運用導數解決三次函數問題

陳志國

三次函數及其相關的問題，近年來在各級各類考查試卷中經常出現，其中大部分題型都可利用導數法來求解.本文介紹幾種常見類型的求解方法，供參考.

一、三次函數的切線

例1 已知函數f（x）=x3-x+2，試求過點P（1，2）的曲線y=f（x）的切線方程.

解析 設切點P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，則f ′（x0）=3x20-1，過點P0的方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）， 即y-（x30-x0+2）=（3x20-1） （x-x0）. 又切線過點P（1，2）， 則2-（x30-x0+2）=（3x20-1） （1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.則f ′（-12）=-14， f ′（1）=2.故所求的切線方程為y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.

二、三次函數的單調性

例2 已知函數f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在實數集R上單調遞增，求a的取值范圍；②若f（x）在 （-1，1）上單調遞減，求a的取值范圍.

解析 f ′（x）=3x2-a.①依題意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a<3x2在R上恒成立，又3x2≥0，所以a<0.又當a=0時，f（x）=x3+b在R上是單調增函數，故a≤0. ②依題意，有3x2-a<0在（-1，1）上恒成立，而當x∈（-1，1）時，0<3x2<3，所以a≥3.

三、三次函數的極值

例3 已知函數f（x）=13x3+12ax2+2bx+c， 若當x ∈（0，1）時，f（x）取得極大值；x ∈（1，2）時，f（x）取得極小值；求b-2a-1的取值范圍.

解析 f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由題意知，上述方程應滿足：

一根在（0，1）內，另一根在（1，2）內.

由y=f ′（x）的圖象知f ′（0）>0，

f ′（1）<0，

f ′（2）>0b>0，

a+2b+1<0，

a+b+2>0.

圖1在aOb坐標系中作出上述區域（如圖1所示）.而b-2a-1的幾何意義是：過兩點P（a，b）與D（1，2）的直線斜率.而P（a，b）在區域內，由a+2b+1=0，

a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，

a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，

a+2b+1=0得C（-1，0）.由圖知kDA

四、三次方程根的判定

例4 設a∈R，試討論關于x的三次方程x3-3x2-a=0有相異實根的個數.

解析 將方程變形為x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，則y′=3x（x-2）， 令y′=0得x=0或x=2.

當x∈（-∞，0）時，y′>0；圖2

當x∈（0，2）時，y′<0；

當x∈（2，+∞）時，y′>0.故f（x）的極大值是f（0）=0，極小值是f（2）=-4.

于是函數y=f（x）=x3-3x2的大致圖象如圖2.

因為方程（*）的相異實根的個數，是y= f（x）的圖象和直線y=a的交點的個數，所以相異實根個數為：

（1）當a<-4或a>0時，有1個；

（2）當a=-4或a=0時，有2個；

（3） 當-4

五、與三次函數有關的應用題

例5 某工廠生產某種產品，已知該產品月產量x（噸）與每噸產品的價格P（元/噸）之間的關系為P=24200-15x2，且生產x噸的成本為R=50000+200x元，問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？

解析 每月生產x噸時的利潤為f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）內只有一個極值點x=200，且x∈（0，200）時，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）時，f ′（x） <0；故當x=200時，f（x）有最大值f（200）=3150000（元）

六、與三次函數有關的不等式問題

例6 已知函數f（x）=x3+ax+b定義在區間[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求證：|f（x1）-f（x2）|<1.

解析 由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1， 所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）時，f ′（x） <0；x∈（33，1）時，f ′（x） >0.所以當x=33時，f（x）有最小值f（33）=b-239.又當x=0或1時，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max- [f（x）]min=239<1，證畢.

三次函數及其相關的問題，近年來在各級各類考查試卷中經常出現，其中大部分題型都可利用導數法來求解.本文介紹幾種常見類型的求解方法，供參考.

一、三次函數的切線

例1 已知函數f（x）=x3-x+2，試求過點P（1，2）的曲線y=f（x）的切線方程.

解析 設切點P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，則f ′（x0）=3x20-1，過點P0的方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）， 即y-（x30-x0+2）=（3x20-1） （x-x0）. 又切線過點P（1，2）， 則2-（x30-x0+2）=（3x20-1） （1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.則f ′（-12）=-14， f ′（1）=2.故所求的切線方程為y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.

二、三次函數的單調性

例2 已知函數f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在實數集R上單調遞增，求a的取值范圍；②若f（x）在 （-1，1）上單調遞減，求a的取值范圍.

解析 f ′（x）=3x2-a.①依題意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a<3x2在R上恒成立，又3x2≥0，所以a<0.又當a=0時，f（x）=x3+b在R上是單調增函數，故a≤0. ②依題意，有3x2-a<0在（-1，1）上恒成立，而當x∈（-1，1）時，0<3x2<3，所以a≥3.

三、三次函數的極值

例3 已知函數f（x）=13x3+12ax2+2bx+c， 若當x ∈（0，1）時，f（x）取得極大值；x ∈（1，2）時，f（x）取得極小值；求b-2a-1的取值范圍.

解析 f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由題意知，上述方程應滿足：

一根在（0，1）內，另一根在（1，2）內.

由y=f ′（x）的圖象知f ′（0）>0，

f ′（1）<0，

f ′（2）>0b>0，

a+2b+1<0，

a+b+2>0.

圖1在aOb坐標系中作出上述區域（如圖1所示）.而b-2a-1的幾何意義是：過兩點P（a，b）與D（1，2）的直線斜率.而P（a，b）在區域內，由a+2b+1=0，

a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，

a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，

a+2b+1=0得C（-1，0）.由圖知kDA

四、三次方程根的判定

例4 設a∈R，試討論關于x的三次方程x3-3x2-a=0有相異實根的個數.

解析 將方程變形為x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，則y′=3x（x-2）， 令y′=0得x=0或x=2.

當x∈（-∞，0）時，y′>0；圖2

當x∈（0，2）時，y′<0；

當x∈（2，+∞）時，y′>0.故f（x）的極大值是f（0）=0，極小值是f（2）=-4.

于是函數y=f（x）=x3-3x2的大致圖象如圖2.

因為方程（*）的相異實根的個數，是y= f（x）的圖象和直線y=a的交點的個數，所以相異實根個數為：

（1）當a<-4或a>0時，有1個；

（2）當a=-4或a=0時，有2個；

（3） 當-4

五、與三次函數有關的應用題

例5 某工廠生產某種產品，已知該產品月產量x（噸）與每噸產品的價格P（元/噸）之間的關系為P=24200-15x2，且生產x噸的成本為R=50000+200x元，問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？

解析 每月生產x噸時的利潤為f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）內只有一個極值點x=200，且x∈（0，200）時，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）時，f ′（x） <0；故當x=200時，f（x）有最大值f（200）=3150000（元）

六、與三次函數有關的不等式問題

例6 已知函數f（x）=x3+ax+b定義在區間[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求證：|f（x1）-f（x2）|<1.

解析 由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1， 所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）時，f ′（x） <0；x∈（33，1）時，f ′（x） >0.所以當x=33時，f（x）有最小值f（33）=b-239.又當x=0或1時，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max- [f（x）]min=239<1，證畢.

三次函數及其相關的問題，近年來在各級各類考查試卷中經常出現，其中大部分題型都可利用導數法來求解.本文介紹幾種常見類型的求解方法，供參考.

一、三次函數的切線

例1 已知函數f（x）=x3-x+2，試求過點P（1，2）的曲線y=f（x）的切線方程.

解析 設切點P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，則f ′（x0）=3x20-1，過點P0的方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）， 即y-（x30-x0+2）=（3x20-1） （x-x0）. 又切線過點P（1，2）， 則2-（x30-x0+2）=（3x20-1） （1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.則f ′（-12）=-14， f ′（1）=2.故所求的切線方程為y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.

二、三次函數的單調性

例2 已知函數f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在實數集R上單調遞增，求a的取值范圍；②若f（x）在 （-1，1）上單調遞減，求a的取值范圍.

解析 f ′（x）=3x2-a.①依題意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a<3x2在R上恒成立，又3x2≥0，所以a<0.又當a=0時，f（x）=x3+b在R上是單調增函數，故a≤0. ②依題意，有3x2-a<0在（-1，1）上恒成立，而當x∈（-1，1）時，0<3x2<3，所以a≥3.

三、三次函數的極值

例3 已知函數f（x）=13x3+12ax2+2bx+c， 若當x ∈（0，1）時，f（x）取得極大值；x ∈（1，2）時，f（x）取得極小值；求b-2a-1的取值范圍.

解析 f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由題意知，上述方程應滿足：

一根在（0，1）內，另一根在（1，2）內.

由y=f ′（x）的圖象知f ′（0）>0，

f ′（1）<0，

f ′（2）>0b>0，

a+2b+1<0，

a+b+2>0.

圖1在aOb坐標系中作出上述區域（如圖1所示）.而b-2a-1的幾何意義是：過兩點P（a，b）與D（1，2）的直線斜率.而P（a，b）在區域內，由a+2b+1=0，

a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，

a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，

a+2b+1=0得C（-1，0）.由圖知kDA

四、三次方程根的判定

例4 設a∈R，試討論關于x的三次方程x3-3x2-a=0有相異實根的個數.

解析 將方程變形為x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，則y′=3x（x-2）， 令y′=0得x=0或x=2.

當x∈（-∞，0）時，y′>0；圖2

當x∈（0，2）時，y′<0；

當x∈（2，+∞）時，y′>0.故f（x）的極大值是f（0）=0，極小值是f（2）=-4.

于是函數y=f（x）=x3-3x2的大致圖象如圖2.

因為方程（*）的相異實根的個數，是y= f（x）的圖象和直線y=a的交點的個數，所以相異實根個數為：

（1）當a<-4或a>0時，有1個；

（2）當a=-4或a=0時，有2個；

（3） 當-4

五、與三次函數有關的應用題

例5 某工廠生產某種產品，已知該產品月產量x（噸）與每噸產品的價格P（元/噸）之間的關系為P=24200-15x2，且生產x噸的成本為R=50000+200x元，問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？

解析 每月生產x噸時的利潤為f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）內只有一個極值點x=200，且x∈（0，200）時，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）時，f ′（x） <0；故當x=200時，f（x）有最大值f（200）=3150000（元）

六、與三次函數有關的不等式問題

例6 已知函數f（x）=x3+ax+b定義在區間[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求證：|f（x1）-f（x2）|<1.

解析 由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1， 所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）時，f ′（x） <0；x∈（33，1）時，f ′（x） >0.所以當x=33時，f（x）有最小值f（33）=b-239.又當x=0或1時，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max- [f（x）]min=239<1，證畢.