巧用組合數的性質求和

鄭金

一、利用公式C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n求和

1.直接利用公式

例1 求和C1n+C3n+C5n+…

解 由于奇數項之和與偶數項之和相等，因此奇數項之和等于所有項之和的一半.所以C1n+C3n+C5n+…=12×2n=2n-1.

2.由公式Crn=Cn-rn進行轉化

例2 求和1+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn.

解 設S=1+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn，其倒序和為S=（n+1）Cnn+nCn-1n+…+2C1n+1.考慮到Crn=Cn-rn（0≤r≤n），將以上兩式相加得2S=（n+2）C0n+（n+2）C1n+…+（n+2）Cnn=（n+2）·2n，所以S=（n+2）·2n-1

3.由公式Cmn=nmCm-1n-1進行轉化

例3 求和S=C0n+12C1n+13C2n+…+1n+1Cnn.

解 由于Cmn=nmCm-1n-1，則有mCmn=nCm-1n-1，即（m+1）Cm+1n+1=（n+1）Cmn，亦即1m+1Cmn=1n+1Cm+1n+1.所以

S=1n+1C1n+1+1n+1C2n+1+1n+1C3n+1+…+1n+1Cm+1n+1

=1n+1（C1n+1+C2n+1+C3n+1+…+Cn+1n+1）=1n+1（2n+1-1）.

例4 求S=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn的值.

解 由于mCmn=nCm-1n-1，所以

S=n（C0n-1+C1n-1+C2n-1+…+Cn-1n-1）=n·2n-1.

二、利用公式Cm+1n+Cmn=Cm+1n+1求和

例5 求3C23+4C24+5C25+…+nC2n的值.

解 原式=3（C23+C24+C25+…+C2n）+（C24+C25+…+C2n）+（C25+C26+…+C2n）+…+（C2n-1+C2n）+C2n

=3（C3n+1-C33）+（C3n+1-C34）+（C3n+1-C35）+…+（C3n+1-C3n-1）+（C3n+1-C3n）

=3C3n+1-3C33+（n-3）C3n+1-（C34+C35+…+C3n）

=nC3n+1-3C33-（C44+C34+C35+…+C3n）+1

=nC3n+1-C4n+1-2=n（3n+2）（n+1）（n-1）24-2.

例6 求A23+A24+A25+…+A2n的值.

解 由于Amn=Cmn·Amm，則A23+A24+A25+…+A2n=A22（C23+C24+C25+…+C2n）=2（C33+C23+C24+C25+…+C2n-1）=2（C3n+1-1）=n（n+1）（n-1）3-2.

此題相似于求

Sn=2×3+3×4+4×5+…+（n+1）（n+2）.

例7 求和Sn=1·2·3+2·3·5+…+n（n+1）（2n+1）.

解 因為an=n（n+1）（2n+4-3）=2n（n+1）（n+2）-3n（n+1），由于n（n+1）（n+2）=6C3n+2，n（n+1）=2C2n+1，則an=12C3n+2-6C2n+1.所以Sn=12（C33+C34+C35+…+C3n+2）-6（C22+C23+…+C2n+1）.

由于C33+C34+C35+…+C3n+2=C44+C34+C35+…+C3n+2=C4n+3，C22+C23+…+C2n+1=C33+C23+…+C2n+1=C3n+2，

所以Sn=12C4n+3-6C3n+2=12n（n+1）2（n+2）.

連續正整數可表示為組合數的形式，由此可將數列求和問題轉化為組合數求和問題.

三、利用二項展開式求和

1.單二項式

例8 設a、b、m為整數，其中m>0，若a和b被m除所得的余數相同，則稱若a和b對模m同余，記為a≡b（mod m）.已知S1=1+C120+C220·2+C320·22+…+C2020·219，S2≡S1（mod 10），求S2被10除的余數.

解 2S1=2+C120·21+C220·22+C320·23+…+C2020·220=（1+2）20+1，因此S1=320+12=910+12=（10-1）10+12=12（C010·1010-C110·109+C210·108-C310·107+…+C810·102-C910·10+2）=1+10×5（C010·108-C110·107+C210·106-C310·105+…+C810-1），所以S1被10除余1.又S2≡S1（mod 10），因此，S2被10除余1.

2.雙二項式

例9 求（C1n）2+（C2n）2+（C3n）2…+（Cnn）2的值.

解 由于[（1+x）（1+x）]n=（1+x）2n，則xn的系數為Cn2n.而[（1+x）（1+x）]n=（1+x）n（1+x）n，則展開式中xn的系數為C0nCnn+C1nCn-1n+C2nCn-2n+…+CnnC0n.考慮到Crn=Cn-rn，則CmnCn-mn=（Cnn）2，所以（C1n）2+（C2n）2+（C3n）2+…+（Cnn）2=Cn2n-1.

一、利用公式C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n求和

1.直接利用公式

例1 求和C1n+C3n+C5n+…

解 由于奇數項之和與偶數項之和相等，因此奇數項之和等于所有項之和的一半.所以C1n+C3n+C5n+…=12×2n=2n-1.

2.由公式Crn=Cn-rn進行轉化

例2 求和1+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn.

解 設S=1+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn，其倒序和為S=（n+1）Cnn+nCn-1n+…+2C1n+1.考慮到Crn=Cn-rn（0≤r≤n），將以上兩式相加得2S=（n+2）C0n+（n+2）C1n+…+（n+2）Cnn=（n+2）·2n，所以S=（n+2）·2n-1

3.由公式Cmn=nmCm-1n-1進行轉化

例3 求和S=C0n+12C1n+13C2n+…+1n+1Cnn.

解 由于Cmn=nmCm-1n-1，則有mCmn=nCm-1n-1，即（m+1）Cm+1n+1=（n+1）Cmn，亦即1m+1Cmn=1n+1Cm+1n+1.所以

S=1n+1C1n+1+1n+1C2n+1+1n+1C3n+1+…+1n+1Cm+1n+1

=1n+1（C1n+1+C2n+1+C3n+1+…+Cn+1n+1）=1n+1（2n+1-1）.

例4 求S=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn的值.

解 由于mCmn=nCm-1n-1，所以

S=n（C0n-1+C1n-1+C2n-1+…+Cn-1n-1）=n·2n-1.

二、利用公式Cm+1n+Cmn=Cm+1n+1求和

例5 求3C23+4C24+5C25+…+nC2n的值.

解 原式=3（C23+C24+C25+…+C2n）+（C24+C25+…+C2n）+（C25+C26+…+C2n）+…+（C2n-1+C2n）+C2n

=3（C3n+1-C33）+（C3n+1-C34）+（C3n+1-C35）+…+（C3n+1-C3n-1）+（C3n+1-C3n）

=3C3n+1-3C33+（n-3）C3n+1-（C34+C35+…+C3n）

=nC3n+1-3C33-（C44+C34+C35+…+C3n）+1

=nC3n+1-C4n+1-2=n（3n+2）（n+1）（n-1）24-2.

例6 求A23+A24+A25+…+A2n的值.

解 由于Amn=Cmn·Amm，則A23+A24+A25+…+A2n=A22（C23+C24+C25+…+C2n）=2（C33+C23+C24+C25+…+C2n-1）=2（C3n+1-1）=n（n+1）（n-1）3-2.

此題相似于求

Sn=2×3+3×4+4×5+…+（n+1）（n+2）.

例7 求和Sn=1·2·3+2·3·5+…+n（n+1）（2n+1）.

解 因為an=n（n+1）（2n+4-3）=2n（n+1）（n+2）-3n（n+1），由于n（n+1）（n+2）=6C3n+2，n（n+1）=2C2n+1，則an=12C3n+2-6C2n+1.所以Sn=12（C33+C34+C35+…+C3n+2）-6（C22+C23+…+C2n+1）.

由于C33+C34+C35+…+C3n+2=C44+C34+C35+…+C3n+2=C4n+3，C22+C23+…+C2n+1=C33+C23+…+C2n+1=C3n+2，

所以Sn=12C4n+3-6C3n+2=12n（n+1）2（n+2）.

連續正整數可表示為組合數的形式，由此可將數列求和問題轉化為組合數求和問題.

三、利用二項展開式求和

1.單二項式

例8 設a、b、m為整數，其中m>0，若a和b被m除所得的余數相同，則稱若a和b對模m同余，記為a≡b（mod m）.已知S1=1+C120+C220·2+C320·22+…+C2020·219，S2≡S1（mod 10），求S2被10除的余數.

解 2S1=2+C120·21+C220·22+C320·23+…+C2020·220=（1+2）20+1，因此S1=320+12=910+12=（10-1）10+12=12（C010·1010-C110·109+C210·108-C310·107+…+C810·102-C910·10+2）=1+10×5（C010·108-C110·107+C210·106-C310·105+…+C810-1），所以S1被10除余1.又S2≡S1（mod 10），因此，S2被10除余1.

2.雙二項式

例9 求（C1n）2+（C2n）2+（C3n）2…+（Cnn）2的值.

解 由于[（1+x）（1+x）]n=（1+x）2n，則xn的系數為Cn2n.而[（1+x）（1+x）]n=（1+x）n（1+x）n，則展開式中xn的系數為C0nCnn+C1nCn-1n+C2nCn-2n+…+CnnC0n.考慮到Crn=Cn-rn，則CmnCn-mn=（Cnn）2，所以（C1n）2+（C2n）2+（C3n）2+…+（Cnn）2=Cn2n-1.

一、利用公式C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n求和

1.直接利用公式

例1 求和C1n+C3n+C5n+…

解 由于奇數項之和與偶數項之和相等，因此奇數項之和等于所有項之和的一半.所以C1n+C3n+C5n+…=12×2n=2n-1.

2.由公式Crn=Cn-rn進行轉化

例2 求和1+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn.

解 設S=1+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn，其倒序和為S=（n+1）Cnn+nCn-1n+…+2C1n+1.考慮到Crn=Cn-rn（0≤r≤n），將以上兩式相加得2S=（n+2）C0n+（n+2）C1n+…+（n+2）Cnn=（n+2）·2n，所以S=（n+2）·2n-1

3.由公式Cmn=nmCm-1n-1進行轉化

例3 求和S=C0n+12C1n+13C2n+…+1n+1Cnn.

解 由于Cmn=nmCm-1n-1，則有mCmn=nCm-1n-1，即（m+1）Cm+1n+1=（n+1）Cmn，亦即1m+1Cmn=1n+1Cm+1n+1.所以

S=1n+1C1n+1+1n+1C2n+1+1n+1C3n+1+…+1n+1Cm+1n+1

=1n+1（C1n+1+C2n+1+C3n+1+…+Cn+1n+1）=1n+1（2n+1-1）.

例4 求S=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn的值.

解 由于mCmn=nCm-1n-1，所以

S=n（C0n-1+C1n-1+C2n-1+…+Cn-1n-1）=n·2n-1.

二、利用公式Cm+1n+Cmn=Cm+1n+1求和

例5 求3C23+4C24+5C25+…+nC2n的值.

解 原式=3（C23+C24+C25+…+C2n）+（C24+C25+…+C2n）+（C25+C26+…+C2n）+…+（C2n-1+C2n）+C2n

=3（C3n+1-C33）+（C3n+1-C34）+（C3n+1-C35）+…+（C3n+1-C3n-1）+（C3n+1-C3n）

=3C3n+1-3C33+（n-3）C3n+1-（C34+C35+…+C3n）

=nC3n+1-3C33-（C44+C34+C35+…+C3n）+1

=nC3n+1-C4n+1-2=n（3n+2）（n+1）（n-1）24-2.

例6 求A23+A24+A25+…+A2n的值.

解 由于Amn=Cmn·Amm，則A23+A24+A25+…+A2n=A22（C23+C24+C25+…+C2n）=2（C33+C23+C24+C25+…+C2n-1）=2（C3n+1-1）=n（n+1）（n-1）3-2.

此題相似于求

Sn=2×3+3×4+4×5+…+（n+1）（n+2）.

例7 求和Sn=1·2·3+2·3·5+…+n（n+1）（2n+1）.

解 因為an=n（n+1）（2n+4-3）=2n（n+1）（n+2）-3n（n+1），由于n（n+1）（n+2）=6C3n+2，n（n+1）=2C2n+1，則an=12C3n+2-6C2n+1.所以Sn=12（C33+C34+C35+…+C3n+2）-6（C22+C23+…+C2n+1）.

由于C33+C34+C35+…+C3n+2=C44+C34+C35+…+C3n+2=C4n+3，C22+C23+…+C2n+1=C33+C23+…+C2n+1=C3n+2，

所以Sn=12C4n+3-6C3n+2=12n（n+1）2（n+2）.

連續正整數可表示為組合數的形式，由此可將數列求和問題轉化為組合數求和問題.

三、利用二項展開式求和

1.單二項式

例8 設a、b、m為整數，其中m>0，若a和b被m除所得的余數相同，則稱若a和b對模m同余，記為a≡b（mod m）.已知S1=1+C120+C220·2+C320·22+…+C2020·219，S2≡S1（mod 10），求S2被10除的余數.

解 2S1=2+C120·21+C220·22+C320·23+…+C2020·220=（1+2）20+1，因此S1=320+12=910+12=（10-1）10+12=12（C010·1010-C110·109+C210·108-C310·107+…+C810·102-C910·10+2）=1+10×5（C010·108-C110·107+C210·106-C310·105+…+C810-1），所以S1被10除余1.又S2≡S1（mod 10），因此，S2被10除余1.

2.雙二項式

例9 求（C1n）2+（C2n）2+（C3n）2…+（Cnn）2的值.

解 由于[（1+x）（1+x）]n=（1+x）2n，則xn的系數為Cn2n.而[（1+x）（1+x）]n=（1+x）n（1+x）n，則展開式中xn的系數為C0nCnn+C1nCn-1n+C2nCn-2n+…+CnnC0n.考慮到Crn=Cn-rn，則CmnCn-mn=（Cnn）2，所以（C1n）2+（C2n）2+（C3n）2+…+（Cnn）2=Cn2n-1.