怎樣簡化或避免分類討論

杜菊森

分類討論思想是高中重要的數學思想，也是高考考查的重點.

一、正難則反思想，有效避免討論

有時正面直接思考問題，需要分多種情況考慮.而如果考察對立面，可能情況會顯得更簡單，這就是正難則反的補集思想.這種思想在函數、概率等問題中很常見.

例1 已知函數f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區間[-1，1]上至少存在一個實數c，使f（c）>0，求實數p的取值范圍.

解 至少存在一個實數c，使f（c）>0，情況很多.而我們考慮反面的話，即是對于區間[-1，1]上任意的數c，都有f（c）≤0.結合圖形可知，只需要滿足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取補集可得范圍為p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免討論

例2 設等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為 .

分析 如果利用等比數列前n項和公式求解，則需要對公比q=1和q≠1兩種情況進行討論.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知條件，即可避免分類討論，使問題容易得到解決.

解析 因為Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，則q=-2.

評析 對于涉及等比數列前n項和的問題，若能直接運用已知條件中的各個量的關系求解，既可避免討論又可使問題得到靈活解決.

三、分離參數，有效避免討論

例3 已知奇函數f（x）是R上的減函數，若對任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求實數k的取值范圍.

分析 根據f（x）是R上的奇函數，將f（kx）+f（-x2+x-2）>0化為f（kx）>f（x2-x+2）.再根據f（x）是R上的減函數，得到x2-（1+k）x+2>0.若記φ（x）=x2-（1+k）x+2，則需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函數的最小值時需要分類討論.如果我們將x2-（1+k）x+2>0進行參數分離，即k

解析 因為f（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函數，減函數，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

評析 按照常規思路，由⑴式轉化為x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立問題，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根據二次函數性質及對稱軸位置的變化，進行分類討論，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，從而求得k的取值范圍為（-∞，2）.這樣解就顯得比較繁瑣.因此有些不等式在區間上的“恒成立”問題，一般通過分離變量，轉化為函數的最值問題求解，就可以避免分類討論，使得解題過程簡明快捷，少走彎路.

分類討論思想是高中重要的數學思想，也是高考考查的重點.

一、正難則反思想，有效避免討論

有時正面直接思考問題，需要分多種情況考慮.而如果考察對立面，可能情況會顯得更簡單，這就是正難則反的補集思想.這種思想在函數、概率等問題中很常見.

例1 已知函數f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區間[-1，1]上至少存在一個實數c，使f（c）>0，求實數p的取值范圍.

解 至少存在一個實數c，使f（c）>0，情況很多.而我們考慮反面的話，即是對于區間[-1，1]上任意的數c，都有f（c）≤0.結合圖形可知，只需要滿足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取補集可得范圍為p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免討論

例2 設等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為 .

分析 如果利用等比數列前n項和公式求解，則需要對公比q=1和q≠1兩種情況進行討論.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知條件，即可避免分類討論，使問題容易得到解決.

解析 因為Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，則q=-2.

評析 對于涉及等比數列前n項和的問題，若能直接運用已知條件中的各個量的關系求解，既可避免討論又可使問題得到靈活解決.

三、分離參數，有效避免討論

例3 已知奇函數f（x）是R上的減函數，若對任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求實數k的取值范圍.

分析 根據f（x）是R上的奇函數，將f（kx）+f（-x2+x-2）>0化為f（kx）>f（x2-x+2）.再根據f（x）是R上的減函數，得到x2-（1+k）x+2>0.若記φ（x）=x2-（1+k）x+2，則需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函數的最小值時需要分類討論.如果我們將x2-（1+k）x+2>0進行參數分離，即k

解析 因為f（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函數，減函數，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

評析 按照常規思路，由⑴式轉化為x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立問題，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根據二次函數性質及對稱軸位置的變化，進行分類討論，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，從而求得k的取值范圍為（-∞，2）.這樣解就顯得比較繁瑣.因此有些不等式在區間上的“恒成立”問題，一般通過分離變量，轉化為函數的最值問題求解，就可以避免分類討論，使得解題過程簡明快捷，少走彎路.

分類討論思想是高中重要的數學思想，也是高考考查的重點.

一、正難則反思想，有效避免討論

有時正面直接思考問題，需要分多種情況考慮.而如果考察對立面，可能情況會顯得更簡單，這就是正難則反的補集思想.這種思想在函數、概率等問題中很常見.

例1 已知函數f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區間[-1，1]上至少存在一個實數c，使f（c）>0，求實數p的取值范圍.

解 至少存在一個實數c，使f（c）>0，情況很多.而我們考慮反面的話，即是對于區間[-1，1]上任意的數c，都有f（c）≤0.結合圖形可知，只需要滿足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取補集可得范圍為p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免討論

例2 設等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為 .

分析 如果利用等比數列前n項和公式求解，則需要對公比q=1和q≠1兩種情況進行討論.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知條件，即可避免分類討論，使問題容易得到解決.

解析 因為Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，則q=-2.

評析 對于涉及等比數列前n項和的問題，若能直接運用已知條件中的各個量的關系求解，既可避免討論又可使問題得到靈活解決.

三、分離參數，有效避免討論

例3 已知奇函數f（x）是R上的減函數，若對任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求實數k的取值范圍.

分析 根據f（x）是R上的奇函數，將f（kx）+f（-x2+x-2）>0化為f（kx）>f（x2-x+2）.再根據f（x）是R上的減函數，得到x2-（1+k）x+2>0.若記φ（x）=x2-（1+k）x+2，則需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函數的最小值時需要分類討論.如果我們將x2-（1+k）x+2>0進行參數分離，即k

解析 因為f（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函數，減函數，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

評析 按照常規思路，由⑴式轉化為x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立問題，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根據二次函數性質及對稱軸位置的變化，進行分類討論，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，從而求得k的取值范圍為（-∞，2）.這樣解就顯得比較繁瑣.因此有些不等式在區間上的“恒成立”問題，一般通過分離變量，轉化為函數的最值問題求解，就可以避免分類討論，使得解題過程簡明快捷，少走彎路.