靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的多極展開

崔明，崔元順

(1.淮陰工學(xué)院 人事處，江蘇 淮安 223003;2.淮陰師范學(xué)院 物理與電子電氣工程學(xué)院，江蘇 淮安 223300)

0 引言

電磁場(chǎng)中的多極展開方法與內(nèi)容主要涉及靜電場(chǎng)的電勢(shì)、穩(wěn)恒磁場(chǎng)的磁矢勢(shì)及輻射場(chǎng)的推遲勢(shì)等方面，無論是在理論物理研究，還是在工程技術(shù)應(yīng)用中都具有十分重要的地位，例如，在原子結(jié)構(gòu)與光譜學(xué)中，原子核與外場(chǎng)相互作用能級(jí)或光譜的超精細(xì)結(jié)構(gòu)需要考慮原子核的高階極矩表示;在分子物理中，單個(gè)一氧化碳分子、氟化氫分子是純粹的偶極分子代表，二氧化碳即是典型的純粹線形四極分子;在非線性光學(xué)中，需要考慮電偶極矩乃至電多極矩對(duì)外加周期性變化電磁場(chǎng)的非線性響應(yīng)特性;在無線電物理中，各種利用微波技術(shù)的天線發(fā)射與接收、電磁散射與逆散射、測(cè)井技術(shù)、探礦等等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［1－8］。已有文獻(xiàn)表明［9－11］，在涉及電磁場(chǎng)中多極展開問題時(shí)幾乎都是采用勢(shì)函數(shù)的辦法，本文不同于現(xiàn)有文獻(xiàn)，試圖另辟蹊徑，就靜電場(chǎng)問題，直接從電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的疊加原理出發(fā)，著力于研究小區(qū)域中電荷分布在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度的多極展開過程，給出一些新的公式與結(jié)果，為相關(guān)場(chǎng)合下的需要提供參考。

1 電場(chǎng)強(qiáng)度的多極展開

在真空情況下，當(dāng)空間有限區(qū)域V中分布連續(xù)電荷ρ(r')時(shí)，由此電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為［9］

其中，體積分遍及電荷分布的區(qū)域，場(chǎng)源 r'到場(chǎng)點(diǎn) r的位置矢量為 R=r－r'，而距離R=，如圖1所示。

依據(jù)(1)式中被積函數(shù)形式，對(duì)函數(shù)r/R3的每個(gè)直角坐標(biāo)分量分別按照(2)式進(jìn)行處理。令

圖1 物理模型

即

其中，兩點(diǎn)“∶”代表并矢間的二次內(nèi)積。對(duì)于(3)式中的第二部分，因?yàn)?r=er、2xi=exi，有

故矢量和為

其實(shí)，利用關(guān)系r'·(2φ)=(r'·2)φ，(3)式中的第二部分也可以直接由下式給出

同樣地，對(duì)于(3)式中更高階的第三部分，仿效上述運(yùn)算有

化合物 3B08：質(zhì)譜 ESI／MS（negative mode），m／z 273，［M－H］－。 1H NMR（500 MHz，CDCl3，TMS），δ為8.59（s，1H），8.34（d，J＝8.0 Hz，1H），8.16（d，J＝8.0 Hz，1H），7.64（t，J＝8.0 Hz，1H），7.31～7.34（m，2H），7.03（t，J＝8.5 Hz，2H），6.75（br.s，1H，NH），4.62（d，J＝6.0 Hz，2H）。

綜合以上計(jì)算，給出對(duì)應(yīng)于多元函數(shù)標(biāo)量展開(2)式的矢量展開式為

將(7)式代入(1)式，可得電場(chǎng)強(qiáng)度的展開結(jié)果為

其中

2 結(jié)果分析

現(xiàn)在對(duì)(8)式中展開結(jié)果的各主要項(xiàng)進(jìn)行分析與討論，并闡述其物理意義。

若定義體系的電偶極矩矢量為

(14)式即置于坐標(biāo)原點(diǎn)的電偶極矩P在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的靜電場(chǎng)強(qiáng)度。此外，因?yàn)椋士梢詫?14)式改寫為

依據(jù)E=－2φ關(guān)系，不難給出該電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的靜電勢(shì)

對(duì)于(11)式，若定義體系的電四極矩并矢為

故(18)式可以改寫為

借此可以給出該電四極矩產(chǎn)生的靜電勢(shì)為

將(16)式、(20)式等關(guān)系與采用電勢(shì)展開方法所給出的表達(dá)式比較，可見結(jié)果完全一致［9］，表明上述的計(jì)算過程是可靠的。

3 結(jié)束語

本文不同于電勢(shì)函數(shù)的方法，直接以電場(chǎng)強(qiáng)度的積分表達(dá)式(1)式作為出發(fā)點(diǎn)，研究小區(qū)域中電荷分布在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度的多極展開方法，給出其處理過程與技巧。除了(9)式之外，用各階極矩描述電荷分布偏離球?qū)ΨQ的程度，用置于坐標(biāo)原點(diǎn)的各階極矩產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度逐步逼近其真實(shí)的結(jié)果。借助于常見的極矩定義(13)、(17)式，直接給出電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的表示(14)、(18)式。此外，為了考察計(jì)算的可靠性，便于同電勢(shì)展開結(jié)果作比較，文中還給出了與電場(chǎng)強(qiáng)度相對(duì)應(yīng)的電勢(shì)表示式。文中對(duì)展開式每項(xiàng)代表的物理意義進(jìn)行了分析探討，對(duì)于相關(guān)的教學(xué)及應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值.

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