況，旋轉盤面，旋轉的液面會形成什么樣的形狀.將弧形的容器放入適量水，旋轉盤面，最終水的液面幾乎沒有什么變化，還是呈水平狀.但是經實驗發現，弧形容器的厚度必須足夠小，若厚度很大，則會相當于多個方形容器的結合.

分別將裝有石頭和裝有乒乓球裝入柱形容器中，容器中裝滿水，旋轉盤面.觀察石頭和乒乓球的變化.實驗結果呈現出兩種截然不同的結果.石頭在圓周，而乒乓球則集中在圓心.在裝有石頭和水的圓柱旋轉狀態中，相當于是處于空氣和石頭的狀態中，圓柱壁需要給石頭提供向心力，所以石頭會在圓周.而在裝有乒乓球和水的旋轉狀態中，乒乓球充當了空氣的角色，而水則需要圓柱壁為其提供向心力.所以才有了以上兩種截然不同的實驗結果.

我們從理論的層面上來深究.旋轉液面的形狀呈現出二次拋物線的形狀.在盛水的玻璃杯放在水平面上，現使被繞其豎直中心軸勻速轉動，試分析液體表面穩定后呈現的形狀.

用前面分析的方法，在液體內部的轉軸上M點（設其壓強P0）任取一水平薄片液體片，設MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它也隨整個液體一起加速運動，其加速度應由該液體左右兩側的壓力差決定.設N處液體壓強為P，根據牛頓第二定律有 （P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，雖然液體片MN上各處加速度不同，但因各處的加速度a=ω2r，與各點到轉軸的距離r成正比，因此可認為整個液體片MN的加速度等于MN中點處的加速度，即a=ω2L2，化簡以上兩式可解得N點的壓強 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液體內部同一水平線上不同位置的壓強，與該位置到轉軸OO′的距離L成二次函數關系.由于此壓強同樣等于該位置上方的液體重力所產生的壓強，因此有ρω2L2+P0=ρgH，解得N點的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H，與該點到容器中心軸的距離L成二次函數關系，因此此時液面成拋物面形狀.

結論：旋轉液面的形狀主要受到容器形狀、轉動速度等多方面的影響，在相當自由的狀態下，旋轉液面的截面呈現出拋物面的形狀.各種不同的容器下，其實旋轉液面還是遵循截面為拋物面的形狀，只是因為容器形狀的不同，從不同的角度看，所感受到形狀不同，其本質的形狀都是一樣的.

用于實驗的儀器，底部由一個三角形的重鐵架組成，這樣的構造可以使得整個儀器重心較低，使其更穩，不易倒.中間接連一根剛型支柱，鏈接頂部的圓盤，圓盤內有凹槽，可以放置物品，這樣的設計可以使物品不容易在旋轉中轉出盤面.實際上，我們的道具還有塑料大圓盤，用以完成我們接下來的整個實驗.

實驗中，觀察到一個細節：三角形底盤的三個角上分別有一個可調節高度的螺旋釘.有個問題：三角鐵的三邊的高度應該是相等的，為什么還需要用螺旋釘.為保證三角鐵的絕對水平，但是不能保證實驗所用的地方、桌子是完全呈絕對水平狀態，所以需要用螺旋釘來調節三邊的高度，最終保證三角鐵三邊的高度相等使得圓盤保持絕對水平.用來驗證圓盤絕對水平的方法是通過調整各角的高度后，在圓盤上任意一位置輕放一物品，圓盤不轉動，即圓盤保持絕對水平.

將塑料圓盤固定，并保持圓盤水平即完成了實驗的準備工作.

運用現有物理知識，對實驗結果進行猜測.

圖1一個裝滿水的杯子放在加速為a向左加速運動的小車中，預測容器中液面的形狀.

根據生活經驗知道，向左加速的條件下，容器中的液面會呈現出左低右高的斜形液面.如何驗證這個猜測呢？運用了兩種方式通過理論的手段來解決這個問題.

方法1（微元法） 以地面為參考系，設容器內的液體密度為ρ，容器向左運動的加速度為a.設想在左側液面下方M點（設其壓強P0）任取一水平薄片液體片MN，令MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它隨整個液體一起作加速運動，所以其加速度應由該液體片左右兩側的壓力產生，若N處液體壓強為P，則根據牛頓第二定律可以得出（P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，解得N點的壓強P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出，當液體做沿水平方向做加速（或減速）運動時，在液體的內部，同一深度的壓強將不再相等！沿加速度的反方向，壓強逐漸增大，其大小與該位置到容器側壁的距離L成線性關系.又因為液體在豎直方向上處于平衡狀態，所以此處壓強必定等于該點上方液體重力所產生的壓強，即ρaL+P0=ρgH，解得N點的深度H=agL+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H，與該點到容器左側壁的距離L也成線性關系.因此液面將呈現出一個傾斜的平面的形狀.

方法2（等效法） 以加速運動的車為參考系，假設液體在此參考系中處于“平衡狀態”.根據愛因斯坦的廣義相對論中的等效原理：一個均勻的引力場與一個做勻加速運動的參考系等價.所以這時可認為該參照系中的物體都處于兩個恒定的力場中，一個向下為m，另一個向右為m.再將這兩個力場合成為一個“等效重力場”，液體此時的“等效重力”為=m+m，其大小G=（mg）2+（ma）2，方向與地面成tan-1ga斜向右下方.也就是說現在等效的“豎直向下”是從左上方斜向右下方的，等效的“水平方向”則是從左下方斜向右上方的.而處于“平衡狀態”下液體的液面必定處于“水平”狀態，所以這時液面將呈現出一個從左下到右上傾斜的平面形狀.

有在水平加速度下液面形狀的理論依據后，由于加速度的方向則液面較低.在旋轉的條件下，加速度的方向向圓心，所以猜測旋轉液面的形狀為中間低，四周高的斜液面.讓我們用實驗來觀察一下猜測是否于實驗相同.

首先將方形的容器裝適量水，方形的一角放置在圓心，另一對角放置在圓周，旋轉盤面，最終容器中的液面形成了二次型的形狀.與前期的猜測相近但也不相同.此圖形近似與二次函數形的有半部分.再將方形容器按左圖的樣式放置，旋轉盤面，此圖形近似與二次函數形.

圖2 圖3接下來我們再來看下在弧形的情況，旋轉盤面，旋轉的液面會形成什么樣的形狀.將弧形的容器放入適量水，旋轉盤面，最終水的液面幾乎沒有什么變化，還是呈水平狀.但是經實驗發現，弧形容器的厚度必須足夠小，若厚度很大，則會相當于多個方形容器的結合.

分別將裝有石頭和裝有乒乓球裝入柱形容器中，容器中裝滿水，旋轉盤面.觀察石頭和乒乓球的變化.實驗結果呈現出兩種截然不同的結果.石頭在圓周，而乒乓球則集中在圓心.在裝有石頭和水的圓柱旋轉狀態中，相當于是處于空氣和石頭的狀態中，圓柱壁需要給石頭提供向心力，所以石頭會在圓周.而在裝有乒乓球和水的旋轉狀態中，乒乓球充當了空氣的角色，而水則需要圓柱壁為其提供向心力.所以才有了以上兩種截然不同的實驗結果.

我們從理論的層面上來深究.旋轉液面的形狀呈現出二次拋物線的形狀.在盛水的玻璃杯放在水平面上，現使被繞其豎直中心軸勻速轉動，試分析液體表面穩定后呈現的形狀.

用前面分析的方法，在液體內部的轉軸上M點（設其壓強P0）任取一水平薄片液體片，設MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它也隨整個液體一起加速運動，其加速度應由該液體左右兩側的壓力差決定.設N處液體壓強為P，根據牛頓第二定律有 （P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，雖然液體片MN上各處加速度不同，但因各處的加速度a=ω2r，與各點到轉軸的距離r成正比，因此可認為整個液體片MN的加速度等于MN中點處的加速度，即a=ω2L2，化簡以上兩式可解得N點的壓強 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液體內部同一水平線上不同位置的壓強，與該位置到轉軸OO′的距離L成二次函數關系.由于此壓強同樣等于該位置上方的液體重力所產生的壓強，因此有ρω2L2+P0=ρgH，解得N點的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H，與該點到容器中心軸的距離L成二次函數關系，因此此時液面成拋物面形狀.

結論：旋轉液面的形狀主要受到容器形狀、轉動速度等多方面的影響，在相當自由的狀態下，旋轉液面的截面呈現出拋物面的形狀.各種不同的容器下，其實旋轉液面還是遵循截面為拋物面的形狀，只是因為容器形狀的不同，從不同的角度看，所感受到形狀不同，其本質的形狀都是一樣的.