XFAST 長碼直捕算法參數優化設計

唐小妹，龐晶，黃仰博，王飛雪

(國防科學技術大學 電子科學與工程學院 衛星導航研發中心，湖南 長沙，410073)

GPS 信號采用C 碼和P 碼2 種不同的偽隨機碼。其中，C 碼是一種低碼率、周期重復的短碼，主要用于民用系統；P 碼也稱為軍碼，是一種高碼率、長周期、加密偽隨機碼[1]。在正常情況下，可以通過對C碼信號的捕獲跟蹤，實現對P 碼信號的引導；在戰爭或者某種突發事件的情況下，C 碼信號可能會被干擾或者關閉，這就要求軍用導航接收機具有長碼直接捕獲的功能。由于接收機的晶振漂移和信號的傳播時延未知等因素，使得本地偽碼相位與接收信號的偽碼相位之間存在一定的不確定度(圖1 中的Δt)，在實際應用中該不確定度最大為秒級，P 碼碼率為10.23 Mcps，即要求快速搜索107量級的碼片數；同時，由于用戶相對于衛星運動和接收機晶振的頻差，導致接收到的信號相對于標稱頻率有一定的頻率偏差(圖1 中的Δf，一般頻率不確定范圍為+/-6 kHz)。故長碼直捕過程是一個時域和頻域的二維搜索過程，具體如圖1 所示，對每個分格(δf 和δt)進行相關值計算，相關值最大且過門限的點即為待捕獲的信號。目前的長碼直捕算法[1-2]可以分為以下3 類：(1) 時域捕獲[1]，通過時域的匹配濾波器的實現方式對偽碼相關值的計算，該方法對硬件資源需求大，且平均捕獲時間較長；(2) 頻域捕獲[3-5]，利用頻域相乘等效于時域卷積的思想進行相關值的計算，可同時進行多普勒頻偏和偽碼相位的搜索；(3) 時頻結合[6]，對時域相關后的結果進行頻率的估計，在搜索碼相位的同時進行頻偏估計，提高捕獲速度。由Yang 等于2002 年提出的XFAST 是一種改進的頻域捕獲算法[7-10]，其基本思想是將一個很長的偽碼分成M 個子段，每段長L 點，并將各子段的對應位置進行算術相加，組成一個新的長為L 點的重疊碼。利用重疊碼與接收信號進行相關運算，從而提高處理的并行性。XFAST 算法相對于常規的時域捕獲算法，增加了重疊段數[8]、FFT 補零點數、FFT 點數等參數，如何實現對XFAST 中諸多參數的優化設計，是XFAST 設計過程中的難點。本文結合具體的工程實踐，提出以單位相位搜索最小計算量為優化準則，給出XFAST 參數的優化設計方法，最后通過仿真驗證本文優化準則及優化結果的正確性。

圖 1 長碼直捕時頻二維搜索示意圖Fig.1 Time and frequency planar search in long code direct acquisition

1 基于XFAST 的捕獲原理

1.1 實現結構

中頻AD 采樣后的數字信號經過中頻解調后，得到I 和Q 通道數據構成復信號進行FFT 變換，同時本地偽碼經過重疊后，進行FFT 變換，結果取共軛后與接收信號FFT變換的結果相乘，然后進行反FFT變換，由頻域相乘等于時域相關的原理，等效完成了時域接收信號和本地偽碼的信號相關過程，經過平方律檢波、非相干積累后進行捕獲判決，若過門限則認為是成功捕獲信號。

根據時域復指數相乘等效于頻域偏移的原理，通過對接收信號FFT 變換后的結果進行循環移位，實現對不同頻率偏移下的偽碼相關值的搜索，具體如圖2所示[11]。

1.2 偽碼相位搜索策略

由信號處理的理論可知：設兩相關序列長度均為L 點，常規頻域計算線性相關值時，要求頻域FFT 點長度PFFT≥2L-1。但對于XFAST，當重疊段數大于2時，可以不滿足該約束條件，僅要求FFT 點數PFFT≥L，具體如圖3 所示。

圖2 XFAST 實現結構圖Fig.2 Architecture of XFAST

擴展復制重疊計算相關的相位搜索原理如圖3 所示，當本地序列與接收信號完全對齊時，對應搜索的相位為M，移位相關時，對應的搜索相位為M-1 個(圖中陰影部分表示無效相位)。

由以上分析可知：進行一次擴展復制重疊的頻域相關計算，搜索的偽碼相位值為

其中：M 為本地偽碼重疊段數；L 為相干累加點數；FFT 計算的點數要求為大于L 的最小的2 的冪次，即PFFT=(2n)min≥L。

2 性能分析

在工程實踐中，通常是給定捕獲概率和虛警概率，對參數進行優化設計。首先給出偽碼多普勒影響下的捕獲概率和虛警概率的解析表達式，并以此為約束條件，給出以單位碼相位搜索計算量最小為優化目標的參數優化設計方法，以及在各種不同載噪比下的優化設計結果。

2.1 捕獲概率和虛警概率

假設輸入的中頻解調后的復信號[12-13]為

其中：T=1/fs，fs為中頻下變頻后的采樣頻率；A 為信號幅度；D(t)∈{+1，-1}為導航電文數據；P(t)∈{+1，-1}為長周期的精密測距碼；fd為多普勒頻偏，在二階動態較小的情況下，假設在捕獲時間內多普勒值是不變的；fdata為導航電文數據的符號速率；β 為載波頻率和導航電文速率的比例因子；fc為偽碼標稱頻率；τ0為未知的偽碼相位傳播時延；γ 為載波頻率和偽碼頻率的比例因子；n(kT)為對功率譜密度為N0的窄帶高斯白噪聲采樣，假設采樣率為噪聲帶寬的整數倍(一般取為2 倍)，則噪聲采樣點獨立。

由于本地生成的偽碼按照標稱頻率生成，由于未知的偽碼多普勒的影響，故在積累過程中，接收到的信號的偽碼相位與本地的偽碼相位差會變化，同時由于FFT 分辨率的影響，相干積分后(即圖中的IFFT 后的信號)的信噪比RB(j)為

其中：

由式(3)可知：當偽碼相位差大于1 個碼片時，相干積累的值已經沒有增益了，此時對應的信噪比為0，故存在偽碼多普勒時，不能簡單地通過長時間的積分來提高信噪比。

則對應的捕獲概率和虛警率分別為

對于虛警率給定的情況下，檢測概率為

2.2 單位碼片搜索計算量

長碼直捕中，捕獲概率和虛警概率確定的條件下，主要的衡量指標為捕獲時間，捕獲時間是完成頻域和時域二維搜索的總時間，可以寫成如下表達式：

其中：Tper_grid單元時頻搜索的時間；Ndoppler_Num多普勒單元數； Ncode_Num偽碼相位單元數； TAll所有時頻二維搜索總時間。

對于XFAST 算法，由于不同的FFT 點數對應的頻率搜索間隔不同(FFT 點數也是待優化的參數)，故本文定義了單位搜索計算量即為搜索單位碼片的各頻率分量的相關值使用的計算量和。

寫成具體的表達式如下：

其中：PFFT=(2n)min＞L(大于L 的最小2 的冪次)。

3 參數優化設計

在工程實現中，檢測性能指標(Pf和Pd)給定，計算使單位計算量最小的擴展復制重疊段數M、中頻積累時間L 和后積累點數q。由于無法給出確切的優化參數解析表達式，本文的參數優化通過數值仿真和搜索進行。

下面將分別給出不同載噪比和不同多普勒不確定度下的參數優化設計。

3.1 多普勒不確定度固定，不同載噪比

以GPS 的L1 P 碼為例，采樣率為20.47 MHz，多普勒不確定范圍為6～6 kHz，載波和偽碼的比例因子為154，捕獲概率95%，虛警概率10-6，對應的不同重疊段數下的最小單位搜索計算量如圖4 所示。從圖4 可見：

(1) 不同載噪比條件下，在多普勒不確定范圍固定時，存在單位搜索計算量最小值；

(2) 在載噪比較高時，并不是擴展復制重疊段數越多，對應的計算量越小，計算量一般首先隨著擴展復制重疊段數的增加而降低，到達極值點后，再增加擴展復制重疊段數，計算量逐漸增加；

圖4 相同的虛警、捕獲概率以及不同載噪比下的單位搜索計算量Fig.4 Unit computation in condition of different carrier to noise ratio same false probability and detecting probability

(3) 載噪比越低，滿足同樣檢測概率和虛警概率，所需的積累時間較長，由于偽碼多普勒的影響，導致滿足條件的擴展復制重疊段數受限，當載噪比為40 dBHz 時，只有M=2 時存在參數滿足檢測概率和虛警概率的要求。

(4) 當載噪比較高時，滿足條件的不同的擴展復制重疊段數，單位搜索計算量相差較小。

表1 所示為多普勒確定條件下(-6～+6 kHz)，不同載噪比下的最優參數設計。

表1 多普勒不確定度-6 kHz～+6 kHz，載噪比不同，單位搜索計算量最小對應的參數設置Table 1 Parameters of least unit computation with uncertainty Doppler of -6～6 kHz in different carrier to noise ratio

3.2 載噪比固定，不同多普勒不確定度

載噪比固定為46 dBHz，多普勒不確定度分別為±2 kHz，±4 kHz 和±6 kHz，捕獲概率為95%，虛警概率為10-6時對應的單位搜索計算量分別如圖5所示。

由圖5 可以看出：多普勒越大，搜索計算量越大，可重疊段數越小。不同多普勒不確定度下的最小搜索計算量及對應的參數設置如表2 所示。

圖5 相同的虛警、捕獲概率，相同載噪比，不同的多普勒不確定度下的單位搜索計算量Fig.5 Unit computation in condition of different Doppler uncertainty, same false probability and detecting probability

表2 載噪比46 dBHz，多普勒不同，單位搜索計算量最小對應的參數設置Table 2 Parameters of least unit computation with carrier to noise ratio 46 dBHz, different Doppler

4 仿真驗證

驗證采用Matlab 模擬仿真，由于Matlab 中無法統計乘加計算的個數，仿真驗證直接對程序運行時間進行統計，將運行時間除以對應的搜索碼相位數，得到的單位搜索時間即等效反映了搜索計算量。根據表3 中的參數進行仿真計算，得到的具體運行時間如表3所示。

對表3 中的最后2 列結果進行比較，均以各自的第一個值進行歸一化，得到理論計算值和實際仿真計算值如圖6 所示。

由圖6 可以看出：理論和仿真結果較為接近，從而可認為本文得到的搜索計算量是能夠真實反映運算量大小的，本文的參數優化設計方法是切實可行的。

表3 搜索計算量仿真驗證Table 3 Searching computation simulation validation

圖6 仿真單位搜索計算量與理論單位搜索計算量比較Fig.6 Unit computation comparation of theoretics and simulation

5 結論

(1) 存在多普勒頻移的條件下，擴展復制重疊引入的信噪比降低不能簡單采用增加捕獲總積累時間來補償，XFAST 的使用有最低載噪比的要求。

(2) 重疊段數并不是越多越好，在輸入參數及指標確定的條件下，存在極值點，可以根據本文給出的模型進行參數的優化設計。

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