解拋物型方程的一個新的高精度隱格式

詹涌強，張傳林

（1.華南理工大學廣州學院計算機工程學院，廣州510800；2.暨南大學數學系，廣州510632）

在滲流、擴散、熱傳導等領域中經常會遇到求解拋物型方程的問題.在一維的情形，其模型為初邊值問題

對問題（1）的求解，有限差分法是解決此類問題的常用方法，常見的差分格式［1－2］，如古典隱格式，Crank－Nicolson格式和Dufort－Frankel格式等，雖都是絕對穩定的，但它們的截斷誤差較低.前兩者分別是O（τ＋h2），O（τ2＋h2）；后者為當τ＝h時還失去了相容性.對上述問題的改進，目前已經有了許多好的研究成果［3－7］，在這些研究成果中，有一些高精度的差分格式，如文獻［6］給出了一族高精度恒穩格式，格式的截斷誤差達O（τ2＋h6）.文獻［7］也構造了一個截斷誤差達O（τ4＋h4）的高精度隱格式，穩定性條件為0＜r≤1／，范圍較小.本文則利用待定參數法構造了一個新的高精度隱式格式，格式的截斷誤差亦達到了O（τ4＋h4），同時證明了當r＞1／12，格式是穩定的.與文獻［7］相比，r的取值范圍更大了.

1 差分近似

先建立u（x，t）在節點（xj，tn＋1）處對t的一階偏導數的一個近似表達式，其中xj＝jh，tn＝nτ，并令＝u（xj，tn），由Taylor展開，有

可得

為方便起見，記差商

2 差分格式的建立

對方程（1）建立如下的差分格式：

其余類推.ci（i＝1，…，6）為待定參數.

將（2）式中各節點上u的值在節點（jh，nτ）處作Taylor展開，并利用方程（1）整理可得

為了使格式（2）的截斷誤差達到O（τ4＋h4），須滿足下面方程組：

將所得各值代入（2）式，可得截斷誤差為O（τ4＋h4）的一個隱式格式

3 穩定性和收斂性

利用Fourier分析法，可算出格式（4）的傳播矩陣為：

傳播矩陣G（s）的特征方程為

引理1［8］特征方程（5）的根滿足｜λ1，2｜≤1的充要條件是

引理2［8］差分格式（4）穩定，即矩陣族Gn（s）（s∈［0，1］，n＝1，2，…）一致有界的充要條件是

1）｜λ1，2｜≤1（λ1，2是方程（5）的兩個根）；

首先考慮條件2），由于g21＝1，所以（）是空集，故條件（2）成立的充要條件是使1－／4＝＋4g12＝0成立的s或者不存在，或者不屬于區間［0，1］.當g12≠－1時，使該等式成立的s不存在，再由條件（1）和式（6）知，格式（4）穩定的條件為－1＋g12≤g11≤1－g12＜2.

由g11≤1－g12得

為確定起見，不妨假定

上式成立的一個充分條件是

又由1－g12＜2和（8）、（9）兩式可得

該式成立的一個充分條件是

再由－1＋g12≤g11和（8）、（9）兩式得

上式成立一個充分條件是

4 數值例子

考慮擴散方程

利用格式（4）求數值解，并與精確解進行比較.

表1 格式（4）數值解與精確解的比較Tab.1 Comparing the difference scheme（4）'s solution with the precise solution

由表中看出，對所取的r，差分格式（4）的解與精確解均有很好的吻合，這與理論分析完全一致.

［1］ 陸金甫，關 治.偏微分方程數值解法［M］.北京：清華大學出版社，2010：82－85.

［2］ 戴嘉尊，邱建賢.微分方程數值解法［M］.南京：東南大學出版社，2008：47－56，85－87.

［3］ 詹涌強，譚志明.求解拋物型方程的一個高精度隱格式［J］.西南大學學報：自然科學版，2013，35（11）：81－85.

［4］ 徐金平，單雙榮.解拋物型方程的一個高精度顯示差分格式［J］.華僑大學學報，2009，30（4）：473－475.

［5］ 馬明書.解拋物型方程的一個高精度兩層顯格式［J］.河南師范大學學報：自然科學版，2001，24（1）：80－81.

［6］ 曾文平.拋物型方程的一族雙參數高精度恒穩格式［J］.華僑大學學報，2002，23（4）：327－331.

［7］ Ma Mingshu，Wang Xiaofeng.A－high－order accuracy implicit difference scheme for solving the equation of parabolic type［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2000，15（2）：94－97.

［8］ 馬駟良.二階矩陣族Gn（k，Δt）一致有界的充要條件及其對差分方程穩定性的應用［J］.高等學校計算數學學報，1980：2（2）：41－53.