淺議有關橢圓上動點最值問題的求解

陸衛杰

在學習橢圓簡單幾何性質的時候，大家都會學習到橢圓方程中的幾何意義，它們分別表示了橢圓長軸，短軸的端點到橢圓中心的距離.但很少有人注意到這也是有關橢圓上動點的最值性質，它們表示了橢圓上動點到橢圓中心距離的最大值與最小值.從而，在解決有關橢圓上動點的最值問題時感到很困難.而如果我們在學習的時候能抓住這一性質的內涵，那么在解決有關橢圓上動點的最值問題時就顯得游刃有余.

下面，我們就來看看常見的橢圓上動點的最值問題與這一性質的聯系.

一、橢圓上的動點與平面內一定點距離的最值問題

題1 已知P是橢圓x24+y23=1上的任意一點，O是坐標原點，則PO的最大值是 ，最小值是 .

解析 由橢圓的簡單幾何性質易得：PO的最大值是2，最小值是3.

題2 已知P是橢圓x24+y23=1上的任意一點，A（1，0）是平面內一定點，求PA的最值.

解析 因為A是橢圓的右焦點，故當點P是橢圓的左頂點時，PA的最大值為3，當點P是橢圓的右頂點時，PA的最小值為1.

題2將坐標原點變成了焦點，還是可以由橢圓的簡單幾何性質易得PA的最值，那如果將這兩類特殊的點變成了橢圓坐標軸上的任意點呢？

題3 已知P是橢圓x24+y23=1上的任意一點，A（14，0）是平面內一定點，求PA的最值.

解析 設P的坐標為（x，y），則x24+y23=1y2=3（1-x24），所以PA2=（x-14）2+y2=x2-12x+116+3（1-x24）=14x2-12x+4916=14（x-1）2+4516.因為-2≤x≤2，所以當x=-2時，PA取得最大值為94；當x=1時，PA取得最小值為354.

題3將特殊點變成了非特殊點，此時沒有橢圓的幾何性質可以使用，我們就應牢牢抓住P是橢圓上任意一點，而取得最值時的點P是橢圓上某個位置的點這一關系，先用坐標法表示出橢圓上任意的點到點A的距離，將此問題轉化為函數的最值問題.

以上3題將橢圓簡單幾何性質中a，b的意義進行了簡單的變遷，在變遷的過程中比較完美地體現出了數形結合的數學思想.如果我們能抓住這一變遷思想，那我們就能較為輕松地解決以下兩類相關的最值問題.

二、橢圓上的動點到直線距離的最值問題

題4 已知P（x，y）是橢圓x24+y23=1上的任意一點，求P到直線l∶3x+4y=25的最值.

解析一 作與直線l平行的直線m∶3x+4y=t （t≠25），

由3x+4y=t，

x24+y23=1消去y得21x2-6tx+t2-48=0.

由Δ=36t2-84（t2-48）=0得t=±221，直線m與直線l的距離是25±2215.所以P到直線l：3x+4y=25距離的最大值是25+2215，最小值是25-2215.

解析二 令x=2cosθ，y=3sinθ，θ∈R，

則P到直線l：3x+4y=25的距離

d=|6cosθ+43sinθ-25|5=|221sin（θ+α）-25|5

=25-221sin（θ+α）5 （其中sinα=321，cosα=2321）.

所以d的最大值為25+2215，最小值為25-2215.

因此P到直線l：3x+4y=25的最大值是25+2215，

P到直線l：3x+4y=25的最小值是25-2215.

題4將橢圓上動點到定點的距離最值問題轉變為了橢圓上的動點到定直線的距離最值問題.解析一從幾何法（把點到直線的距離轉化成兩平行線間的距離），解析二從代數法（三角換元）兩個不同的角度進行了分析與求解.

題5 已知P（x，y）是橢圓x24+y23=1上的任意一點，求3x+4y的最值.

解析一 令3x+4y=t，由3x+4y=t，

x24+y23=1消去y得：21x2-6tx+t2-48=0，Δ=36t2-84（t2-48）=0，得t=±221，所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.

解析二 令x=2cosθ，y=3sinθ，θ∈R，則3x+4y=6cosθ+43sinθ=221sin（θ+α）（其中sinα=321，cosα=2321）.所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.

此題是題4的變遷，是將題4中的定直線進一步變遷為動直線.

題6 已知P（x，y）是橢圓x24+y23=1上的任意一點，求yx+6的最值.

解析 yx+6的幾何意義是橢圓x24+y23=1上的點P與定點（-6，0）連線的斜率.故本題求的是過定點（-6，0）且與橢圓x24+y23=1有公共點的直線斜率的最值.由題意可得，直線的斜率一定存在，設過定點（-6，0）且與橢圓x24+y23=1有公共點的直線方程為y=k（x+6）（k∈R），由y=k（x+6），

x24+y23=1消去y得（3+4k2）x2+48k2x+144k2-12=0.，Δ=（48k2）2-4（3+4k2）（144k2-12）≥0 得-68≤k≤68.所以，yx+6的最大值為68，最小值為-68.

此題是題5的一種變遷，將題5中定斜率的動直線變成了過定點的動直線.

三、橢圓上的動點到定點與焦點的距離問題

題7 已知F1，F2是橢圓x24+y23=1的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，A（1，2）是平面內一定點，求PA+PF1的最小值.

解析 因為14+43>1，所以，點A在橢圓外.連結F1A，F1A與橢圓的交點即是所求的P點.因此，PA+PF1的最小值為F1A=（1+1）2+22=22.

題8 已知F1，F2是橢圓x24+y23=1的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，A（1，1）是平面內一定點，求PA+PF1的最值.

解析 因為14+43<1，所以，點A在橢圓內.此時PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因為-AF2≤PA-PF2≤AF2，連結F2A，AF2的延長線與橢圓的交點即是PA+PF1取最大值時的P點.F2A的延長線與橢圓的交點即是PA+PF1取最小值時的P點.又因為AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

題7與題8兩題看似無差別，但我們發現兩題的解析截然不同，題8利用了橢圓的定義將，PF1轉化成了PF2.所以，在解決橢圓上的動點到定點的距離與焦點距離之和的最小值問題時，首先要判斷點與橢圓的位置關系. 題9 已知F1，F2是橢圓x24+y23=1的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，A（1，1）是平面內一定點，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于橢圓的左準線x=-4，垂足為D.則PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故當A，P，D三點共線時PA+2PD取最小值.作AH垂直于橢圓的左準線x=-4，垂足為H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值為5.

題9將橢圓上的動點到焦點的距離前添加了一個特殊的系數（離心率的倒數），巧用圓錐曲線的統一定義進行轉化.

通過以上的三類有關橢圓上動點的最值問題，我們不難發現這些都是從橢圓的幾何性質出發，通過點與線，定量與不定量之間的相互轉化，逐步演變出了三類最值問題.如果我們抓住了幾何性質的內在含義并學會變化，那么我們就能輕松解決有關橢圓上動點的最值問題.

當然，我們在掌握了如何求解有關橢圓上動點的最值問題的同時，如能熟練地利用橢圓的這一幾何性質求解其余的問題，那么，我們對性質的理解就能更上一層樓.最后，用一例來說明熟練利用性質解題的重要性.

題10 已知F1，F2是橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點，P是橢圓上的一點且滿足PF1PF2=e，則橢圓的離心率的取值范圍是 .

解析 因為PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因為a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因為0

題8 已知F1，F2是橢圓x24+y23=1的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，A（1，1）是平面內一定點，求PA+PF1的最值.

解析 因為14+43<1，所以，點A在橢圓內.此時PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因為-AF2≤PA-PF2≤AF2，連結F2A，AF2的延長線與橢圓的交點即是PA+PF1取最大值時的P點.F2A的延長線與橢圓的交點即是PA+PF1取最小值時的P點.又因為AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

題7與題8兩題看似無差別，但我們發現兩題的解析截然不同，題8利用了橢圓的定義將，PF1轉化成了PF2.所以，在解決橢圓上的動點到定點的距離與焦點距離之和的最小值問題時，首先要判斷點與橢圓的位置關系. 題9 已知F1，F2是橢圓x24+y23=1的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，A（1，1）是平面內一定點，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于橢圓的左準線x=-4，垂足為D.則PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故當A，P，D三點共線時PA+2PD取最小值.作AH垂直于橢圓的左準線x=-4，垂足為H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值為5.

題9將橢圓上的動點到焦點的距離前添加了一個特殊的系數（離心率的倒數），巧用圓錐曲線的統一定義進行轉化.

通過以上的三類有關橢圓上動點的最值問題，我們不難發現這些都是從橢圓的幾何性質出發，通過點與線，定量與不定量之間的相互轉化，逐步演變出了三類最值問題.如果我們抓住了幾何性質的內在含義并學會變化，那么我們就能輕松解決有關橢圓上動點的最值問題.

當然，我們在掌握了如何求解有關橢圓上動點的最值問題的同時，如能熟練地利用橢圓的這一幾何性質求解其余的問題，那么，我們對性質的理解就能更上一層樓.最后，用一例來說明熟練利用性質解題的重要性.

題10 已知F1，F2是橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點，P是橢圓上的一點且滿足PF1PF2=e，則橢圓的離心率的取值范圍是 .

解析 因為PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因為a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因為0

題8 已知F1，F2是橢圓x24+y23=1的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，A（1，1）是平面內一定點，求PA+PF1的最值.

解析 因為14+43<1，所以，點A在橢圓內.此時PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因為-AF2≤PA-PF2≤AF2，連結F2A，AF2的延長線與橢圓的交點即是PA+PF1取最大值時的P點.F2A的延長線與橢圓的交點即是PA+PF1取最小值時的P點.又因為AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

題7與題8兩題看似無差別，但我們發現兩題的解析截然不同，題8利用了橢圓的定義將，PF1轉化成了PF2.所以，在解決橢圓上的動點到定點的距離與焦點距離之和的最小值問題時，首先要判斷點與橢圓的位置關系. 題9 已知F1，F2是橢圓x24+y23=1的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，A（1，1）是平面內一定點，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于橢圓的左準線x=-4，垂足為D.則PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故當A，P，D三點共線時PA+2PD取最小值.作AH垂直于橢圓的左準線x=-4，垂足為H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值為5.

題9將橢圓上的動點到焦點的距離前添加了一個特殊的系數（離心率的倒數），巧用圓錐曲線的統一定義進行轉化.

通過以上的三類有關橢圓上動點的最值問題，我們不難發現這些都是從橢圓的幾何性質出發，通過點與線，定量與不定量之間的相互轉化，逐步演變出了三類最值問題.如果我們抓住了幾何性質的內在含義并學會變化，那么我們就能輕松解決有關橢圓上動點的最值問題.

當然，我們在掌握了如何求解有關橢圓上動點的最值問題的同時，如能熟練地利用橢圓的這一幾何性質求解其余的問題，那么，我們對性質的理解就能更上一層樓.最后，用一例來說明熟練利用性質解題的重要性.

題10 已知F1，F2是橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點，P是橢圓上的一點且滿足PF1PF2=e，則橢圓的離心率的取值范圍是 .

解析 因為PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因為a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因為0