邊緣識別的二維正交多項式擬合及結構變形檢測

袁向榮

（廣州大學土木工程學院，廣東 廣州 510006）

數字圖像檢測結構變形常用數字圖像相關法(Digital Image Correlation，DIC)和邊緣檢測法(Edge Detection，ED)，DIC法一般是由變形圖像和參考圖像圖案的相似性識別圖像變形，ED法是根據邊緣兩側灰度的一或二階導數特征識別邊緣位置，DIC是面檢測，ED法是線檢測，DIC法檢測精度可達0.01像素。常用的整像素ED方法有Roberts、Sobel、Prewitt、Laplacian和Canny[1]等方法。結構工程對檢測的精度要求很高，常常要求采用亞像素識別，亞像素ED方法有基于矩保持的識別法[2]，正切函數擬合法[3]，基于插值的方法[4]等。袁向榮[5]將DIC法用于邊緣識別，研究表明，在梁體沒有圖案的情況下，二維相關方法精度與一維相關方法相當，但計算量要大很多。ED法檢測精度在0.05像素左右。雖然DIC法精度較高，但要求結構表面有明顯的圖案特征，限制了DIC法的應用。

Fu和Moosa[6]提出用多項式函數擬合邊緣灰度，可由函數的連續性求導以識別邊緣。袁及其團隊對多項式函數擬合法進行了研究，并將邊緣識別法應用于梁模型的靜動力試驗[7-11]。按照泰勒級數公式，多項式對已知函數逼近的精度取決于多項式的階數，對已知函數的擬合由于級數的各項系數可由函數的導數求得，采用高階多項式并不難。但對已知數據進行擬合時，須對優化方程進行求解以確定待定系數，但階數高于7的多項式擬合的優化識別方程，其系數矩陣是病態的，因此次數高于7的多項式不能有效提高邊緣識別精度[7,12]。為改善擬合精度，文獻[7]提出滑動擬合法，對邊緣曲線的擬合精度提高明顯 。

Ye等[13]提出一種基于高斯函數邊緣模型的識別方法，采用光強函數

式中，h為灰度基值，k為灰度增值，某鄰域內設邊緣曲線為拋物線Px2+Qx+R，σ為模糊因子。則邊緣附近的像素灰度為

在某領域內取模型灰度與圖像灰度Gij的平方差為目標函數，采用優化法識別式(1)中的6個待定系數，以此識別邊緣的位置。在實際研究中，階躍邊緣可用高斯模型進行描述，因此已有學者采用這種模型[14-15]。基于高斯模型的邊緣識別優于基于矩保持的方法和插值法。此方法邊緣識別效果較好，原因應是采用了二維邊緣模型式(1)和式(2)進行識別，但式中的參數識別方程為隱式方程，須用非線性優化方法，如采用牛頓-拉爾森法，還須計算梯度和雅可比矩陣，不可避免的要對反常積分進行數值計算，應用上不夠簡便。現有的多項式擬合法的主要缺點：一是不能采用高階多項式，限制了擬合精度；二是一維擬合僅考慮跨邊緣的灰度變化，未考慮沿邊緣的變化，限制了邊緣的識別精度。下面介紹二維正交多項式擬合邊緣曲面的方法，擬合和識別優化過程無須求逆和解方程，因此不存在病態方程求解問題，可以采用高階多項式進行擬合，且簡便易行。

1 二維正交多項式邊緣擬合法

對于圖像中某邊緣領域的灰度曲面f(x,y)在矩形網格點(xs,yt),s=0,1,…,n;t=0,1,…,m的型值已給。選定一組乘積型基函數并假定n≥N，m≥M。可用最小二乘法尋求二元曲面

由目標函數

第一步任意固定yt，用Lx表示對函數f(x,y)作x方向的最小二乘擬合，則有

第二步記Ly是y方向的最小二乘擬合，則有

式(4)的一步擬合，N+M一般最高不超過6。分步擬合的每步按一維擬合，對普通多項式N、M最高均可選6。

若采用正交多項式，系數識別式(8)和式(12)不須解方程，因此可采用高于6階的多項式，可有效提高曲面擬合的精度。

2 正交多項式遞推算法[12]

3 數字算例

3.1 邊緣擬合

由式(2)可以生成邊緣圖像如圖1，在邊緣附近選擇一小區域，用乘積型正交多項式對區域內子圖像數據進行二維擬合，以采用Canny法確定的整像素邊緣位置為中心(x0,y0)，選擇n×m（跨邊緣為n，沿邊緣為m）矩形區域子圖像

用二維正交多項式對其進行擬合。為分析比較，區域選n×m=21×7，二維多項式選N=6,10,15,20，M=6。圖2、圖3為擬合結果。

圖1 根據高斯邊緣模型生成的圖像

圖2 6×6階二維多項式邊緣擬合

圖3 20×6階二維正交多項式邊緣擬合

如前所述，普通多項式擬合階數最高可選6階，圖2 為普通多項式擬合的最佳結果。跨邊緣方向21個數據構成的曲線變化較大，多項式最高可選20階，選擇6～20階正交多項式進行擬合以進行比較，沿邊緣方向，曲線變化較緩，2～6階多項式擬合效果相差不明顯。圖3可見高階正交多項式擬合效果明顯優于圖2的6階普通多項式。

3.2 邊緣識別

一般認為灰度變化最大的點為邊緣位置，可以由灰度曲面方向變化率最大確定邊緣的位置，即按梯度確定邊緣的位置，這里采用近似的多項式邊緣模型，近似采用確定邊緣的位置[1]。

以圖1為參考圖像，給其邊緣一豎向3像素位移生成位移圖像。先識別兩幅圖像中邊緣曲線，再由這兩曲線的差得到邊緣的變形。圖4為無噪聲圖像邊緣變形識別結果比較，虛線為一維擬合，實線為二維擬合。圖5為含5%噪聲圖像的邊緣變形識別比較。一維擬合采用6階普通多項式[6]，二維擬合采用20×6階正交多項式。圖4可見，二維方法處理無噪聲圖像，識別邊緣位移最大絕對誤差0.08像素，相對誤差2.7%，略好于一維擬合，多數像素點位移的誤差在0.03像素以內。如果采用小波分解或奇異值分解等方法對邊緣或變形識別數據進行去噪處理[17]，誤差可控制在0.01像素左右。圖5可見，對含噪聲圖像的處理，二維方法識別邊緣變形的效果明顯優于一維方法。

圖4 無噪聲圖像邊緣變形識別

圖5 5%噪聲圖像邊緣變形識別

4 模型試驗

試驗模型為鋁合金槽形梁，橫截面尺寸如圖6，壁厚1mm，梁長1366mm，兩端用直徑25mm的鋼錕軸支撐以實現簡支，計算跨徑l=1341mm，在跨中加載。因為試驗主要目的是比較圖像檢測與傳統檢測的結果和驗證邊緣檢測的新方法，對荷載未精確控制，未采用高像素高質量攝像器材，采用480×640像素網絡攝像頭。試驗采集圖像、邊緣檢測及變形檢測結果，如圖7～圖9所示。區域選n×m=21×7，二維多項式選N=20，M=6。

圖6 槽形梁橫截面尺寸(mm)

圖7 梁變形圖像

圖8 由邊緣識別檢測所得梁底邊緣曲線

圖9 由邊緣識別檢測所得梁底變形曲線

由圖8，圖9可見，邊緣檢測曲線波動范圍基本上在±0.05像素之內，邊緣變形檢測曲線波動范圍基本上在±0.1像素之內。說明新方法邊緣檢測的分辨率和穩定性較高。

按以下過程進行標定將檢測結果換算為毫米。由梁的物理尺度與像素尺度比較，可得圖像縱橫向檢測標定系數分別為10mm/11像素和540mm/470像素。由梁跨中檢測撓度與理論值比較，得梁的荷載抗彎剛度比P/EJ。簡支梁撓度曲線理論解為

圖10為實測值與理論值的比較，兩者符合較好。

圖10 實測值與理論值的比較

5 結 論

（1）邊緣檢測屬二維問題，采用一維方法進行檢測局限性明顯。現有方法中基于高斯邊緣模型擬合方法檢測效果最好，但其優化方程是非線性隱式方程，只能用數值方法，6個待定參數的隱式方程中含有反常積分，算法較復雜。多項式擬合法，優化方程是顯式線性方程，算法簡單易行，但高于6階的多項式不能提高擬合效果，用于一維擬合還可以，二維擬合一個方向用2階，另一個方向最高只能用4階，無法滿足邊緣擬合的要求。采用分步擬合，兩個方向均可為6階。正交多項式二維擬合法，參數識別的優化過程不用求逆或解方程組，可以在采用高階多項式，對于n×m的子圖像，最高可采用(n-1)×(m-1)階多項式，多項式的階數只取決于子圖像的尺度，保證較好的擬合效果。擬合過程只須算術除法，算法簡易。

（2）對生成圖像進行邊緣檢測的結果表明，適當提高多項式階數可以提高擬合效果，二維正交多項式法檢測效果優于一維普通多項式的檢測，對于含噪聲圖像的檢測新方法的效果更明顯。

（3）簡支梁模型試驗表明，變形前后梁底檢測邊緣曲線波動較小，說明檢測方法穩定性分辨率較高，由這兩條曲線的差所得的梁變形曲線波動較小，說明二維擬合對由于梁彎曲引起的邊緣橫向變化的適應性較好，這也是二維擬合優于一維擬合的原因。檢測變形的波動范圍多數在±0.1像素之內，如果對若干像素點取平均，其精度可提高到±0.02像素左右，亞像素變形檢測的效果明顯。以30萬像素（640×480）網絡攝像頭采集約1.2m范圍內梁的變形圖像，邊緣識別所得變形檢測精度與百分表檢測結果相當。

（4）一維擬合法，對各邊緣點跨邊緣N個像素點一次擬合即可。二維分步擬合法，對M個像素的一小段邊緣，先進行M次擬合（對N個像素點擬合）形成中間數據，再對中間數據進行N次擬合（對M個像素點擬合），因此相對于一維擬合增加了極大的計算量。相對于普通多項式擬合，正交多項式增加了遞推計算，擬合區間和多項式階數的增加，均會導致計算量的增加。

（5）本文方法適用于直邊、平滑曲邊構件的邊緣識別和變形檢測。

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