無窮區間上一階非線性脈沖微分方程組邊值問題的多個正解

李耀紅，張祖峰

（1.宿州學院智能信息處理實驗室，安徽宿州234000；2.華中科技大學數學與統計學院，武漢430074）

無窮區間上常微分方程邊值問題的研究最初起源于求解橢圓型微分方程徑向對稱解，隨后在非經典牛頓流體質量傳遞問題，火箭在固體推進劑耗盡下的靜電探測問題，相變固體在熱傳導中的溫度擴散問題以及邊界層等系列問題中也得到了廣泛應用.

本文考察無窮區間上一階非線性脈沖微分方程組邊值問題：

其中，J＝［0，＋∞），0＜t1＜t2＜…＜tk＜…，tk→∞，J′＝J＼｛t1，…，tk，…｝，f1，f2∈C［J×J×J，J］，I1k，I2k∈C［J×J，J］（k＝1，2，…），u（∞）這里，分別為u（t）和v（t）在t＝tk處的跳躍度，即v）－v（tk），而u，v）和u（tk），v（tk）分別表示u（t）和v（t）在t＝tk處的右左極限.

近年來，定義在無窮區間上的微分方程邊值問題解及正解的存在性問題引起了廣泛關注和深入研究，獲得了一系列重要結果，見文獻［1－10］及其參考文獻.特別地，在非脈沖情形下，文獻［6］利用Schauder不動點定理得到了邊值問題（1）解的存在性，文獻［7］利用一個新的比較結果和M¨onch不動點定理，去掉了文獻［6］中的先驗估計條件，改進了其解的存在結果；在脈沖情形下，文獻［8］利用Schauder不動點定理研究了邊值問題（1）解的存在性，此時非線性項和脈沖項具有一定的增長性條件和緊性條件，文獻［9］在相同的增長性條件下，減弱了文獻［8］中非線性項和脈沖項的緊性條件，利用M¨onch不動點定理和反證法，通過先驗估計條件，在獲得解的存在性同時得到了解的唯一性，改進和推廣了文獻［8］的結果.

受上述文獻啟發，本文將在非線項和脈沖項滿足比文獻［8－9］更一般的增長性條件下，利用非線性項的超線性條件取代文獻［6－9］中非線性項和脈沖項緊性條件，去掉了文獻［9］的先驗估計要求，結合錐拉伸和壓縮不動點定理獲得多個正解的存在性結果，改進現有文獻已有結論.進一步，上述文獻都獲得了很好結果，但文獻［1－9］僅研究了無窮區間上單個方程或方程組至少有一個解的存在性，對于方程組邊值問題（1）的多解存在性問題卻未作進一步研究.

1 預備知識和引理

設R＝（－∞，＋∞），PC［J，R］＝｛u：u（t）是定義在J上的實值函數，在t≠tk處連續，在t＝tk處左連續，且右極限，u）存在，k＝1，2，…｝，

可證X在范數‖（u，v）‖X下為一Banach空間.令

這里，γ＝min｛α－1，β－1｝.顯然P，Q是X中的兩個錐且Q?P.定義算子T：P→P如下：

其中，

若（u，v）∈P（u＞0，v＞0）且滿足（1），則稱（u，v）為邊值問題（1）的解（正解）.

為方便敘述，先列出下列假設：

（H1）存在bi（t）∈C［J，J］和Hi∈C［J×J，J］，使得（H2）存在Fi∈C［J×J，J］和正數δik（i＝1，2，k＝1，2，…），使得

→∞，u＋v→∞，對任意的t∈J和（u，v）∈P一致成立，且

（H4）存在di（t）∈C［J，J］，使得

→∞，u＋v→0，對任意的t∈J和（u，v）∈P一致成立，且

引理1假若條件（H1）、（H2）成立，則（5）定義的算子T是從Q到Q的全連續算子.

證明令（u，v）∈Q，取r1≥‖（u，v）‖X.由條件（H1），可知

其中，Mi＝max｛Hi（u，v）：0≤u≤r1，0≤v≤r1｝，i＝1，2.故無窮積分收斂且有

進一步，由條件（H2），可知

其中，Ni＝max｛Fi（u，v）：0≤u≤r1，0≤v≤r1｝，i＝1，2.故無窮級數收斂且有

另外，由（6）可得

則從（6）、（9）、（11）和（13）可推知，對任意t∈J，有T1（u，v）（t）≥0且

進一步，從（12）、（13）可知

同理可知，對任意t∈J，有T2（u，v）（t）≥0且

由（15）、（17），則有

故算子T是從Q到Q的.

下面證明算子T是連續的，令（um，vm），）則存在），容易得到，

顯然當m→∞時，

同時，由（8）可知

其中，M3＝max｛H1（u，v）：0≤u≤r2，0≤v≤r2｝.則從（20）、（21）和勒貝格控制收斂定理有

另一方面，類似（10）可知

其中，N3＝max｛F1（u，v）：0≤u≤r2，0≤v≤r2｝.由（23）結合級數收斂性，對任意給定的ε＞0，可選取一個整數k0，使得

注意到，當m→∞時，

于是，可以選取一個正整數m0，使得當m＞m0時有

從（24）、（25）可知，當m＞m0時有

故從（19）、（22）和（27）有

類似容易證明

最后與文獻［10］引理2類似，利用Ascoli－Arzela定理及對角線方法，可知T是緊算子.故算子T是從Q到Q的全連續算子.

引理2［8］假若條件（H1）（H2）成立，則（u，v）∈BPC［J，J］∩C1［J′，J］×BPC［J，J］∩C1［J′，J］是方程組（1）的解有且僅當（u，v）∈Q是（5）定義的算子T的不動點.

引理3［11］假設E是Banach空間，P為E中的錐，若Ω1，Ω2為E中的兩個開集，且滿足0∈Ω1，?Ω2.算子A：P∩＼Ω1）是全連續的.若下面條件之一滿足

2 主要定理

定理1假設條件（H1）～（H4）成立.若存在η＞0，使得

其中，

則方程組（1）至少有兩個正解（u1，v1），（u2，v2）∈BPC［J，J］∩C1［J′，J］×BPC［J，J］∩C1［J′，J］，且

證明由引理1知，（5）式定義的算子T是從Q到Q的全連續算子，結合引理2和引理3，僅需要證明算子T在Q中至少有兩個不動點（u1，v1），（u2，v2）滿足‖（u1，v1）‖X＜η＜‖（u2，v2）‖X.

從條件（H3）知，存在正數r3＞0，使得u（t）＋v（t）≥r3，（u，v）∈Q時，有

取

對任意的（u，v）∈Q，｜｜（u，v）｜｜X＝r4，有

于是，由（6）、（7）和（29）～（32），知

故有

從條件（H4）知，存在正數r5＞0，使得0＜u（t）＋v（t）＜r5時，有

取

對任意的（u，v）∈Q，｜｜u，v）｜｜X＝r6，有

于是，由（6）、（7）和（36）～（39），知

故有

另一方面，對?（u，v）∈Q，‖（u，v）‖X＝η，類似于（14），有

其中，M，N由（28）式定義.因此，由（43）、（44）和（28）可知，

從（31）和（38）可知0＜r6＜η＜r4.因此，由（35）、（42）及引理3可知算子T有兩個不動點（u1，v1），（u2，v2）∈Q，且r6＜‖（u1，v1）‖X＜η＜‖（u2，v2）‖X＜r4，即有

3 例子

例1考慮無窮區間上一階非線性脈沖微分方程組邊值問題

（u（t），v（t））≡（0，0）是無窮區間上方程組邊值問題（46）的一組零解.

結論1方程組（46）至少有兩個正解（u1，v1），（u2，v2），且

證明顯然方程組邊值問題（46）是方程組邊值問題（1）的形式.其中，

因此條件（H1）、（H2）顯然成立.又因為

取c1（t）＝e－100t，c2（t）＝e－80t，則條件（H3）成立，且c1＝，c2＝.又注意到

取d1（t）＝e－80t，d2（t）＝e－100t，則條件（H4）成立，

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