常利息力下稀疏風(fēng)險(xiǎn)模型的生存概率

王貴紅,趙金娥

(1.玉溪農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 云南 玉溪 653106；2.紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 蒙自 661199)

風(fēng)險(xiǎn)理論不僅是當(dāng)前保險(xiǎn)業(yè)、精算界研究的重要課題，而且也是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支，其主要研究和處理保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型，并從定量的角度分析保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的安全性.生存概率作為其中一個(gè)核心課題，在風(fēng)險(xiǎn)理論的研究中有著舉足輕重的地位[1-2].經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型由瑞典精算師Lundberg[3]于1903年創(chuàng)立,它在理論上為風(fēng)險(xiǎn)模型奠定了重要的思路,但作為一種理論模型由于其在應(yīng)用上的方便及在數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)單性,學(xué)者們對(duì)它的研究已經(jīng)比較深入和完善.在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中,總是假定保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入是時(shí)間的線性函數(shù),但在保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)營(yíng)中,經(jīng)常要根據(jù)以往的索賠經(jīng)驗(yàn)對(duì)保費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整,以致于在未來(lái)某個(gè)固定的時(shí)期內(nèi)保險(xiǎn)公司收到的保險(xiǎn)費(fèi)是隨機(jī)的.根據(jù)這一實(shí)際情況,文獻(xiàn)[4-7]研究了保費(fèi)收入是復(fù)合Poisson過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型,并假設(shè)保險(xiǎn)公司的保單到達(dá)過(guò)程與索賠計(jì)數(shù)過(guò)程是相互獨(dú)立的.事實(shí)上,由于保險(xiǎn)公司所賣出的保單數(shù)越多,其發(fā)生的索賠次數(shù)也應(yīng)更多,因此保險(xiǎn)公司的索賠計(jì)數(shù)過(guò)程與保單到達(dá)過(guò)程之間應(yīng)具有某種相依性.此外,現(xiàn)實(shí)生活中,貨幣利息強(qiáng)度總是存在且對(duì)保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)也有一定的影響,因此研究常利息力下稀疏風(fēng)險(xiǎn)模型的生存概率是非常有現(xiàn)實(shí)意義的.基于以上事實(shí),考慮一類常利息力下的風(fēng)險(xiǎn)模型,其中保單到達(dá)過(guò)程為復(fù)合Poisson過(guò)程,而索賠的計(jì)數(shù)過(guò)程為保單到達(dá)過(guò)程的p-稀疏過(guò)程.利用盈余過(guò)程的馬氏性及概率論、隨機(jī)過(guò)程等學(xué)科的理論方法,得到了模型在有限時(shí)間內(nèi)和無(wú)限時(shí)間內(nèi)生存概率滿足的積分-微分方程,并在保費(fèi)額及索賠額均服從指數(shù)分布時(shí)得到了有限時(shí)間內(nèi)生存概率的微分方程.

1 模型引入

定義1 設(shè)(Ω,F,P)是一包含本文所有隨機(jī)變量(隨機(jī)過(guò)程)的完備概率空間,則對(duì)u≥0,t≥0,定義保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余為：

(1)

其中：

1)δ≥0為常利息力,常數(shù)u表示保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金；

2) {M(t),t≥0}是參數(shù)為λ>0的Poisson過(guò)程,表示保險(xiǎn)公司在(0,t]時(shí)間內(nèi)收到的保單數(shù)；

3) {Yk,k≥1}是一獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列,表示保險(xiǎn)公司第k次收取的保險(xiǎn)費(fèi),其分布函數(shù)為G(y)；

4) {N(t),t≥0}是{M(t),t≥0}的一個(gè)p-稀疏過(guò)程,即{N(t),t≥0}是強(qiáng)度為λp(0

5) {Xk,k≥1}是一獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列,表示保險(xiǎn)公司第k次的索賠額,其分布函數(shù)為F(x)；

6) {Xk,k≥1},{Yk,k≥1}和{M(t),t≥0}相互獨(dú)立.

定義2 記T=inf{t≥0,Uδ(t)<0},表示保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)時(shí)刻,則在初始準(zhǔn)備金為u的條件下,分別定義保險(xiǎn)公司的最終破產(chǎn)概率及在t時(shí)刻之前的破產(chǎn)概率為

ψ(u)=P{T<∞|Uδ(0)=u},ψ(u,t)=P{T

對(duì)應(yīng)的生存概率為Φ(u)=1-ψ(u),Φ(u,t)=1-ψ(u,t)．

2 主要結(jié)果

定理1 風(fēng)險(xiǎn)模型(1)在無(wú)限時(shí)間內(nèi)的生存概率Φ(u)滿足以下積分-微分方程：

(2)

并滿足邊界條件：

Φ(+∞)=1,Φ(0)=0,

證明令h(t)=ueδt-u,則在很小的時(shí)間區(qū)間(0,Δt)內(nèi),由全概率公式及盈余過(guò)程的馬氏性,有

等價(jià)地

上式兩邊同時(shí)除以Δt,并令Δt→0,則有

即

由此可得

由文獻(xiàn)[5]知Φ(+∞)=1,顯然Φ(0)=0,在(2)式中令u→0,得

推論1 若F(x)=1-αe-αx(x≥0),G(y)=1-βe-βy(y≥0),則對(duì)于任何u≥0,Φ(u)滿足下面的微分方程:

uδΦ?(u)+[2δ-λ-uδ(β-α)]Φ″(u)+[(λ-δ)(β-α)-uδαβ]Φ′(u)=0.

并滿足邊界條件

Φ(+∞)=1,Φ(0)=0,

證明將F(x)=1-αe-αx,G(y)=1-βe-βy代入(2)式,有

(3)

由文獻(xiàn)[8]知Φ(u)具有可微性,故對(duì)(3)式兩邊關(guān)于u求導(dǎo),得

(4)

(4)式兩邊再對(duì)u求導(dǎo),有

(5)

由(3)～(5)式,即得

uδΦ?(u)+[2δ-λ-uδ(β-α)]Φ″(u)+[(λ-δ)(β-α)-uδαβ]Φ′(u)=0

定理2 風(fēng)險(xiǎn)模型(1)在有限時(shí)間內(nèi)的生存概率Φ(u,t)滿足下列偏微分-積分方程：

并滿足邊界條件：

Φ(+∞,t)=1,Φ(u,∞)=Φ(u).

證明類似于定義1,有

Φ(u,t)=[1-λΔt+o(Δt)]Φ(u+h(Δt),t-Δt)+

等價(jià)地

上式兩邊同時(shí)除以Δt,并讓?duì)→0,則有

即

參考文獻(xiàn):

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