稀疏信號分解-分段擬合逼近及其無轉速計階比應用

梅檢民， 肖云魁， 曾銳利， 趙慧敏，崔 鯤

(1.軍事交通學院軍用車輛系， 天津 300161；2.天津大學機械工程學院 天津 300072；3.軍事交通學院訓練部， 天津 300161)

引 言

階比跟蹤是工程實際中常用的旋轉機械變轉速過程信號分析方法，其基本思想是對滿足平穩性要求的等角度采樣信號進行頻譜分析，關鍵是要根據轉速信息將等時間采樣信號重采樣成等角度采樣信號，當不具備轉速脈沖信號時，應用受限。無轉速計階比分析根據振動信號估計轉速信息[1～4]，再等角度重采樣，該方法不需要安裝轉速采集裝置，能分析現場沒有同步采集轉速信號的離線振動信號，因此在旋轉機械變轉速過程分析中得到越來越廣泛的應用[5～7]。

無轉速計階比分析的精度不如有轉速計階比分析，其影響因素有兩個：一是根據振動信號估計的瞬時頻率；二是根據估計的瞬時頻率計算的重采樣時刻。目前估計瞬時頻率方法是：通過搜索旋轉機械振動信號的時頻譜圖峰值獲得某個階比分量的瞬時頻率[1,8]，進而得到所需要的參考軸轉速，分析精度受到頻率分辨率的限制；基于多尺度線調頻基的稀疏信號分解方法能有效分解頻率呈曲線變化的多分量信號，并估計瞬時頻率，在文獻[9～12]中的應用效果良好。計算重采樣時刻主要通過多項式擬合頻率函數，求解擬合頻率積分方程計算等角度時刻[6,13]，當擬合精度不高或方程較復雜時，有時會出現無解、無實數解的現象。

為了解決上述問題，本文提出了一種基于分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FRFT)多尺度線調頻基稀疏信號分解的自適應分段方法，對分段內信號采用2階多項式擬合頻率函數，提高擬合精度，構建積分逼近方法代替方程求解確定等角度重采樣時刻，解決方程無解、無實數解對階比計算的影響等問題。仿真和實測信號應用表明，基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉速計階比方法分析效果令人滿意。

1 無轉速計階比分析原理及存在問題

1.1 無轉速計階比分析原理

無轉速計階比分析方法根據估計出的瞬時頻率，計算等角度采樣時刻，通過插值實現等角度重采樣，具體實現過程如下[5]:

(1)采用瞬時頻率估計方法，估計出參考軸瞬時頻率，對該瞬時頻率進行多項式擬合，假設采用3階多項式擬合，則有

f(t)=at3+bt2+ct+d

(1)

(2)確定最大分析階次Omax；

(3)計算等角度采樣間隔Δθ，依據采樣定理，等角度采樣率需大于或等于最大分析階次的兩倍，因此

(2)

(4)計算重采樣后數據的長度N

(3)

式中T為采樣總時間，f(t)為頻率擬合函數。

(5)計算重采樣時刻Tn

式中T0為時間起點。求方程(5)的有效解，即可求得等角度重采樣時刻Tn。

(6)根據Tn對振動信號進行插值，獲得等角度采樣信號，再進行FFT變換，得到無轉速計的階比譜。

1.2 存在問題

從上述無轉速計階比分析原理可以看出，傳統無轉速階比方法的兩個關鍵步驟如下：

(1)對瞬時頻率進行多項式擬合確定瞬時頻率函數。傳統無轉速計階比方法，多采用單一多項式對整個時間范圍進行擬合，多項式階次越低，擬合精度較差，多項式階次越高，擬合精度有所提高，但方程(5)越復雜；分段擬合能降低擬合階次并保證擬合精度，但如何進行分段才能使分數段數量最少和擬合精度到達最好，是需要解決的關鍵問題。

(2)求解擬合頻率積分方程(4)的實數解確定等角度重采樣時刻。擬合多項式階次越高，方程(5)越復雜，越容易出現無解、無實數解等情況，導致得不到等角度采樣時刻，或等角度重采樣時刻不準確。

因此傳統的無轉速計階比方法存在低階多項式擬合精度差，高階擬合頻率積分方程難求解的問題，導致階比分析無結果，或分析結果精度低。

2 基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉速計階比分析方法

2.1 基于FRFT的多尺度線調頻基稀疏信號分解

分數階傅里葉變換可以解釋為信號在時頻平面內繞原點旋轉任意角度后所構成的分數階域上的表示[14]，設某個線性調頻(Linear Frequency Modulation,LFM)分量的時頻分布與時間軸的夾角β，如圖1所示。只要分數階傅里葉變換的旋轉角度α與β正交，則該LFM信號會聚集在分數階傅里葉域u0一點上，此時的α為FRFT最佳旋轉角度，對應的階次p=2α/π為FRFT最佳階次。所以，按照一定階次步長Δp，對信號連續進行p∈[0,2]的FRFT，如果信號具有LFM特性，就會在分數階域坐標u和分數階次p構成的(p,u)平面上出現峰值，如圖2所示，實現LFM信號的檢測。

圖1 LFM信號在分數階域的能量聚集性

圖2 LFM信號FRFT幅度譜

基于FRFT確定基函數的多尺度線調頻基稀疏信號分解方法(Multi-scale chirplet sparse signal decomposition based on FRFT, MSCSD_FRFT)，具體分解流程如下：

(1)將長度為N的分析信號x(t)在不同的尺度系數j下，以N2-j為長度進行等分，形成動態時間支撐區集合I=[kN2-j～(k+1)N2-j]，動態時間支撐區長度必須大于32，長度太小影響分析結果，所以j=0,1,…,log2N-5為分析尺度系數，k=0,1,…,2j-1；

(2)對各動態時間支撐區內的信號xI(t)的FRFT幅值譜搜索峰值，確定基函數。如圖2中峰值點位置(p0,u0)，結合圖1中最佳階次、分數階域聚集點與頻率偏置a、頻率斜率2b的坐標關系，經過反歸一化處理[7]，得到該動態時間支撐區基函數的頻率偏置a和頻率斜率2b為

(6)

式中fs為離散觀測數據的采樣頻率，t0為觀測時間，根據a，2b確定最佳基函數為

ha,b,I(t)=Ka,b,Ie-i(at+bt2)lI(t)

(7)

式中Ka,b,I為歸一化系數，使得‖ha,b,I‖=1；lI(t)為矩形窗函數，當t∈I時為1，當t?I時為0；

(3)將動態時間支撐區內的信號xI(t)向該區間的基函數ha,b,I(t)投影得到投影系數βI，定義該動態時間支撐區下的分解信號為cI(t)：

βI=[xI(t),ha,b,I(t)]≈re-iφ/2

(8)

cI(t)=2|βI|e-i(at+bt2-angle(2βI))lI(t)

(9)

可見，分解信號cI(t)保留了信號的初始相位、幅值和頻率信息；

(4)連接動態時間支撐區，搜尋使分解信號能量最大的動態時間支撐區連接方法[15]，通過該連接方法形成的信號分量即為本次分解的信號分量；

(5)將分析信號減去分解信號分量，形成殘余信號；

(6)判斷殘余信號能量與分析信號能量之比是否小于終止分解閾值，若大于終止閾值，則將殘余信號作為新的分解信號重復(2)～(5)步，如果小于終止閾值則停止分解。

2.2 分段擬合確定頻率函數

圖3 基于稀疏信號分解的分段擬合

采集BJ2020S變速器置二檔變速過程振動信號，以輸入軸為參考的二檔嚙合頻率階比為12.03，采樣頻率40 kHz，采樣時間3.287 6 s。對振動信號進行基于FRFT的多尺度線調頻基稀疏信號分解，分解出的二檔嚙合頻率曲線如圖3(a)所示?？梢钥闯龌贔RFT的多尺度線調頻基稀疏信號分解在頻率變化簡單區間選擇大尺度基函數分解，在頻率變化復雜區間選擇小尺度基函數分解，分解出的嚙合頻率較好地吻合了實際頻率特征。分解嚙合頻率對應I1,I2,…,I6動態時間支撐區，由于各區間線性調頻基函數的瞬時頻率都是斜直線，在各區間端點連接處出現了鋸齒波動，為了更好地貼近實際頻率，對各區間分解頻率中間點進行三次樣條插值，根據插值后的嚙合頻率和階比，計算出插值后的瞬時轉頻(嚙合頻率/12.03)，結果如圖3(b)所示，插值后的瞬時轉頻能更好地貼近實際轉頻。

從圖3可以看出，變速器變轉速過程頻率呈曲線不規則變化，不同的變轉速過程，頻率曲線變化也會不同。傳統無轉速計階比方法采用單個多項式對頻率區間進行整體擬合，在整體趨勢和局部特征上難以兩全；當頻率變化復雜時，即使多項式階次很高，也難以貼近頻率變化特征擬合，而且對于不同信號，必須重新選擇合適的多項式階次，缺乏自適應性，工程實用性差。如果采用分段擬合，會適當降低擬合多項式階次并保證擬合精度，但如何根據頻率變化特征，自適應合理分段是需要解決的關鍵問題。

分析圖3(b)發現，在嚙合頻率分解信號對應的動態時間支撐區I1,I2,…,I6內，轉頻曲線變化比較簡單，有利于采用低階多項式準確擬合。因此，本文提出了一種基于FRFT多尺度線調頻基稀疏信號分解的分段擬合方法，即根據稀疏信號分解出的嚙合頻率信號對應的動態時間支撐區對插值后的轉頻曲線進行分段，在各分段內采用二階多項式擬合轉頻曲線，得到轉頻的分段擬合函數。該分段擬合方法的優點在于：

(1)無論頻率如何復雜變化，基于FRFT的多尺度線調頻基稀疏信號分解都能貼近信號頻率變化特點自適應地將信號分解在不同尺度的動態時間支撐區內，根據該動態時間支撐區對轉頻進行分段，既能保證各段內信號頻率變化簡單，又能使分段數最少；

(2)分段內頻率曲線近似線性變化，采用二階多項式就能準確擬合；對于不同的變轉速過程信號，稀疏信號分解都能將信號自適應分段成頻率變化簡單的若干段，不需要重新選擇合適的多項式階次，采用二階多項式都能準確擬合，提高了工程實用性。

因此，基于FRFT多尺度線調頻基稀疏信號分解的分段擬合方法是一種自適應尋優分段擬合方法，有效克服了單個多項式整體擬合精度不高和自適應差的問題，為分段擬合方法的合理分段探索了新的有效途徑。

2.3 積分逼近求解等角度采樣時刻

按照無轉速計階比分析原理，確定了頻率擬合函數fi(t)，就可以計算等角度重采樣時刻。要求圖4所示的區間Ii內的等角度重采樣時刻Tn，需要求解擬合頻率積分方程(10)中的實數解。當函數fi(t)階次較高時，會使其原函數Fi(t)階次較高，從而不容易求解以下方程，甚至沒有實數解，得不到準確的重采樣時刻Tn。

圖4 區間Ii的積分逼近

(10)

式中fi(t)為區間Ii內的擬合頻率函數，Nθi為區間Ii內的等角度采樣點數，可由下式求出。

(11)

式中t1i,t2i為區間Ii的時間起點和終點，Δθ為等角度采樣間隔。

(12)

設區間Ii內數據點數為N，等時間采樣間隔為ts，將Ii細化等分成M份，令ts′=ts/M，逐一計算時刻Tj=t1i+jts′,j=1,2,…,MN下的積分值q(j)為

(13)

n=1,2,…,Nθi

(14)

式(14)表明q(kn)與d(n)最接近，兩者相差Δn，則可近似認為Tkn就是區間Ii內第n個等角度重采樣時刻，即Tn=Tkn，為了更準確地逼近Tn，可以調整細化倍數M，M的選擇可權衡精度和計算量確定。以上就是基于積分逼近求解等角度重采樣時刻的原理，該方法不需要求解復雜方程，計算簡單、實現方便，無論頻率如何復雜變化，該方法都能求出等角度重采樣時刻，有效解決了擬合頻率積分方程難求解和方程無實數解對階比分析的影響。

綜合以上分析，歸納整理得基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉速計階比(Order spectrum with no tachometer based on MSCSD_FRFT and segmental fitting-integral approach，OSNT_MSFIA)算法流程如下：

(1)采用基于FRFT的多尺度線調頻基稀疏信號分解對振動信號進行分解，對分解出的嚙合頻率中間點進行三次樣條插值，根據插值后的嚙合頻率計算瞬時轉頻；

(2)根據嚙合頻率對應的動態時間支撐區Ii,i=1,2,…，NI(NI為分解頻率對應的動態時間支撐區個數)，對瞬時轉頻進行分段，并在各段內進行2多項式擬合，得出轉頻分段函數fi(t)；

(3)確定最大分析階次Omax，計算等角度采樣間隔Δθ≤π/Omax；

(4)計算區間Ii內等角度重采樣后數據點數Nθi；

(5)積分逼近求解等角度重采樣時刻Tn=Tkn；

(6)根據Tn對振動信號進行插值，實現等角度重采樣，對等角度重采樣后信號進行FFT，得到基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉速計階比譜。

3 仿真分析

本算例以頻率曲線變化的仿真信號，驗證基于單個多項式整體擬合并求解擬合頻率積分方程確定等角度重采樣時刻的傳統階比譜的局限性，檢驗基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的新階比的正確性和準確性。設仿真信號為

x=[cos(4π(t6+2t3/3+3t2+30t))+1]×1.5cos(10π(t6+2t3/3+3t2+30t))

(15)

仿真轉頻為

f(t)=t5+2t2+6t+30

(16)

仿真齒數為5，信號x被2倍轉頻調制，信號中包含階比為3，5，7的三個階比分量。采樣頻率為1 024 Hz，采樣點數為2 048點。對仿真信號x進行基于FRFT的多尺度線調頻基稀疏信號分解，分解出的嚙合頻率曲線如圖5(a)中實線所示，與實際嚙合頻率較好吻合；中間點插值后的嚙合頻率如圖5(b)中實線所示，很好地貼近了實際嚙合頻率。

圖5 方程求解階比譜和分段擬合積分逼近階比譜對比

根據插值嚙合頻率和仿真齒數計算出插值轉頻，分別對插值轉頻進行2，3階多項式整體擬合，結果如圖5(c)所示；根據分解嚙合頻率對應的動態時間支撐區，對插值轉頻進行分段，在各段內用2階多項式進行擬合，分段擬合結果如圖5(d)中虛線所示，整體擬合和分段擬合的誤差(絕對誤差)分析如表1所示。

結合圖5(c),(d)和表1可以看出，整體擬合時2階多項式擬合誤差較大，3階多項式擬合效果較好；分段擬合的結果幾乎與插值頻率重合，誤差最小，證明了基于稀疏信號分解的分段擬合的準確性。

表1 單一多項式整體擬合與分段擬合誤差分析

根據2階多項式整體擬合結果計算階比譜，結果如圖5(e)所示。圖中3個峰值階次為3.087，4.748和6.634，與理論階次3，5，7相差較大，這是2階多項式擬合精度低造成的階次模糊現象；根據3階多項式整體擬合結果計算階比譜，在求解個別等角度時刻時出現了方程無解或復數解，無法得到階比譜。可見，基于單個多項式整體擬合和求解擬合頻率積分方程的階比方法具有局限性，即低階多項式擬合精度低，階次模糊，高階多項式擬合精度高，擬合頻率積分方程難求解。

根據基于稀疏信號分解的分段擬合結果進行積分逼近，求取等角度重采樣時刻，計算階比譜，結果如圖5(f)所示，圖中2.964，4.929，6.894三個階比峰值獨立而突出，分別對應理論階次3，5，7。證明了基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉速計階比的正確性和準確性。

4 實例應用

試驗對象為BJ2020S變速器輸出軸軸承，試驗裝置構成如圖6所示。電動機模擬發動機驅動變速器，發電機模擬負載。輸出軸承型號為50307，采用電火花在軸承外圈上加工坑點模擬早期剝落故障，以輸入軸為參考軸，外圈故障特征階比為1.132。采樣頻率40 kHz，采樣時間3.287 6 s。

圖6 試驗裝置構成

為了驗證本方法分析實測振動信號的效果，對BJ2020S變速器置二檔時的變轉速過程振動信號進行分析。分解出的二檔嚙合頻率曲線如圖7(a)所示；根據插值后的分解嚙合頻率計算出瞬時轉頻，結果如圖7(b)所示，很好地貼近了實際轉頻；對瞬時頻率進行2，3，4階多項式整體擬合，結果如圖7(c)所示，都沒能很好地貼近瞬時轉頻，尤其是在端點處誤差更大。由于低階多項式擬合的階比譜會出現階次模糊，高階擬合頻率積分方程難求解，無法得到階比譜，因此無法對傳統階比譜進行解調判斷軸承有無故障。為了更好地檢驗本文方法的有效性，將基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的階比解調譜與有轉速計的實際階比解調譜進行對比。

圖7 實測信號分段擬合積分逼近階比譜

對瞬時轉頻進行基于稀疏信號分解的分段擬合，結果如圖7(d)所示，分段擬合頻率很好地吻合了瞬時頻率，證明了分段擬合的準確性；根據分段擬合結果，對各區間進行積分逼近求取等角度重采樣時刻，對等角度重采樣信號進行階比解調分析，結果如圖7(e)所示，圖中1.135及其倍頻階次處出現明顯峰值，與外圈特征階次1.132非常接近，有效提取出了外圈故障特征階次；根據轉速脈沖信號計算的階比解調譜如圖7(f)所示，圖中1.133及其倍頻階次處出現明顯峰值，與外圈故障特征階次1.132對應，可見圖7(e)，(f)都有效反映了外圈故障特征階次信息，證明了基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉速計階比方法分析實測信號的有效性，雖然與有轉速計階比相比精度略有差異，但已經能滿足故障特征提取要求。

5 結 論

(1)根據稀疏信號分解嚙合頻率對應的動態時間支撐區對轉頻進行分段，各區間內頻率變化簡單，分段數最少，是一種自適應尋優分段方法；

(2)在嚙合頻率分解區間內瞬時轉頻變化簡單，只需要采用2多項式就能準確擬合，無論頻率如何復雜變化，該方法都能高精度擬合，對于不同信號不需要重復選擇合適的多項式階次，有效解決了單個多項式整體擬合精度不高、缺乏自適應性的問題；

(3)求解擬合頻率積分方程確定等角度重采樣時刻，受方程有無根、有無實根的影響，不易獲取準確等角度重采樣時刻，影響階比分析精度；采用積分逼近方法，不需要求解方程，對任意信號都能求出等角度重采樣時刻，有效解決了方程根影響等角度重采樣時刻的問題；

(4)瞬時頻率準確估計和等角度時刻準確計算是無轉速計階比分析的關鍵步驟，基于稀疏信號分解的分段擬合積分逼近能更準確實現兩個關鍵步驟，為無轉速計條件下旋轉機械變轉速過程階比分析探索了一條新途徑。

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