基于B樣條曲面插值誤差控制的內超環面齒輪齒面建模

洪 玫， 姚立綱

(福州大學機械工程學院，福建 福州 350108)

超環面行星蝸桿傳動，如圖1所示，由中心蝸桿、行星蝸輪、內超環面齒輪、行星架以及滾動體組成。超環面行星蝸桿傳動系統具有優良的傳動性能，但這些優良的傳動性能必須以較高的傳動精度來保證。超環面行星蝸桿傳動系統中的關鍵零件中心蝸桿和內超環面齒輪的齒廓都是復雜的空間曲面，在數控加工中很難保證其精度，導致超環面行星蝸桿減速器在運行過程中存在噪音。國內外學者對超環面行星蝸桿傳動的嚙合理論[1-2]，加工制造[3-4]、承載能力[5]和摩擦、磨損[6-11]等方面進行了深入研究。但是，對于提高這種系統的傳動精度，降低其運行過程中存在的噪音研究涉及較少。高精度的三維實體模型是保證數控加工精度的前提條件，因此能否獲得精確的中心蝸桿和內超環面齒輪實體模型尤其是精確的齒面模型是解決該問題的關鍵。

圖1 超環面行星蝸桿傳動

以往內超環面齒輪和中心蝸桿的實體模型主要采用商用三維建模軟件來建立[12]。該方法是利用螺旋齒面特定截面齒廓(法面齒廓)根據一定的路徑(螺旋線)掃描生成內超環面齒輪和中心蝸桿齒面的。內超環面齒輪和中心蝸桿齒面的法面齒廓是圓，但是在其他任何平面內，其齒廓卻是一條空間曲線，因此，采用該種方法生成的齒面模型存在理論誤差。文獻[13]利用matlab軟件提取內超環面齒輪和中心蝸桿螺旋齒面坐標數據點，并建立了內超環面齒輪和中心蝸桿的離散模型。該方法采用密集采樣的方法來提高模型的精度，但是隨著坐標數據點數目的增加，計算量也將成倍的增加，而且如何確定坐標數據點的數目以及誤差分析計算方法在文中也未有提及。

曲面插值重構作為評定自由曲面零件精度的一項關鍵技術在各領域中有著廣泛的應用，越來越受國內外學者的重視。Zhang和Molenbroek[14]使用B樣條曲面重建人體頭部的三維模型，運用激光掃描技術能對該模型進行有效地測量，為進一步研究開發計算機輔助人體工程學設計工具奠定了基礎。肖思來等[15]應用B樣條曲面插值算法建立深孔麻花鉆變參數螺旋槽三維精確實體模型。張彥欽和張光輝[16]運用B樣條重構蝸輪齒面二次接觸區域，由此獲得的空間曲面精度高且易于編程實現。Yoo[17]提出基于B樣條插值的人類骨骼生物CAD模型的三維重建，該方法創建的骨骼模型適合骨支架設計，有限元分析和醫療診斷。

為提高內超環面齒輪和中心蝸桿螺旋齒面的精度，以內超環面齒輪螺旋齒面建模為例，提出一種基于B樣條曲面插值誤差控制的內超環面齒輪螺旋齒面建模方法，該方法根據提取的內超環面齒輪螺旋齒面坐標數據點，運用雙三次B樣條曲面插值重構曲面，通過插值誤差分析，根據誤差分別特點，對型值點網格不斷細分、最終可確定合理的型值采樣點數量。

1 B樣條曲面插值重構內超環面齒輪螺旋齒面

利用B樣條曲面插值內超環面齒輪螺旋齒面的過程如下：首先根據內超環面齒輪螺旋齒面方程提取q向和w向截面線采樣點，再根據采樣點反求B樣條插值曲面的控制點，最后利用所求的控制點構建內超環面齒輪螺旋齒面模型并進行誤差計算和分析。

1.1 內超環面齒輪齒面型值點采樣

圖2所示為剖視的內超環面齒輪三維實體模型。它由螺旋齒面、旋轉曲面和兩個端面組成。

圖2 剖視的內超環面齒輪三維實體模型和單個螺旋齒面

內超環面齒輪螺旋齒面是復雜的空間曲面，其數學模型可由行星蝸輪與內超環面齒輪的嚙合關系獲得。內超環面齒輪的螺旋齒面是由行星蝸輪齒面的運動包絡而成的，行星蝸輪的球形輪齒是內超環面齒輪齒廓的包絡母面。

圖3 行星蝸輪與內超環面齒輪嚙合坐標系

圖3表示了行星蝸輪和內超環面齒輪的嚙合情況[12]。和分別為內超環面齒輪和行星蝸輪的動坐標系，φ3、φ2分別為螺旋齒面和行星蝸輪齒面相對于它們的靜參考坐標系S3、S2的轉角。

由齒輪嚙合原理[18]，根據兩共軛齒面的嚙合方程和嚙合函數可以推導出內超環面齒輪螺旋線方程如下：

式(1)～(3)中，r2、i23及a0都是已知常數，u、v均為滾珠球面參數，M3′2′是根據行星蝸輪與內超環面齒輪嚙合坐標系所得的坐標變換矩陣[12]。當v在取值范圍[-π/2,π/2]之間遍歷時，螺旋線簇便構成了內超環面齒輪螺旋齒面。采樣時，把螺旋線作為w向截面線，把與內超環面齒輪端面平行的截平面(如圖4)與螺旋齒面相交所得的截交線作為q向截面線，q向與w向截面線的交點，即為螺旋齒面型值點(如圖5)。若m條q向截面線與n條w向截面線求交，可獲得m×n個齒面型值點Pi,j(i=1,…,m;j=1,…,n)。這一過程稱為螺旋齒面型值點采樣。

圖4 截平面位置

圖5 螺旋齒面型值點采樣

1.2 內超環面齒輪齒面插值重構

根據上述方法提取的型值點陣分布比較均勻，可考慮采用雙三次均勻B樣條曲面插值重構內超環面齒輪齒面。為了克服雙三次均勻B樣條曲面不能插值多邊形網格的四個角點的缺點，在兩節點矢量的兩端取四重節點構造基函數。

1.2.1 雙三次均勻B樣條曲面的形成

雙三次均勻B樣條曲面片由包含16個頂點的特征網格Vi,j(i=1,…,4;j=1,…,4)定義，網格Vi,j的任意行或任意列都構成一個特征多邊形，由該曲面片的形成過程，可寫出雙三次均勻B樣條曲面片的方程為：

式中:U=[s3s2s1]，W=[t3t2t1]，Bq，Bw為與控制頂點網格V對應的四重節點B樣條基函數[19]。當s和t在[0,1]之間遍歷時，就可得到一張雙三次均勻B樣條曲面片。

1.2.2 反求插值曲面控制點

給定自由端點條件，以提取的內超環面齒輪齒面型值點作依據，反求多邊形網格。根據式(3)中v的取值范圍[-π/2,π/2]，將此區間分成m-1個離散角度的間隔，這樣內超環面齒輪螺旋齒面就被離散成m條接觸線，如圖6所示。

圖6 螺旋齒面型值點采樣

若用n個截平面與齒面m條接觸線求交，可獲得m×n個離散數據點，即型值點網格為Pi,j(i=1,…,m;j=1,…,n)，其中m和n分別為q向和w向型值點數，則所求的多邊形頂點網格應為VI,J(I=1,…,m+2;J=1,…,n+2)，其算法如下：

(1) 計算n個q向多邊形

由式(5)～(6)可求得n個q向多邊形，其頂點網格為VI,J(I=1,…,m+2;J=1,…,n)，令QI,J=VI,J。

(2) 計算m+2個w向多邊形

由式(7)～(8)可求得m+2個w向多邊形，并具有n+2個頂點，由其構成多邊形網格為VI,J(I=1,…,m+2;J=1,…,n+2)。由該網格定義的雙三次均勻B樣條曲面即可插值給定的m×n個型值點。

1.2.3 插值誤差計算

根據上述方法，以6條螺旋線和6個截平面相交為例，根據表1給出的內超環面齒輪螺旋齒面算例參數，在matlab中提取內超環面齒輪螺旋齒面m×n=6×6個齒面信息點作為型值點陣來構造插值曲面。

表1 算例參數

根據式(5)～(8)反求后得到8×8個頂點的控制多邊形網格V88(I=1,…,8;J=1,…,8)，如圖7所示。

圖7 控制多邊形網格

根據這8×8=64個控制頂點由式(4)可求得5×5=25張曲面片，完成內超環面齒輪螺旋齒面的插值計算。插值計算過程中最關鍵的是四重節點B樣條基函數Bq，Bw的選取。Bq的值取決于曲面沿q向的總曲面片數和該曲面片沿q向的序號[19]，Bw的值取決于曲面沿w向的總曲面片數和該曲面片沿w向的序號。此算例中q向和w向的總曲面片數均為5，25張B樣條曲面片可表示為Pq,w(q=1,2,3,4,5;w=1,2,3,4,5)。以P2,4這張B樣條曲面片為例，根據式(4)，方程中的控制頂點網格V和基函數Bq，Bw如下[19]：

為了計算插值曲面與理論齒面之間的誤差，取理論齒面網格中間點到相應插值曲面片中間點的距離作為誤差來分析。

圖8所示為6×6理論齒面網格局部放大圖，e1，e2，e3，e4，e5，e6和b1，b2，b3，b4，b5，b6是理論齒面上的型值點，以網格e3b3b4e4為例，只要在兩條接觸線e3b3和e4b4中間插入一條接觸線c1c2，在兩條截交線e3e4和b3b4中間插入一條截交線l1l2，c1c2和l1l2的交點即為理論齒面網格的中間點，其坐標為(168.872,-35.2821,36.0)。

圖8 6×6理論齒面網格(局部放大)

圖9所示為B樣條插值重構6×6型值點曲面片局部放大圖，根據式(4)，當s和t在[0,1]之間遍歷時，即可獲得B樣條插值曲面片。因此只要當s和t都取0.5時，可獲得型值點網格e3b3b4e4對應的插值曲面片中間點的坐標(168.1911,-35.2509,36.0)。

圖9 B樣條插值曲面片(局部放大)

表2列出了m×n=6×6時25個插值曲面片中間點插值誤差計算的結果。

表2 網格中間點插值誤差計算結果

根據表2中的數據可看出，最大插值誤差存在于螺旋齒面的上下兩條邊界處，即第1張曲面片和第25張曲面片的插值誤差是最大的且數值相等。當螺旋齒面型值點m×n=30×30和m×n=60×60時，采用相同的方法，計算得到最大插值誤差分別為0.0444和0.0119，由此可見，網格間距越小，插值誤差越小，插值曲面越接近理論齒面。

2 型值點網格細化建模方法

根據上述插值誤差分析的結果可知，型值采樣點的數目越多，插值曲面的精度也越高，可以采用密集采樣的方法來提高螺旋齒面模型的精度，但是型值點的數目該如何確定。針對此問題，以表2中插值誤差的計算結果作為依據，提出一種齒面型值點網格細化建模方法。由表2的數據可以看出最大插值誤差位于插值曲面的第一張曲面片上，為了減小插值誤差，可以將該曲面片對應的型值點網格細化，然后重新構造插值曲面。

型值點網格細化建模方法的流程如圖10所示：

圖10 型值點網格細化建模方法流程圖

具體建模步驟如下：

(1) 選用盡可能少的型值點來插值一張曲面。由于運用雙三次均勻B樣條曲面進行曲面插值重構至少需要16個型值點，因此采用4條接觸線與4條截交線相交所提取的m×n=4×4個數據點作為原始型值點陣，如圖11所示。

(2) 運用雙三次均勻B樣條曲面構建初始插值曲面并計算初始最大插值誤差，方法如前所述。

(3) 最大插值誤差位于插值曲面的第一張曲面片上，因此可考慮先將第一個型值點網格細化。

圖11 4×4齒面型值點網格

圖12 第一個型值點網格圖和網格細化

圖12(a)所示為第一個型值點網格放大圖。網格細化的原則是在第一個型值點網格的兩條接觸線g1h1和g2h2之間插入兩條接觸線，在兩條截交線g1g2和h1h2之間插入兩條截交線，由此可以重新獲得m×n=4×4個數據點作為新的型值點陣，如圖12(b)所示，然后運用雙三次均勻B樣條曲面構造一張新的插值曲面，計算最大插值誤差，最大插值誤差仍位于新插值曲面的第一張曲面片中，并將其與給定的誤差閾值進行比較。

(4) 比較的結果可能出現兩種情況：第一種情況，計算出的最大插值誤差小于給定的誤差閾值，說明插值曲面的精度已經滿足要求，也就是說網格細化的數量足夠，只要將其余8個型值點網格細化，細化的網格數量與第一個網格相同即可，細化后的網格數量為34。由此可獲得一組1010m×n=×新的型值點陣，用此型值點陣構建的插值曲面滿足給定的精度要求。

第二種情況，如果計算出的最大插值誤差大于給定的誤差閾值，說明插值曲面的精度還未滿足要求，也就是說網格細化的數量不夠，則重復步驟(3)直到最大插值誤差小于給定的誤差閾值為止。通過對型值點網格的不斷細化，細化的網格數量為32r，r與循環的次數有關，最終可確定一組m×n=(3r+1)×(3r+1)的型值點陣，用該型值點陣插值重構的內超環面齒輪螺旋曲面可滿足給定的精度要求。表3中給出了不同型值點數量最大插值誤差的計算結果。

表3 不同型值點數量最大插值誤差的計算結果

根據上述齒面型值點網格細化方法可確定合理的型值點數目，當m×n=82×82時，用雙三次均勻B樣條曲面對此型值點陣進行插值重構，最大的插值誤差為0.0055 mm。將該型值點陣導入三維建模軟件中，即可獲得內超環面齒輪螺旋齒面模型。為了驗證此方法的可行性，建立了單個螺旋齒面模型(如圖13所示)，并進行了數控加工(如圖14所示)。對加工后的實體進行了表面粗糙度的測量，測量結果如圖15所示，表面粗糙度Ra的數值為0.005897 mm，此結果與最大插值誤差的數值近似，可以說明此建模方法是可行的。

圖13 單個螺旋齒面模型

圖14 數控加工實體

圖15 表面粗糙度測量數據

3 結 論

內超環面齒輪形狀的特殊性和齒廓的復雜性給數控加工帶來了困難，加工精度很難保證。本文提出根據內超環面齒輪齒面螺旋線方程，運用截平面法提取型值點陣，采用雙三次均勻B樣條插值方法，計算理論齒面網格中間點到相應插值曲面片中間點的距離，將此距離作為插值誤差進行分析。通過誤差分析，確定最大插值誤差所在位置。通過最大插值誤差與給定誤差閾值的比較，確定網格細化的次數，最終獲得一組型值點陣，插值重構得到滿足精度要求的內超環面齒輪螺旋齒面模型。運用此方法在獲得高精度的內超環面齒輪齒面模型的同時合理地確定了型值點的數目。運用B樣條插值重構曲面，可通過不斷修正多邊形網格頂點來調整曲面形狀，最終獲得一張滿意的齒廓曲面，這也為內超環面齒輪齒廓的修形提供了思路和手段。

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