電場中的帶電體在理想繩束縛下的兩種運動

程龍

電場中的帶電體由靜止釋放時，在繩束縛下可能做兩種運動：圓周運動、先勻加速直線運動再圓周運動，分清楚這兩種運動模型和對應的條件，可以避免由此引發的錯誤.

1.圓周運動

例1 如圖1所示，在一個平行板電容器所形成的水平方向的勻強電場中，用細線在固定點懸掛一個質量為M的小球，小球帶負電，小球的重力為小球所受電場力的3倍，現將小球拉至細繩正好水平伸直的A位置后自由釋放，繩子不可伸長，求：小球到最低點B處時線上拉力的大小？

圖1 圖2解析 帶電體沒有初速度，電場力和重力的合力斜向右下方，如圖2所示.粒子能否沿直線運動？假設粒子沿直線運動，則物體到懸點的距離增大，要求繩子伸長，而理想繩是不可伸長的，所以由于繩子的束縛物體沿圓弧做圓周運動.

對物體從A到B的過程應用動能定理

12mv2=mgL-qEL

對B點列牛頓第二定律方程

T-mg=mv2L

解得 T=9+233mg

2. 先直線運動再圓周運動

例2 如圖3所示，在一個平行板電容器所形成的水平方向的勻強電場中，用細線在固定點懸掛一個質量為M的小球，小球帶正電，小球的重力為小球所受電場力的3倍，現將小球拉至細繩正好水平伸直的A位置后自由釋放，繩子不可伸長，求：小球到最低點B處時線上拉力的大小？

圖3 圖4解析 球在重力與電場力的共同作用下，沿合力方向做初速度為零的勻加速直線運動，直至C點，在C點繩子被拉直，此時tanθ=mgqE=3，θ=60°，如圖4所示，線長為L，由動能定理可求得球剛到C點時的速度v0，qELcotθ+mgLsinθ=12mv20，v0=2gl3，小球在C點受到細線的拉力作用，速度發生突變，由v0變為與OC垂直方向的速度v1，把合速度v0進行正交分解，分解為沿半徑OC方向的分速度v2和沿切線方向的分速度v1，v1=vCcos30°=3gL， 即v2在線拉力的作用下瞬間減至零.

對小球由C到B的運動過程應用動能定理，有

mgL（1-cos30°）+qELsin30°=12mv2-12mv21 （1）

在B點TB-mg=mv2L （2）

（1）（2）聯立可得 TB=（3+33）mg

要非常注意電荷的正負和電場的方向，因為它們影響電場力的方向，電場力的方向影響物體的運動形式.在繩子束縛下電場中的帶電體由靜止釋放一般有兩種運動模式.

1.一直沿圓周運動

條件：電場力和重力的合力沿繩方向的分力背離圓心，繩子繃緊.

2.先沿直線做勻加速加速運動，再沿圓周運動

條件：電場力和重力的合力沿繩方向的分力背離圓心，繩子松弛.

電場中的帶電體由靜止釋放時，在繩束縛下可能做兩種運動：圓周運動、先勻加速直線運動再圓周運動，分清楚這兩種運動模型和對應的條件，可以避免由此引發的錯誤.

1.圓周運動

例1 如圖1所示，在一個平行板電容器所形成的水平方向的勻強電場中，用細線在固定點懸掛一個質量為M的小球，小球帶負電，小球的重力為小球所受電場力的3倍，現將小球拉至細繩正好水平伸直的A位置后自由釋放，繩子不可伸長，求：小球到最低點B處時線上拉力的大小？

圖1 圖2解析 帶電體沒有初速度，電場力和重力的合力斜向右下方，如圖2所示.粒子能否沿直線運動？假設粒子沿直線運動，則物體到懸點的距離增大，要求繩子伸長，而理想繩是不可伸長的，所以由于繩子的束縛物體沿圓弧做圓周運動.

對物體從A到B的過程應用動能定理

12mv2=mgL-qEL

對B點列牛頓第二定律方程

T-mg=mv2L

解得 T=9+233mg

2. 先直線運動再圓周運動

例2 如圖3所示，在一個平行板電容器所形成的水平方向的勻強電場中，用細線在固定點懸掛一個質量為M的小球，小球帶正電，小球的重力為小球所受電場力的3倍，現將小球拉至細繩正好水平伸直的A位置后自由釋放，繩子不可伸長，求：小球到最低點B處時線上拉力的大小？

圖3 圖4解析 球在重力與電場力的共同作用下，沿合力方向做初速度為零的勻加速直線運動，直至C點，在C點繩子被拉直，此時tanθ=mgqE=3，θ=60°，如圖4所示，線長為L，由動能定理可求得球剛到C點時的速度v0，qELcotθ+mgLsinθ=12mv20，v0=2gl3，小球在C點受到細線的拉力作用，速度發生突變，由v0變為與OC垂直方向的速度v1，把合速度v0進行正交分解，分解為沿半徑OC方向的分速度v2和沿切線方向的分速度v1，v1=vCcos30°=3gL， 即v2在線拉力的作用下瞬間減至零.

對小球由C到B的運動過程應用動能定理，有

mgL（1-cos30°）+qELsin30°=12mv2-12mv21 （1）

在B點TB-mg=mv2L （2）

（1）（2）聯立可得 TB=（3+33）mg

要非常注意電荷的正負和電場的方向，因為它們影響電場力的方向，電場力的方向影響物體的運動形式.在繩子束縛下電場中的帶電體由靜止釋放一般有兩種運動模式.

1.一直沿圓周運動

條件：電場力和重力的合力沿繩方向的分力背離圓心，繩子繃緊.

2.先沿直線做勻加速加速運動，再沿圓周運動

條件：電場力和重力的合力沿繩方向的分力背離圓心，繩子松弛.

電場中的帶電體由靜止釋放時，在繩束縛下可能做兩種運動：圓周運動、先勻加速直線運動再圓周運動，分清楚這兩種運動模型和對應的條件，可以避免由此引發的錯誤.

1.圓周運動

例1 如圖1所示，在一個平行板電容器所形成的水平方向的勻強電場中，用細線在固定點懸掛一個質量為M的小球，小球帶負電，小球的重力為小球所受電場力的3倍，現將小球拉至細繩正好水平伸直的A位置后自由釋放，繩子不可伸長，求：小球到最低點B處時線上拉力的大小？

圖1 圖2解析 帶電體沒有初速度，電場力和重力的合力斜向右下方，如圖2所示.粒子能否沿直線運動？假設粒子沿直線運動，則物體到懸點的距離增大，要求繩子伸長，而理想繩是不可伸長的，所以由于繩子的束縛物體沿圓弧做圓周運動.

對物體從A到B的過程應用動能定理

12mv2=mgL-qEL

對B點列牛頓第二定律方程

T-mg=mv2L

解得 T=9+233mg

2. 先直線運動再圓周運動

例2 如圖3所示，在一個平行板電容器所形成的水平方向的勻強電場中，用細線在固定點懸掛一個質量為M的小球，小球帶正電，小球的重力為小球所受電場力的3倍，現將小球拉至細繩正好水平伸直的A位置后自由釋放，繩子不可伸長，求：小球到最低點B處時線上拉力的大小？

圖3 圖4解析 球在重力與電場力的共同作用下，沿合力方向做初速度為零的勻加速直線運動，直至C點，在C點繩子被拉直，此時tanθ=mgqE=3，θ=60°，如圖4所示，線長為L，由動能定理可求得球剛到C點時的速度v0，qELcotθ+mgLsinθ=12mv20，v0=2gl3，小球在C點受到細線的拉力作用，速度發生突變，由v0變為與OC垂直方向的速度v1，把合速度v0進行正交分解，分解為沿半徑OC方向的分速度v2和沿切線方向的分速度v1，v1=vCcos30°=3gL， 即v2在線拉力的作用下瞬間減至零.

對小球由C到B的運動過程應用動能定理，有

mgL（1-cos30°）+qELsin30°=12mv2-12mv21 （1）

在B點TB-mg=mv2L （2）

（1）（2）聯立可得 TB=（3+33）mg

要非常注意電荷的正負和電場的方向，因為它們影響電場力的方向，電場力的方向影響物體的運動形式.在繩子束縛下電場中的帶電體由靜止釋放一般有兩種運動模式.

1.一直沿圓周運動

條件：電場力和重力的合力沿繩方向的分力背離圓心，繩子繃緊.

2.先沿直線做勻加速加速運動，再沿圓周運動

條件：電場力和重力的合力沿繩方向的分力背離圓心，繩子松弛.