一類高考“超綱”選擇題的解題方法和策略

王洪亮

所謂“超綱”高考題，就是指那些來源于物理競賽或大學普物，超出高中知識求解范圍，卻仍能對解的合理性進行一定的分析和判斷的一類問題.此類問題充分體現了“過程和方法”的目標，很好地考察了學生的科學探究能力和分析推理能力.最早出現在2008年北京高考卷中，后來福建、安徽、全國新課標等高考卷也緊隨其后，命出了一些高質量的此類題目.本文系統地研究了解決此類問題的三種常見方法.

一、量綱法

物理關系式不僅反映了物理量大小之間的關系，也確定了物理量單位間的關系.量綱法就是從解的物理量單位，分析判斷出物理量之間可能合理性的關系式.

例1 （2012年北京卷，第20題） “約瑟夫森結”由超導體和絕緣體制成.若在結兩端加恒定電壓U，則它會輻射頻率為ν的電磁波，且與U成正比，即ν=kU.已知比例系數k僅與元電荷e的2倍和普朗克常量h有關.你可能不了解此現象的機理，但仍可運用物理學中常用的方法，在下列選項中，推理判斷比例系數k的值可能為（ ）.

A.h2e B.2eh C.2he D. 12he

解析 光子的能量公式E=hν，而能量也可表示為對電子做功，即E∝eU，根據以上兩式，可得k=νU∝EhEe∝eh，對比四個選項，只有B選項在量綱上和eh的相同，故正確選項為C.

例2 弦振動頻率于波長、張力以及線密度（弦單位長度的質量）有關，求它們之間的關系.

解析 若弦振動頻率為f，弦長、張力以及線密度分別為l、F和ρ，設它們之間的的關系為f=lαFβργ，在國際單位制中：s-1=mα（kg·ms-2）β（kgm）γ，即s-1=mα+β-γkgβ+γs-2β.應有-2β=-1、α+β-γ=0、β+γ=0，解得α=-1、β=12、γ=-12.所以f∝l-1F12ρ-12，寫成f=klFρ （k是沒有量綱的系數）.

二、特殊值法

圖1特殊值法指對解取某些特定值，或在某些特殊條件下取得的結果進行分析，并與預期結果、實驗結論等進行比較，從而判斷解的合理性或正確性.

例3 （2011年福建卷，第18題） 如圖1所示，一不可伸長的輕質細繩跨過滑輪后，兩端分別懸掛質量為m1和m2的物體A和B.若滑輪有一定大小，質量為m且分布均勻，滑輪轉動時與繩之間無相對滑動，不計滑輪與軸之間的摩擦.設細繩對A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列四個關于T1的表達式中有一個是正確的，請你根據所學的物理知識，通過一定的分析判斷正確的表達式是（ ）.

A.T1=（m+2m2）m1gm+2（m1+m2） B. T2=（m+2m1）m2gm+4（m1+m2）

C.T1=（m+4m2）m1gm+2（m1+m2） D. T1=（m+4m1）m2gm+4（m1+m2）

解析 用量綱法無法排除任何一項，可以考慮特殊情況求出解的特殊值.比如假定滑輪的質量m=0，則等同我們高中常見的輕滑輪，此時細繩對A和B的拉力大小T1和T2相等均為T.假設m1>m2，A和B一起運動的加速度大小均為a，根據牛頓第二定律分別對A、B有m1g-T=m1a、T-m2g=m2a，聯立解得T=2m1m2gm1+m2.把m=0帶入ABCD四個選項并化簡，發現只有C選項滿足T=2m1m2gm1+m2，故正確選項為C.

解法2 可假定m1=m2=m0，此時A、B恰好受力平衡，繩中的拉力大小T1和T2相等均為T，則T=m0g.把m1=m2=m0帶入ABCD四個選項并化簡，只有C滿足T=m0g，故答案選C.

三、極限法

極限法指根據函數關系式的單調性，判斷解隨某些已知量變化的趨勢，并與預期結果、實驗結論等進行比較，從而判斷解的合理性或正確性.

例4 （2012年安徽卷，第20題） 如圖2所示，半徑為R的圖2 圖3均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為σ，其軸線上任意一點P（坐標為x）的電場強度可以由庫侖定律和電場強度的疊加原理求出，為E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2] ，方向沿x軸.現考慮單位面積帶電量為σ0的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板，如圖3所示.則圓孔軸線上任意一點Q（坐標為x）的電場強度為

A.2πkσ0x（r2+x2）1/2 B. 2πkσ0r（r2+x2）1/2

C.2πkσ0xrD. 2πkσ0rx

解析 當x不變，r增大時，該值應減小，可排除BD；當x不變，r減小時，該值應增大，r=0時該值取某一不是∞的定值，又排除C，故選A.

解法2 由于帶電體表面的電場強度的方向垂直于帶電體表面，無限大均勻帶電平板周圍的電場應是垂直于平板的勻強電場，即電場強度處處相同，都等于R→∞時的電場強度.由題中給出的公式E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2] ，當R→∞可得單位面積帶電量為σ0無限大均勻帶電平板場強為E=2πkσ0 （也可以令x→0時得到）.而單位面積帶電量為σ0的半徑為r的圓板在Q點場強為E′=2πkσ0[1-x（R2+x2）1/2] ，所以Q的合場強EQ=E-E′=2πkσ0x（R2+x2）1/2 .故答案為A.endprint

所謂“超綱”高考題，就是指那些來源于物理競賽或大學普物，超出高中知識求解范圍，卻仍能對解的合理性進行一定的分析和判斷的一類問題.此類問題充分體現了“過程和方法”的目標，很好地考察了學生的科學探究能力和分析推理能力.最早出現在2008年北京高考卷中，后來福建、安徽、全國新課標等高考卷也緊隨其后，命出了一些高質量的此類題目.本文系統地研究了解決此類問題的三種常見方法.

一、量綱法

物理關系式不僅反映了物理量大小之間的關系，也確定了物理量單位間的關系.量綱法就是從解的物理量單位，分析判斷出物理量之間可能合理性的關系式.

例1 （2012年北京卷，第20題） “約瑟夫森結”由超導體和絕緣體制成.若在結兩端加恒定電壓U，則它會輻射頻率為ν的電磁波，且與U成正比，即ν=kU.已知比例系數k僅與元電荷e的2倍和普朗克常量h有關.你可能不了解此現象的機理，但仍可運用物理學中常用的方法，在下列選項中，推理判斷比例系數k的值可能為（ ）.

A.h2e B.2eh C.2he D. 12he

解析 光子的能量公式E=hν，而能量也可表示為對電子做功，即E∝eU，根據以上兩式，可得k=νU∝EhEe∝eh，對比四個選項，只有B選項在量綱上和eh的相同，故正確選項為C.

例2 弦振動頻率于波長、張力以及線密度（弦單位長度的質量）有關，求它們之間的關系.

解析 若弦振動頻率為f，弦長、張力以及線密度分別為l、F和ρ，設它們之間的的關系為f=lαFβργ，在國際單位制中：s-1=mα（kg·ms-2）β（kgm）γ，即s-1=mα+β-γkgβ+γs-2β.應有-2β=-1、α+β-γ=0、β+γ=0，解得α=-1、β=12、γ=-12.所以f∝l-1F12ρ-12，寫成f=klFρ （k是沒有量綱的系數）.

二、特殊值法

圖1特殊值法指對解取某些特定值，或在某些特殊條件下取得的結果進行分析，并與預期結果、實驗結論等進行比較，從而判斷解的合理性或正確性.

例3 （2011年福建卷，第18題） 如圖1所示，一不可伸長的輕質細繩跨過滑輪后，兩端分別懸掛質量為m1和m2的物體A和B.若滑輪有一定大小，質量為m且分布均勻，滑輪轉動時與繩之間無相對滑動，不計滑輪與軸之間的摩擦.設細繩對A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列四個關于T1的表達式中有一個是正確的，請你根據所學的物理知識，通過一定的分析判斷正確的表達式是（ ）.

A.T1=（m+2m2）m1gm+2（m1+m2） B. T2=（m+2m1）m2gm+4（m1+m2）

C.T1=（m+4m2）m1gm+2（m1+m2） D. T1=（m+4m1）m2gm+4（m1+m2）

解析 用量綱法無法排除任何一項，可以考慮特殊情況求出解的特殊值.比如假定滑輪的質量m=0，則等同我們高中常見的輕滑輪，此時細繩對A和B的拉力大小T1和T2相等均為T.假設m1>m2，A和B一起運動的加速度大小均為a，根據牛頓第二定律分別對A、B有m1g-T=m1a、T-m2g=m2a，聯立解得T=2m1m2gm1+m2.把m=0帶入ABCD四個選項并化簡，發現只有C選項滿足T=2m1m2gm1+m2，故正確選項為C.

解法2 可假定m1=m2=m0，此時A、B恰好受力平衡，繩中的拉力大小T1和T2相等均為T，則T=m0g.把m1=m2=m0帶入ABCD四個選項并化簡，只有C滿足T=m0g，故答案選C.

三、極限法

極限法指根據函數關系式的單調性，判斷解隨某些已知量變化的趨勢，并與預期結果、實驗結論等進行比較，從而判斷解的合理性或正確性.

例4 （2012年安徽卷，第20題） 如圖2所示，半徑為R的圖2 圖3均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為σ，其軸線上任意一點P（坐標為x）的電場強度可以由庫侖定律和電場強度的疊加原理求出，為E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2] ，方向沿x軸.現考慮單位面積帶電量為σ0的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板，如圖3所示.則圓孔軸線上任意一點Q（坐標為x）的電場強度為

A.2πkσ0x（r2+x2）1/2 B. 2πkσ0r（r2+x2）1/2

C.2πkσ0xrD. 2πkσ0rx

解析 當x不變，r增大時，該值應減小，可排除BD；當x不變，r減小時，該值應增大，r=0時該值取某一不是∞的定值，又排除C，故選A.

解法2 由于帶電體表面的電場強度的方向垂直于帶電體表面，無限大均勻帶電平板周圍的電場應是垂直于平板的勻強電場，即電場強度處處相同，都等于R→∞時的電場強度.由題中給出的公式E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2] ，當R→∞可得單位面積帶電量為σ0無限大均勻帶電平板場強為E=2πkσ0 （也可以令x→0時得到）.而單位面積帶電量為σ0的半徑為r的圓板在Q點場強為E′=2πkσ0[1-x（R2+x2）1/2] ，所以Q的合場強EQ=E-E′=2πkσ0x（R2+x2）1/2 .故答案為A.endprint

所謂“超綱”高考題，就是指那些來源于物理競賽或大學普物，超出高中知識求解范圍，卻仍能對解的合理性進行一定的分析和判斷的一類問題.此類問題充分體現了“過程和方法”的目標，很好地考察了學生的科學探究能力和分析推理能力.最早出現在2008年北京高考卷中，后來福建、安徽、全國新課標等高考卷也緊隨其后，命出了一些高質量的此類題目.本文系統地研究了解決此類問題的三種常見方法.

一、量綱法

物理關系式不僅反映了物理量大小之間的關系，也確定了物理量單位間的關系.量綱法就是從解的物理量單位，分析判斷出物理量之間可能合理性的關系式.

例1 （2012年北京卷，第20題） “約瑟夫森結”由超導體和絕緣體制成.若在結兩端加恒定電壓U，則它會輻射頻率為ν的電磁波，且與U成正比，即ν=kU.已知比例系數k僅與元電荷e的2倍和普朗克常量h有關.你可能不了解此現象的機理，但仍可運用物理學中常用的方法，在下列選項中，推理判斷比例系數k的值可能為（ ）.

A.h2e B.2eh C.2he D. 12he

解析 光子的能量公式E=hν，而能量也可表示為對電子做功，即E∝eU，根據以上兩式，可得k=νU∝EhEe∝eh，對比四個選項，只有B選項在量綱上和eh的相同，故正確選項為C.

例2 弦振動頻率于波長、張力以及線密度（弦單位長度的質量）有關，求它們之間的關系.

解析 若弦振動頻率為f，弦長、張力以及線密度分別為l、F和ρ，設它們之間的的關系為f=lαFβργ，在國際單位制中：s-1=mα（kg·ms-2）β（kgm）γ，即s-1=mα+β-γkgβ+γs-2β.應有-2β=-1、α+β-γ=0、β+γ=0，解得α=-1、β=12、γ=-12.所以f∝l-1F12ρ-12，寫成f=klFρ （k是沒有量綱的系數）.

二、特殊值法

圖1特殊值法指對解取某些特定值，或在某些特殊條件下取得的結果進行分析，并與預期結果、實驗結論等進行比較，從而判斷解的合理性或正確性.

例3 （2011年福建卷，第18題） 如圖1所示，一不可伸長的輕質細繩跨過滑輪后，兩端分別懸掛質量為m1和m2的物體A和B.若滑輪有一定大小，質量為m且分布均勻，滑輪轉動時與繩之間無相對滑動，不計滑輪與軸之間的摩擦.設細繩對A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列四個關于T1的表達式中有一個是正確的，請你根據所學的物理知識，通過一定的分析判斷正確的表達式是（ ）.

A.T1=（m+2m2）m1gm+2（m1+m2） B. T2=（m+2m1）m2gm+4（m1+m2）

C.T1=（m+4m2）m1gm+2（m1+m2） D. T1=（m+4m1）m2gm+4（m1+m2）

解析 用量綱法無法排除任何一項，可以考慮特殊情況求出解的特殊值.比如假定滑輪的質量m=0，則等同我們高中常見的輕滑輪，此時細繩對A和B的拉力大小T1和T2相等均為T.假設m1>m2，A和B一起運動的加速度大小均為a，根據牛頓第二定律分別對A、B有m1g-T=m1a、T-m2g=m2a，聯立解得T=2m1m2gm1+m2.把m=0帶入ABCD四個選項并化簡，發現只有C選項滿足T=2m1m2gm1+m2，故正確選項為C.

解法2 可假定m1=m2=m0，此時A、B恰好受力平衡，繩中的拉力大小T1和T2相等均為T，則T=m0g.把m1=m2=m0帶入ABCD四個選項并化簡，只有C滿足T=m0g，故答案選C.

三、極限法

極限法指根據函數關系式的單調性，判斷解隨某些已知量變化的趨勢，并與預期結果、實驗結論等進行比較，從而判斷解的合理性或正確性.

例4 （2012年安徽卷，第20題） 如圖2所示，半徑為R的圖2 圖3均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為σ，其軸線上任意一點P（坐標為x）的電場強度可以由庫侖定律和電場強度的疊加原理求出，為E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2] ，方向沿x軸.現考慮單位面積帶電量為σ0的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板，如圖3所示.則圓孔軸線上任意一點Q（坐標為x）的電場強度為

A.2πkσ0x（r2+x2）1/2 B. 2πkσ0r（r2+x2）1/2

C.2πkσ0xrD. 2πkσ0rx

解析 當x不變，r增大時，該值應減小，可排除BD；當x不變，r減小時，該值應增大，r=0時該值取某一不是∞的定值，又排除C，故選A.

解法2 由于帶電體表面的電場強度的方向垂直于帶電體表面，無限大均勻帶電平板周圍的電場應是垂直于平板的勻強電場，即電場強度處處相同，都等于R→∞時的電場強度.由題中給出的公式E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2] ，當R→∞可得單位面積帶電量為σ0無限大均勻帶電平板場強為E=2πkσ0 （也可以令x→0時得到）.而單位面積帶電量為σ0的半徑為r的圓板在Q點場強為E′=2πkσ0[1-x（R2+x2）1/2] ，所以Q的合場強EQ=E-E′=2πkσ0x（R2+x2）1/2 .故答案為A.endprint