Hom-Leibniz代數的直和

張永平, 王欣彥

(沈陽化工大學 數理系， 遼寧 沈陽 110142)

Hom-代數是代數形變理論中的一類. 最早，Hom-代數理論是19世紀Hartwing、Larsson和Silvestrov在研究Witt代數和Virasoro代數的一種量子形變時引進的[1].李代數是現代數學中的基本研究對象.Hom-Lie代數相對于李代數多了一個雙線性同態映射α，且滿足Hom-Jacobi等式,當α=id時， Hom-Lie代數即為李代數.因此， Hom-Lie代數包含了李代數. Hom-Leibniz代數是Hom-Lie代數的定義中少了一個條件：不滿足反對稱性.這說明Hom-Leibniz代數是比Hom-Lie代數更廣的一類代數[2].

Hom-代數有Hom-Lie代數、Hom-Lie超代數、Hom-Leibniz代數、Hom-Lie color代數等. Leibniz代數滿足反交換時是Lie代數,類似地可以想到與Hom-Leibniz代數聯系比較密切的是Hom-Lie代數. Hom-Leibniz代數作為一種代數體系相對于Hom-Lie代數的條件有所放寬，一般情況下,這會使兩個代數的性質有所不同.Hom-Leibniz代數的同調和泛中心擴張、Hom-Leibniz代數的性質在文獻[3-4]中已有研究.本文證明了Hom-Lie代數的某些性質[5]在Hom-Leibniz代數上仍然是成立的.

1 預備知識

定義1[6]Leibniz代數L是一個向量空間,其上定義了一個括積運算[,]:L×L→L,滿足等式:

[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]

?x,y,z∈L

定義2[6]Hom-代數是一個三元組(g,[,],α)，g是一個K向量空間，“[,]”是g上的一個二元運算，α是一個線性映射，α:g→g，滿足

α[x,y]=[α(x),α(y)] ?x,y∈g

(1)

定義3[6]一個左Hom-Leibniz代數是一個Hom-代數(g,[,],α)滿足如下等式:

[α(x),[y,z]]=

[[x,y],α(z)]+[α(y),[x,z]]

(2)

以下將左Hom-Leibniz代數簡稱為Hom-Leibniz代數.

定義4 Hom-Leibniz代數的同態φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一個線性映射φ:g→h滿足

φ[u,v]=[φ(u),φ(v)] ?u,v∈g

φ°α=β°φ

(3)

記Dφ=(u,φ(u))?g⊕h

例1 設(L,[,])是一個Leibniz代數，α:L→L是L的自同態,

α([x,y])=[α(x),α(y)],?x,y∈L.

令[,]α=α([x,y])，則(L,[,]α,α)是Hom-Leibniz代數.

2 主要結果

命題1 給出兩個Hom-Leibniz代數(g,[,],α)和(h,[,],β)，那么得到一個新的Hom-Leibniz代數(g⊕h,[,],α+β).定義二元運算和線性映射如下：

Λ2:g⊕h→g⊕h

[(u1,v1),(u2,v2)]=([u1,u2],[v1,v2])

?u1,u2∈g,v1,v2∈h

α+β:g⊕h→g⊕h

(α+β)(u,v)=(α(u),β(v))

?u∈g,v∈h

證明：

(α+β)[(u1,v1),(u2,v2)]=

斯內靈堡是以斯內靈上校的名字命名的——斯內靈上校曾命人在瀑布上修建磨坊和鋸木廠。在圣保羅作為貿易市鎮漸漸揚名的時候，明尼阿波利斯成了著名的貨物生產地。就這樣，一個是生產中心，一個是貿易中心，明尼阿波利斯和圣保羅兩座城市就像池塘里的漣漪一樣不斷外擴，漫過樹林和荒草，沿懸崖朝彼此慢慢延伸。野地里的土路逐漸成為一條條整齊的街道，兩座城市的房屋順著街道連接在了一起。這兩座起初由大河相連的城市現在成了孿生雙子城，如今行走在公園林蔭路上的外地人不時地詢問一下自己所在的位置屬于雙子城的哪一座。

(α[u1,u2],β[v1,v2])=

([α(u1),α(u2)],[β(v1),β(v2)])=

[(α(u1),β(v1)),(α(u2),β(v2))]=

[(α+β)(u1,v1),(α+β)(u2,v2)]

表明(1)式成立.下證(2)式成立.

[(α+β)(u1,v1),[(u2,v2),(u3,v3)]]=

[(α(u1),β(v1)),([u2,u3],[v2,v3])]

又

[[(u1,v1),(u2,v2)],(α+β)(u3,v3)]+

[([u1,u2],[v1,v2])，(α(u3),β(v3))]+

[(α(u2),β(v2)),([u1,u3],[v1,v3])]=

([[u1,u2],α(u3)],[[v1,v2],β(v3)])+

([α(u2),[u1,u3]],[β(v2),[v1,v3]])=

([[u1,u2],α(u3)]+

[α(u2),[u1,u3]],[[v1,v2],β(v3)]+

[β(v2),[v1,v3]])=

([α(u1),[u2,u3]],[β(v1),[v2,v3]])=

[(α(u1),β(v1)),([u2,u3],[v2,v3])]

得證.

命題2一個線性映射φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一個Hom-Leibniz代數同態,當且僅當Dφ?g⊕h是(g⊕h,[,],α+β)的一個Hom-Leibniz子代數.

證明：設φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一個Hom-Leibniz代數同態，那么對于?u,v∈g，有:

[(u,φ(u)),(v,φ(v))]=

([u,v],[φ(u),φ(v)])=

([u,v],φ[u,v])

由此可知Dφ在二元運算[,]下是封閉的.

由(3)式有:

(α+β)(u,φ(u))=(α(u),β°φ(u))=

(α(u),φ°α(u))

表明(α+β)(Dφ)∈Dφ,因此，Dφ是(g⊕h,[,],α+β)的一個Hom-Leibniz子代數.

反過來：若Dφ∈g⊕h是(g⊕h,[,],α+β)的一個Hom-Leibniz子代數,則運算封閉,有：

[(u,φ(u)),(v,φ(v))]=

([u,v],(φ(u),φ(v)))∈Dφ

這個式子說明[φ(u),φ(v)]=φ[u,v].

又因為(α+β)(Dφ)?Dφ，所以，

(α+β)(u,φ(u))=

(α(u),β°φ(u))∈Dφ

上式說明β°φ(u)=φ°α(u),即β°φ=φ°α,因此,φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一個Hom-Leibniz代數同態.

得證.

3 結束語

本文對Hom-Leibniz代數的直和做了一些討論，Hom-Leibniz代數的導子、表示等還有待進一步研究.

參考文獻：

[1] Hartwig J T, Larsson D, Sliverstrov S D.Deformation of Lie Algebras Usingα-derivations[J].J Algebra, 2005,295(2):314-361.

[2] Makhlouf A, Silvestrov S D.Hom-algebra Structure[J].J.Gen.Lie Theory Appl,2008,2(2):51-64.

[3] Cheng Yongsheng,Su Yucai.(Co)Homology and Universal Central Extension of Hom-Leibniz Algebras[J].Acta Mathematica Sinica,2011,27(5):813-830.

[4] Nourou ISSA A.Some Characterizations of Hom-Leibniz algebras[DB/OL].(2010-11-08).http://arxiv.org/pdf/1011.1731.pdf.

[5] Sheng Yunhe.Representations of Hom-Lie Algebra[J].Algebras and Representation Theory,2012,15(6):1081-1098.

[6] 徐麗媛，王春月，張若蘭，等.低維Hom-Leibniz代數分類[J].吉林大學學報(理學版),2013,51(1):74-82.