關于復正規矩陣的2個不等式

沈 浮，夏必臘，周堂春

(解放軍陸軍軍官學院數學教研室，安徽 合肥230031)

0 引言

矩陣不等式是矩陣理論中的一個很重要內容。隨著矩陣理論的迅速發展及其在自然科學、工程技術和社會經濟等領域的廣泛運用，關于矩陣不等式的新結果層出不窮。文獻［1］中的定理3.9指出:當A是Hermite矩陣時，則有λmin(A)E≤A≤λmax(A)E。文獻［2］中定理6.2.2又指出:當A和B為2個非負定的Hermite矩陣時，則有0≤trAB≤λmax(A)trB≤rtA·trB。這2個結果都是針對Hermite矩陣的，本文對復正規矩陣進行了研究，得出了更進一步的結論。

本文中，用Re(z)表示復數z的實部，用λmin(A)和λmax(A)分別表示Hermite矩陣A的最小特征值和最大特征值，用λRmin(A)和λRmax(A)分別表示復矩陣A實部最小的特征值和實部最大的特征值，用tr(A)記矩陣A的跡，向量x的共軛轉置用xH，E表示n階單位矩陣。

1 基本概念及相關引理

定義1:設A∈Cn×n，若對任意非零列向量x∈Cn×1，都有

則稱A為復正定矩陣(或復非負定矩陣)，記作A＞0(或A≥0)。

顯然，當A為Hermite正定(非負定)矩陣時，它也是復正定(非負定)矩陣。

定義2:設A、B∈Cn×n，如果A－B是復正定矩陣(或復非負定矩陣)，則稱復矩陣A大于復矩陣B(或稱復矩陣A大于或等于復矩陣B)，記作A＞B(或A≥B)。

本文要用到復正定(非負定)矩陣以下幾個重要結果，把它們作為引理1。

引理1［1］:(1)設A=(aij)n×n∈Cn×n，且A是復正定矩陣(或復非負定矩陣)，則Re(aii)＞0 (或Re(aii)≥0)(i=1，2，…，n)。

(2)A是復正定(非負定)矩陣的充要條件是:A+AH為Hermite正定(非負定)矩陣。

(3)復對角矩陣A=diag(λ1，λ2，…，λn)是復正定(非負定)矩陣的充要條件是:Re(λi)＞0 (Re(λi)≥0)，i=1，2，…，n。

(4)設A、B∈Cn×n，若A＞B，P為n×m的列滿秩矩陣，則PHAP＞PHBP;當P不是列滿秩時，由A≥B只能推出PHAP≥PHBP。

定義3:如果方陣A∈Cn×n滿足AAH=AHA，則稱A為正規矩陣。

引理2［3］:A∈Cn×n，則A酉相似于對角矩陣的充分必要條件是:A為正規矩陣。……