常利息力下稀疏風險模型的生存概率

王貴紅,趙金娥

(1.玉溪農業職業技術學院 計算機科學系, 云南 玉溪 653106；2.紅河學院 數學學院, 云南 蒙自 661199)

風險理論不僅是當前保險業、精算界研究的重要課題，而且也是數學學科的一個重要分支，其主要研究和處理保險實務中的隨機風險模型，并從定量的角度分析保險公司經營的安全性.生存概率作為其中一個核心課題，在風險理論的研究中有著舉足輕重的地位[1-2].經典風險模型由瑞典精算師Lundberg[3]于1903年創立,它在理論上為風險模型奠定了重要的思路,但作為一種理論模型由于其在應用上的方便及在數學上的簡單性,學者們對它的研究已經比較深入和完善.在經典風險模型中,總是假定保險公司的保費收入是時間的線性函數,但在保險公司的實際運營中,經常要根據以往的索賠經驗對保費率進行調整,以致于在未來某個固定的時期內保險公司收到的保險費是隨機的.根據這一實際情況,文獻[4-7]研究了保費收入是復合Poisson過程的風險模型,并假設保險公司的保單到達過程與索賠計數過程是相互獨立的.事實上,由于保險公司所賣出的保單數越多,其發生的索賠次數也應更多,因此保險公司的索賠計數過程與保單到達過程之間應具有某種相依性.此外,現實生活中,貨幣利息強度總是存在且對保險公司的經營也有一定的影響,因此研究常利息力下稀疏風險模型的生存概率是非常有現實意義的.基于以上事實,考慮一類常利息力下的風險模型,其中保單到達過程為復合Poisson過程,而索賠的計數過程為保單到達過程的p-稀疏過程.利用盈余過程的馬氏性及概率論、隨機過程等學科的理論方法,得到了模型在有限時間內和無限時間內生存概率滿足的積分-微分方程,并在保費額及索賠額均服從指數分布時得到了有限時間內生存概率的微分方程.

1 模型引入

定義1 設(Ω,F,P)是一包含本文所有隨機變量(隨機過程)的完備概率空間,則對u≥0,t≥0,定義保險公司在t時刻的盈余為：

(1)

其中：

1)δ≥0為常利息力,常數u表示保險公司的初始準備金；

2) {M(t),t≥0}是參數為λ>0的Poisson過程,表示保險公司在(0,t]時間內收到的保單數；

3) {Yk,k≥1}是一獨立同分布的非負隨機變量序列,表示保險公司第k次收取的保險費,其分布函數為G(y)；

4) {N(t),t≥0}是{M(t),t≥0}的一個p-稀疏過程,即{N(t),t≥0}是強度為λp(0

5) {Xk,k≥1}是一獨立同分布的非負隨機變量序列,表示保險公司第k次的索賠額,其分布函數為F(x)；

6) {Xk,k≥1},{Yk,k≥1}和{M(t),t≥0}相互獨立.

定義2 記T=inf{t≥0,Uδ(t)<0},表示保險公司的破產時刻,則在初始準備金為u的條件下,分別定義保險公司的最終破產概率及在t時刻之前的破產概率為

ψ(u)=P{T<∞|Uδ(0)=u},ψ(u,t)=P{T

對應的生存概率為Φ(u)=1-ψ(u),Φ(u,t)=1-ψ(u,t)．

2 主要結果

定理1 風險模型(1)在無限時間內的生存概率Φ(u)滿足以下積分-微分方程：

(2)

并滿足邊界條件：

Φ(+∞)=1,Φ(0)=0,

證明令h(t)=ueδt-u,則在很小的時間區間(0,Δt)內,由全概率公式及盈余過程的馬氏性,有

等價地

上式兩邊同時除以Δt,并令Δt→0,則有

即

由此可得

由文獻[5]知Φ(+∞)=1,顯然Φ(0)=0,在(2)式中令u→0,得

推論1 若F(x)=1-αe-αx(x≥0),G(y)=1-βe-βy(y≥0),則對于任何u≥0,Φ(u)滿足下面的微分方程:

uδΦ?(u)+[2δ-λ-uδ(β-α)]Φ″(u)+[(λ-δ)(β-α)-uδαβ]Φ′(u)=0.

并滿足邊界條件

Φ(+∞)=1,Φ(0)=0,

證明將F(x)=1-αe-αx,G(y)=1-βe-βy代入(2)式,有

(3)

由文獻[8]知Φ(u)具有可微性,故對(3)式兩邊關于u求導,得

(4)

(4)式兩邊再對u求導,有

(5)

由(3)～(5)式,即得

uδΦ?(u)+[2δ-λ-uδ(β-α)]Φ″(u)+[(λ-δ)(β-α)-uδαβ]Φ′(u)=0

定理2 風險模型(1)在有限時間內的生存概率Φ(u,t)滿足下列偏微分-積分方程：

并滿足邊界條件：

Φ(+∞,t)=1,Φ(u,∞)=Φ(u).

證明類似于定義1,有

Φ(u,t)=[1-λΔt+o(Δt)]Φ(u+h(Δt),t-Δt)+

等價地

上式兩邊同時除以Δt,并讓Δt→0,則有

即

參考文獻:

[1] 龔日朝.廣義復合Poisson模型下有限時間內的生存概率[J].數學季刊,2003,18(2):134-139.

[2] 王后春.兩個風險模型的生存概率的積分方程[J].哈爾濱理工大學學報,2005,10(5):112-114.

[3] LUNDBERG F I. Approximerad framstallning af sannolikhetsfunktionen: II. Aterforsakring af kollektivrisker[M].Uppsala.,1903.

[4] 趙金娥,王貴紅,龍瑤.理賠次數為復合Poisson-Geometric過程的風險模型[J].西南大學學報:自然科學版,2013,35(3):78-83.

[5] 方世祖,羅建華.雙復合Poisson風險模型[J].純粹數學與應用數學,2006,22(2):271-278.

[6] BOIKOV A V. The Cramer-Lundberg model with stochastic premium process[J]. Theory of Probability & Its Applications, 2003, 47(3): 489-493.

[7] 趙金娥,何樹紅,王貴紅.帶線性紅利和干擾的雙復合Poisson風險模型[J].云南民族大學學報:自然科學版,2010,19(1):24-27.

[8] 張春生,吳榮.關于破產概率函數的可微性的注[J].應用概率統計,2001,17(3):267-275.