引入不確定參數的汽車盤式制動器振動穩定性分析

呂 輝， 于德介， 陳 寧， 夏百戰

(湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室， 湖南 長沙 410082)

引 言

盤式制動器以其優異的性能在汽車上得到了廣泛的應用，但制動器結構如果設計不合理，就有可能在工作過程中處于不穩定狀態，引起強烈的振動，并形成刺耳的噪聲。

在汽車制動噪聲的頻率范圍中，以1～16 kHz之間的尖叫聲最困擾乘客的聽覺，嚴重影響汽車的舒適性[1]。針對汽車制動噪聲問題，不少學者通過對制動器系統的復特征值進行分析來判斷系統的穩定性，從而預測制動噪聲的產生趨勢。基于有限元的復特征值分析方法是一種研究制動器系統穩定性的有效方法[2]。文獻[3]從子結構模態的角度對制動器穩定性進行研究，基于制動器摩擦閉環耦合有限元模型求解了系統復特征值的正實部，分析了正實部對子結構模態參數的靈敏度，將敏感參數作為優化參數進行研究，提出了修改制動盤和支撐支架的改進措施。該研究在汽車盤式制動器制動噪聲的預估和抑制上取得了很好的效果，但沒有考慮參數的不確定性及系統穩定性的可靠性問題；且對參數進行靈敏度分析時，采用的是基于偏導理論的局部靈敏度分析。

在工程實際中，材料特性和作用載荷等參數往往具有不確定性，考慮各設計參數的不確定性構建隨機模型進行分析，能更好地反映工程實際[4]。可靠性分析能保證隨機模型不因參數的波動而失效，但復雜工程結構可靠性問題的功能函數通常具有高維數、隱式表達和非線性等特征，導致可靠性分析過程的計算量過大，從而影響了各種可靠性分析方法在工程實際中的推廣應用。蒙特卡洛法作為求解結構可靠性的重要方法之一，對仿真問題的維數不敏感，且不受任何假設的約束，可通過大量的隨機抽樣獲取較高的求解精度，具有很強的適用性[5]。

由于工作環境多變和結構復雜，因此制動器振動噪聲是很多不確定參數共同影響的結果，難以捕捉和重復，適合采用隨機模擬和統計試驗方法進行研究。局部靈敏度分析只能分析確定性參數發生微小變化時對系統性能的影響，應用于制動器系統上有一定的局限性。全局靈敏度法[6]考慮了參數的概率分布情況對輸出的影響，并且分析時所有參數可以大范圍同時變化，適用于具不確定參數的制動器系統分析。Sobol′法[7]是一種基于方差的全局靈敏度分析法，與其他全局靈敏度分析法相比，它能夠采用蒙特卡洛法快速簡便計算出各階靈敏度和高階交叉影響項。

本文將基于蒙特卡洛法的可靠性分析引入到汽車盤式制動器穩定性研究中，采用隨機和區間參數對制動器系統進行描述，將響應面法與有限元復特征值技術相結合，實現了制動器振動穩定性的可靠性分析模型的參數化，大大提高了分析效率。采用蒙特卡洛法分析了系統參數為正態分布隨機參數和區間參數下，某型車的浮鉗盤式制動器系統的穩定性可靠度，結合Sobol′法對系統參數進行了全局靈敏度分析，甄別了不確定性參數對系統穩定性的影響，并從可靠性角度提出了改善制動器系統振動穩定性的工程措施，不確定性分析技術的引入提高了傳統研究方法的適用性，分析方法對抑制制動噪聲具有一定的工程指導性。

1 汽車盤式制動器振動穩定性

以汽車盤式制動器為研究對象，系統的運動方程可以表示為[8]

(1)

式中M，C和K分別為無摩擦制動器系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，Kf為摩擦接觸剛度矩陣，u為系統在平衡位置附近振動的廣義位移向量。

由式(1)可知，引入摩擦力后，系統的剛度矩陣不對稱，系統的特征值在一定條件下為復數，即系統對應的模態為復數。

式(1)的解可寫成如下形式

u=φeλt

(2)

式中φ為振型矩陣，λ為系統特征值。上式代入式(1)，得

(λ2M+λC+K-Kf)φ={0}

(3)

若系統第i階特征值為復數，則可表示為

λi=αi+jβi

(4)

式中αi為特征值實部，是系統的阻尼系數，βi為特征值虛部，是系統的自然頻率。

與第i階特征向量對應的系統響應可表示為

ui=φieαitcosβit

(5)

參考文獻[9]，定義系統第i階阻尼比

(6)

由式(5)和(6) 可知，若某階阻尼比為負，則對應的特征值具有正實部，系統是不穩定系統，系統隨著時間推移而放大振動。系統阻尼比為負時可等效為系統存在負阻尼，此時阻尼不耗散能量，反而向系統中饋入能量，形成自激振動，引發制動噪聲，以噪聲的形式向外輻射能量。因此根據系統的阻尼比可以判斷系統的穩定性，預測系統出現制動噪聲的趨勢。

2 基于可靠性的汽車盤式制動器振動穩定性分析

2.1 基于蒙特卡洛的可靠度分析

可靠性分析能保證結構模型不因參數的波動而失效。若結構參數為隨機變量，則結構可靠度的計算公式為

(7)

式中R表示可靠度，Pr表示概率，fX(X)為獨立隨機向量X的聯合概率密度函數，g(X)為功能函數，可表示結構的兩種狀態

(8)

g(X)=0為極限狀態方程，是一個多維數曲面，稱為極限狀態面或失效臨界面。

蒙特卡洛法又稱隨機模擬法或統計試驗法，是一種依據統計抽樣理論，從已知概率分布的變量中隨機抽樣，依據隨機抽樣結果計算輸出的數字特征。采用蒙特卡洛法進行可靠度分析，式(7)表示為

(9)

式中I[ ]為特征函數，且滿足

(10)

可靠度的蒙特卡洛近似估計為

(11)

若在結構中引入區間參數，則結構的可靠度為

R=Pr{g(X,Y)≥0}

(12)

式中Y為區間向量

Y∈[YL,YU]

(13)

式中 L和U分別表示參數的下界和上界。功能函數的蒙特卡洛估計量滿足

Y∈Y

(14)

特征函數滿足

(15)

結合式(11)得可靠度區間為

R∈[RL,RU]

Y∈Y

(16)

2.2 Sobol′全局靈敏度分析

傳統的靈敏度分析是在一個變量產生微小變化的同時保持其他變量不變，觀察由變量變化引起的結果變動。在工程實際中，考慮變量在某一大的范圍內變化且計及多個變量相互影響的全局靈敏度信息具有更高的參考價值。

本文采用Sobol′法進行全局靈敏度分析，Sobol′法是一種基于方差的蒙特卡洛法[10]，其主要思想是將函數f(z)分解成2n項遞增項之和，通過采樣計算模型響應的總方差及各項偏方差，從而求得靈敏度。在輸入參數域In為n維單元體的情況下，將函數f(z)分解為2n個遞增項之和

f1,2,…,n(z1,z2,…,zn)

(17)

式中f0為常量，且其他加數項對其所包含任意一變量的積分必定為零，即

(18)

由式(17)，(18)可知，式(17)中的所有加數項之間都是正交的，且可以表示為函數f(z)的積分

(19)

(20)

(21)

由此類推，即可求出式(17)中的其他高階項。

將式(17)兩邊平方并在整個參數域In內積分，結合式(18)有

(22)

函數f(z)的總方差D為

(23)

偏方差為

(24)

由式(22)可知

(25)

這樣，全局靈敏度指數就可以表示為

Si1,…,is=Di1,…,is/D

(26)

Sobol′法的一個顯著特點是對于式(23)和(24)的定積分，可直接用蒙特卡洛法求得。

實際工程中的參數域一般不在[0,1]的范圍內，本文按式(27)對參數進行離差標準化

(27)

2.3 汽車盤式制動器穩定性分析

由第1節分析可知，特征值阻尼比ζ是表征制動器系統穩定性的指標。為在一定程度上保證系統的穩定性，ζ應大于某一臨界值ζc，參考文獻[11] ，取ζc=-0.01。由此本文從可靠性角度提出如下功能函數

g(Z)=g(X,Y)=ζ(Z)-ζc=ζ(Z)+0.01

(28)

式中Z為隨機或者區間變量，ζ(Z)為目標特征值阻尼比。

本文提出的基于蒙特卡洛法與全局靈敏度的汽車盤式制動器穩定性分析方法主要步驟為:

(1)基于制動器系統的有限元模型，在不確定參數空間進行試驗設計，求出系統對應各組試驗樣本的各階特征值；

(2)選擇特征值實部大于0的特征值為研究對象，建立系統目標特征值的參數化響應面模型；

(3)基于特征值響應面模型，建立系統可靠性研究的功能函數參數化模型；

(4)基于功能函數模型，采用蒙特卡洛法對系統的可靠性進行分析；

(5)采用Sobol′法對系統不確定參數進行全局靈敏度分析；

(6)根據靈敏度研究各參數對制動器系統穩定性的影響，并從可靠性的角度提出提高系統穩定性的改進方案。

本文方法的具體分析步驟如圖1所示。

圖1 基于可靠性的制動器振動穩定性分析

3 算例研究

3.1 汽車盤式制動器參數化模型

本文利用Altair. Hypermesh軟件建立了某型轎車的制動器有限元簡化模型，如圖2所示。

圖2 制動器有限元模型

簡化模型由制動盤、制動片、支撐背板和絕緣板等部分組成，共劃分成26 125個實體單元，37 043個節點，制動片與制動盤之間為摩擦接觸面，整個系統為一個摩擦耦合系統。有限元復特征值分析主要與材料密度、彈性模量和載荷約束等條件有關。本文選取各部件材料密度、彈性模量、摩擦系數和制動壓力作為不確定量。由于摩擦損耗引起的是部件剛度的改變，因此磨損引起的不確定性可由材料彈性模量的不確定性間接體現。參考文獻[12]，給出不確定變量的分布類型和取值如表1所示。

表1中的正態分布采用截斷高斯分布，即使用帶有上下界的正態分布，從而在抽樣中忽略掉概率極小的樣本，使得所有不確定參數的波動范圍均為其均值的±5%。為便于試驗設計和Sobol′法求解靈敏度，本文按下式將各設計變量進行離差標準化

(29)

表1 制動器不確定變量分布及取值

注：在正態分布類型中，參數1為均值，參數2為標準差；在區間分布類型中，參數1為變量下界，參數2為變量上界。

采用拉丁超立方試驗設計方法[13]在這些變量組成的不確定空間內采樣，選取70 組樣本點代入到制動器系統有限元模型中進行計算，求出0～16 kHz范圍內的特征值，發現系統對應各組樣本點的第7階特征值實部均大于0，為不穩定特征值；樣本點還在其他階數上出現不穩定特征值，但其阻尼比都遠比2 kHz附近的第7階特征值小，因此本文將第7階特征值作為首要不穩定特征值進行研究。其中某一樣本點下系統的特征值分布如圖3所示。

圖3 某一樣本下系統的特征值分布

在上述試驗設計的基礎上，基于二階多項式響應面模型建立第7階特征值參數化的近似表達式為

α7=68.19+5.69z1+6.66z2-25.31z3-1.81z4-1.24z5+9.95z6+15.6z7-1.95z8+0.42z1z2-1.76z1z3+0.34z1z4-2.10z1z5-3.25z1z6+1.51z1z7+1.39z1z8+4.87z2z3+1.04z2z4-2.88z2z5+2.04z2z6+2.17z2z7-3.34z2z8+3.36z3z4+4.66z3z5+2.49z3z6-3.11z3z7+1.31z3z8+0.62z4z5+2.48z4z6-4.19z4z7-3.37z4z8+2.87z5z6+0.77z5z7-0.91z5z8-

(30)

β7=1 965.24-67.5z1+13.9z2-137z3+39.4z4-1.24z5+98.9z6+62.9z7-20.4z8+18.3z1z2-50.9z1z3-12.1z1z4-22.9z1z5-22.3z1z6+21.2z1z7+15.3z1z8+41.7z2z3+5.23z2z4-30.7z2z5+25.9z2z6+25.9z2z7-34.0z2z8+54.1z3z4+49.2z3z5+11.8z3z6-36.0z3z7+14.0z3z8+6.52z4z5+16.0z4z6-46.4z4z7-36.2z4z8+31.3z5z6+6.98z5z7-8.67z5z8-

(31)

式中α7為第7階特征值實部；β7為第7階特征值虛部；z1,z2,…,z8為標準化變量。按文獻[13]的方法對上述響應面模型進行顯著性分析，可得響應面模型的不可靠概率小于1%，與真實有限元模型的逼近程度高，能夠用于后續分析研究。

3.2 系統穩定性的可靠度分析

結合式(6)，(12)和(28)可知，系統第7階特征值穩定的可靠度為

(32)

式中Z=(z1,z2,…,z8)為標準化向量。采用蒙特卡洛法進行30 000 次抽樣分析，求得初始值下系統穩定的最小和最大可靠度分別為0%和34.4%。可見在初始不確定參數下系統穩定性極差，需要對系統的穩定性進行改進提高。

3.3 Sobol′法全局靈敏度分析

由式(32) 可知，功能函數值越大，系統穩定性越高，為了甄別各不確定參數對系統穩定性影響的大小，對所有不確定參數均勻抽樣1 000 000次，采用Sobol′法計算功能函數對各標準化變量的一階全局靈敏度及總體全局靈敏度值，結果如表2所示。

表2 標準化變量的一階和總體全局靈敏度

為了更直觀地表示出功能函數對各標準化變量的靈敏度大小，繪制靈敏度直方圖如圖4所示。

圖4 標準化變量的全局靈敏度

表2中一階全局靈敏度系數反映的是變量自身變化對結果的影響程度，總體靈敏度系數不僅反映了該變量自身變化的影響，還反映該變量與其他變量變化交互作用的影響。因此當某變量的一階靈敏度和總體靈敏度差值較大時，可知該變量與其他變量間存在明顯的交互作用。

結合表2和圖4可以看出：

(1)z1,z3和z7的一階全局靈敏度系數很高，改變這些變量對系統穩定性有較大的影響，尤其是z3的一階全局靈敏度系數高達0.456 9，該變量單獨作用時對系統穩定性有重要影響，在工程實際中應特別對其不確定性嚴格控制，使其波動范圍盡可能小。而z5和z8的一階全局靈敏度系數幾乎接近0，對系統穩定性影響極小，工程實際中可以對其不確定性控制適當放寬，以降低成本；在分析研究中則可忽略與其對應的參數不確定性，當作確定參數進行處理，以減小分析工作量。

(2)z3,z6和z7的一階全局靈敏度與總體全局靈敏度的差值分別達到了0.006 3，0.009 7和0.007 6，表明它們與其他變量之間存在明顯的交互作用。

3.4 系統穩定性可靠度的提高

由第3.3節分析可知，z5和z8對系統穩定性幾乎沒有影響，而z1,z2和z3分別對應系統各部件的材料密度，一般來說材料密度在工程上很少進行修改。因此本文主要考察z4,z6和z7對系統穩定性可靠度的影響。與z4,z6和z7對應的系統參數為支撐背板彈性模量、制動盤彈性模量和系統摩擦系數，對上述系統參數選取一系列區間值進行系統穩定性分析。在針對某個參數進行分析時，其他參數的不確定性取值及分布類型同表2，所有不確定參數的波動范圍仍為其均值的±5%。可靠度分析結果如表3～5所示。

由表3～5可以看出，隨著支撐背板彈性模量的增大，系統穩定性可靠度隨之增大；隨著制動盤彈性模量增大或摩擦系數增大，系統穩定性可靠度均減小。

表3 支撐背板不同彈性模量下系統的穩定性

表4 制動盤不同彈性模量下系統的穩定性

表5 不同摩擦系數下系統的穩定性

減小制動盤彈性模量以提高制動器穩定性，從結構強度和剛度角度考慮是不可取的；而摩擦系數在實際工程中是個難以掌握和控制的變量，減小摩擦系數還會嚴重影響制動效率，因而通過減小摩擦系數來提高制動器穩定性也不是直接有效的方法。

支撐背板既不是摩擦部件也易于更換，因而可通過提高其剛度來提高制動器穩定性，工程上可采用彈性模量更大的材料或者加大支撐背板的幾何厚度等措施來提高支撐剛度，并在不改變系統摩擦系數和制動壓力的情況下能使制動器制動功能得到保證。

4 結 論

(1)本文將參數不確定性引入到汽車盤式制動器振動穩定性的可靠性分析中，采用隨機參數和區間參數對制動器系統進行描述，將響應面法與有限元復特征值技術相結合，實現了制動器穩定性可靠度研究模型的參數化，大大提高了可靠性分析效率。

(2)采用蒙特卡洛法研究了系統參數為正態分布隨機參數和區間參數下，某型車的浮鉗盤式制動器系統的穩定性可靠度，結合Sobol′法對不確定參數進行了全局靈敏度分析，甄別了不確定性參數對系統穩定性的影響，并從可靠性角度提出了改善制動器系統振動穩定性的工程措施，不確定參數的引入提高了傳統研究方法的適用性，分析方法對抑制制動噪聲具有一定的工程指導性。

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