金屬鍛造重復過程的輸出反饋控制

齊跡，房漢雄

（齊齊哈爾大學通信與電子工程學院，黑龍江齊齊哈爾161006）

重復過程是具有較強的工程實際背景的二維線性系統[1]，在煤礦開采，金屬鍛造中已有重要的應用[2]，重復過程的控制理論已經成為迭代學習控制算法分析和綜合的一個重要基礎[3]。該過程的特性在于它是由一系列重復動作構成，這種動作在一個固定的有限時間內動態進行，并且每一次動作的輸出結果又作用于下一次動作，對下一次動作的輸出結果產生影響。

線性重復過程具有二維系統的結構，但連續線性重復過程在一個方向上是離散的，在另一個方向上卻是連續時間的。此外，重復過程每一次動作在有限時間內動態進行的特點又區別于一般的二維線性系統，因而不能直接利用標準系統理論來解決線性重復過程的控制問題。為了解決這個問題，Rogers等提出了線性重復過程的穩定性理論[4]。近年來，基于線性矩陣不等式方法[5]對重復過程進行研究出現了一些有益的成果，文獻[6]研究了其穩定性問題；文獻[7-8]研究了其H∞控制問題；文獻[9]研究了其L2-L∞濾波問題；文獻[10]研究了其H∞模型降階問題。

在許多實際問題中，系統的狀態往往是不能直接測量的，因此，用輸出反饋來控制線性重復過程，以使得閉環過程穩定更具有實際意義。文中應用Lyapunov函數及線性矩陣不等式技術研究了金屬鍛造重復過程的輸出反饋控制問題，給出了輸出反饋控制器設計方法，得出了控制器存在的充分條件，并將控制器的設計轉化為一個凸優化的求解問題。文章最后以數值算例驗證了所提出的輸出反饋控制設計方法的可行性。

1 金屬鍛造過程的建模

金屬鍛造是非常普通的工業過程，工件是在通過兩個輥碎機之后發生變形的，其簡單的示意圖如圖1所示。其中工件從左向右運動，工件左邊的厚度用yk-1（t），再經過鍛壓之后其厚度變為yk（t）。

圖1 金屬鍛造過程Fig.1 Metal rolling process

圖2給出了一個較簡單的金屬鍛造的線性模型，圖中各個部分說明如下：

Fm：外部電機施加的壓力；Fs：彈簧產生的力；M：吊錘的質量；λ1：彈簧系數；λ2：金屬壓條的強度系數；金屬壓條與鍛造機械的組合強度系數

圖2 金屬鍛造的簡單線性模型Fig.2 Simple linear model of metal rolling process

從圖2可以建立如下動力學方程：

其中y（t）代表吊錘下降的長度（如圖2所示）。

基于（1）-（3），可以建立如下的動態方程：

對式（4）進行適當的離散化，并設設采樣周期為T，便可得到

我們設t=pT，yk+1（p）=yk+1，式（5）可以轉化為

其中xk（p）=[yk（p-1）y（p-2）yk-1（p-1）yk-1（p-2）]T，uk（p）=FM（p）

B1=a3，B2=b

可以看出，方程（7）為標準的離散線性重復過程的動態方程，其中xk（p）為過程的狀態向量，yk（p）為過程的剖面向量，uk（p）為控制輸入。

2 輸出反饋控制器的設計

針對離散線性重復過程（7）設計輸出反饋控制器需要滿足兩個條件：

1）閉環過程（13）沿通道穩定問題。

2）設計控制器，推導控制器存在的充分條件，求出控制器參數矩陣，使閉環過程（13）沿通道穩定。

現在我們要設計適當的控制器，使得閉環過程沿通道穩定。設計如下的輸出反饋控制器：

其中：K1，K2為待設計的輸出反饋控制器的增益矩陣。

將（8）代入（7）式得：

令：

此時閉環過程的方程為：

重寫（10）得：

2.1 閉環過程（11）的穩定性

本節我們分析閉環過程（11）的穩定性。下面的定理將給出閉環過程（11）沿通道穩定的充分條件。

定理1閉環過程（11）沿通道穩定的充分條件是存在矩陣P＞0，Q＞0，使得如下線性矩陣不等式組成立：

證明：建立閉環過程（11）沿通道穩定的條件。選取如下的Lyapunov函數：

其中：

這里P＞0和Q＞0為待定的矩陣，考慮如下的差分：

沿閉環過程Σ可得：

因此，

其中：ηk（p）=[xTk（p）yT

k-1（p）]T，

利用Schur補引理，LMI（15）式暗示Π1＜0，所以對所有的有ΔV（k，p）＜0，根據Lyapunov穩定性定理可知，閉環過程（11）沿通道是穩定的。定理1得證。

2.2 控制器求解

本節我們給出金屬鍛造重復過程的輸出反饋控制器的求解方法。

定理2考慮離散線性重復過程（7），則存在形如（8）式的控制器，使閉環過程（11）沿通道穩定的充分條件為存在矩陣變量R＞0，S＞0，X1＞0和X2＞0，使如下線性矩陣不等式成立：

證明：用矩陣diag{r-1，S-1，R-1，S-1}對式（15）進行全等變換，并令P=R-1，Q=S-1得

考慮式（12），同時令X1=LR，X2=K贊2S，BP=PB，可以得到（20）式，因此，式（13）是保證閉環過程（11）沿通道穩定的輸出反饋控制器。定理2得證。

3 仿真研究

這里，系統的參數給定為λ1=600，λ2=2000，M=100，T=0.1，從而可計算出λ=461.54以及如下的矩陣：

因此，通過求解線性矩陣不等式（20）可得：

考慮式（13），進而可以求得

4 結束語

本章對金屬鍛造過程進行離散線性重復過程的建模，并對其進行輸出反饋控制器的設計，最后用數字軟件進行求解，結果表明該設計合理。從而說明重復過程理論具有較強的實際應用背景，為工程實際提供了較好的借鑒方法。

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