一個關于無k次冪因子數的方程

杜曉英

（晉中學院數學學院，山西 晉中 030600）

對任意的正整數n和素數p，k≥2是任給定的整數如果有pk|/c(n)，則稱c(n)是自然數n的無次冪因子部分。在文獻[1]的第31個問題中,羅馬尼亞著名的數論專家F.Smarandache教授建議大家去研究無k次冪因子數c(n)的性質。關于這個問題很多學者已對它的多種性質進行了研究。例如，張天平在文獻[2]中運用解析方法研究并得到了一個有趣的漸近公式。在文獻[3]中，朱偉義研究了另一個關于無k冪因子數c(n)的性質，在文獻[4]中，劉燕妮和高鵬利用初等方法研究了一個關于無k次冪因子數的數論函數的性質，并計算出了它的均值。

我們建立然后研究探討了有關無k次冪因子數c(n)的方程，并得到了下面關于正素數解的結論:

定理令m為完全k次冪因子數，那么對任意正整數 k≥2,方程 c(n1)+c(n2)+…+c(nt)=mc(n1+n2+…+nt)有無窮組正素數解。

利用初等的方法以及相關的著名的歌德巴赫猜想來完成定理證明。為了引用的方便,我們把著名的陳景潤定理以及三素數定理給予簡單的介紹:

陳景潤定理:任意一個充分大的偶數2N都可以表示成2N=p1+p2,或者2N=p1+p2p3，其中 p1,p2及p3為互異的素數。

三素數定理:任意一個充分大的奇數都可以表示成三個奇素數之和。即2N+1=p1+p2+p3,其中p1，p2及 p3都為奇素數。

關于這兩個著名的數論定理證明可以參閱文獻[5]。

以此得到三素數定理的推廣結論:設k為大于3的奇數,那么任意充分大的奇數都能夠表示成k個奇素數的和。

利用上面的這幾個重要的結論完成定理證明。對任意完全k次冪因子數m都能夠容易的找到無k次冪因子數q,使得c(mq)=q成立,接下來我們分別討論t的幾種情況。

(a)當t=2的時侯,若m是偶數,則mq也是偶數,由陳景潤定理可以知道當mq充分大的話就有mq=p1+p2或mq=p1+p2p3,其中p1，p2及p3為各不相同的素數。取 n1=p1, n2=p2,或 是 n1=p1,n2=p2p3。則 有:mc(p1+p2)=mc(mq)=mq=p1+p2=c(p1)+c(p2)，或者mc(p1+p2p3)=mc(mq)=mq=p1+p2p3=c(p1)+c(p2p3)。由于 pi(i=1,2,3)是任取的素數,所以有無窮組(n1,n2)。也就是說待證方程有無窮組正素數解(n1,n2)。所以,定理的結論正確。

若m是奇數,而2整除q,那么mq也是偶數，因此與前面的情況相同。

即使q不能被2整除，2mq也一定為偶數,則通過陳景潤定理可以知道當2mq充分大的話就有2mq=p1+p2或者是2mq=p1+p2p3,其中 p1,p2,p3是互不相同的素數,2q是無k次冪因子數。因此滿足mc(p1+p2)=mc(2mq)=2mq=p1+p2=c(p1)+c(p2)或者是mc(p1+p2p3)=mc(2mq)=2mq=p1+p2p3=c(p1)+c(p2p3)。因此待證方程有無窮組正的素數解。

(b)當t=3的時侯,若m是偶數,則mq也是偶數,因此由陳景潤定理知，可以對充分大的無k次冪因子數q,有mq=2+p1+p2或者是mq=2+p1+p2p3,這里2,p1,p2,p3是互異的素數。因而有mc(2+p1+p2)=mc(mq)=mq=2+p1+p2=c()2+c(p1)+c(p2)或者是mc(2+p1+p2)=mc(mq)=mq。如果m是奇數,且2|q,則mq也是偶數，那么與前面的情況相同。

若2|/q,由三素數定理可以知道對于充分大的奇數q滿足mq=p1+p2+p3,令n1=p1,n2=p2,n3=p3,則mc(n1+n2+n3)=mc(p1+p2+p3)=mc(mq)=mq=p1+p2+p3=c(n1)+c(n2)+c(n3)成立，則待證方程有無窮多組正的素數解。

(c)當t＞3時,我們也將分成兩種情況來分別討論:

(i)若m是偶數,那么mq同樣也是偶數。當t為奇數時,對足夠大的q,mq同樣充分大,則由三素數定理的推廣結論設mq=2+p1+p2+…+pt-1,則mc(2+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=2+p1+p2+…+pt-1=c(2)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。

當t是偶數的時候,同時mq也充分大，則可由三素數定理的推廣結論得出mq=3+p1+p2+…+pt-1,因此就有mq(3+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=3+p1+p2+…+pt-1=c(3)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。即此時的待證方程仍然有無窮多組正的素數解(n1,n2,…,nt)。

(ii)當m是奇數時,而q是偶數,那么mq同樣是偶數,跟上面的情況一致。

如果q為奇數,則根據三素數定理的推廣結論容易得到當t為大于等于3的奇數時,mq=p1+p2+…+pt。因 此就有 mc(p1+p2+…+pt)=mc(mq)=mq=p1+p2+…+pt=c(p1)+c(p2)+…+c(pt)。這時可令n1=p1,n2=p2,…,nk=pt,由素數 p的任意性就可以得到定理。

若t是偶數,那么當mq充分大的時侯由三素數定理的推廣結論可以得到mq=2+p1+p2+…+pt-1。那么就有mc(2+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=2+p1+p2+…+pt-1=c(2)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。可以令n1=2,n2=p1,…nt=pt-1立刻就得出定理的結論。即此時方程同樣有無窮組正的素數解(n1,n2,…,nt)。

結合以上的各種不同情況就完成了該定理的證明。

[1]F Smarandache.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago：XiquanPublishing House,1993.

[2]Zhang Tianping.On thek-Power Number Free Number Sequence[J].Smarandache Notion Journal,2004（14）:62-65.

[3]Zhu Weiyi.On thek-Power Complement and Onk-Power free Number Sequence[J].Smarandache Notion Journal,2004（14）:66-69.

[4]Liu Tanni and Gao Peng.Mean value of a new arithmeticfunction[J].Scientia Magna,2005（1）:187-189.

[5]潘承洞，潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科學出版社.1979.