一類滿足?rmander條件的奇異積分算子交換子的Lp有界性

曹 美 陽

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 332200)

曹 美 陽

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 332200)

交換子；奇異積分算子；sharp極大函數(shù)

1 引言和主要結(jié)果

奇異積分算子及其交換子的有界性在調(diào)和分析和偏微分中有重要的應(yīng)用。在文獻(xiàn)[1,2]中，Coifman和Janson等分別證明了由奇異積分算子和BMO函數(shù)生成的交換子在Lp(Rn)(1

定義1：設(shè)函數(shù)K∈L2(Rn)。存在常數(shù)C0>0使得：

(2)|K(x)|≤C|x|-n；

文獻(xiàn)[5,6]中考慮了一類變形的H?rmander的條件，并且得到相應(yīng)奇異積分算子的加Lp有界性。

定義2：設(shè)函數(shù)K∈L2(Rn)滿足條件：

(1)‖K‖L∞≤C；

(2)|K(x)|≤C|x|-n；

(4)對于10和Cr>0，使得對任意的y∈Rn和R>cr|y|，有

ander條件。張璞等在文獻(xiàn)[8]中證明滿足上述Lr-H?rmander條件的奇異積分算子是Lp有界的。

令b為Rn上的局部可積函數(shù)，其與T生成的交換子定義為：

Tb(f)(x)=b(x)Tf(x)-T(bf)(x)。

本文主要結(jié)果如下。

2 預(yù)備知識(shí)和需要的引理

首先，回顧一些基本定義。

定義3：令Φ={φ1,…,φl}為Rn上的有界函數(shù)，對局部可積函數(shù)f，定義Φ sharp極大函數(shù)為

φi(xQ-y)|dy，

其中下確界取遍所有的1重復(fù)數(shù){c1,…,cl}，xQ為方體Q的中心。

本文中，Q表示Rn中的方體，給定方體Q和Rn上的局部可積函數(shù)f，令

和

眾所周知(見文獻(xiàn)[3,7])，

如果M#(f)(x)屬于L∞(Rn)，則稱函數(shù)f屬于BMO(Rn)，且令

‖f‖BMO=‖M#(f)‖L∞。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，有

‖f-f2kQ‖BMO≤Ck‖f‖BMO。

記

下面引入一些證明過程中需要的引理。

引理1[8]：令T為定義1所述奇異積分算子，則T在Lp(Rn)(1

3 定理的證明

f(y)dy。

固定方體Q=Q(x0,d)，使得x∈Q，則

Tb(f)(x)=(b-bQ)Tf(x)-T((b-bQ)f)

(x)

因此

下面分別估計(jì)Ⅰ與Ⅱ。首先估計(jì)Ⅰ。利用H?rmander不等式，

為估計(jì)Ⅱ，將f分解：f=f1+f2，其中f1=fχ2Q(x)，f2=f-f1。則

再分別估計(jì)Ⅱ1和Ⅱ2。選取1

對Ⅱ2，當(dāng)x∈Q時(shí)，有

針對Ⅱ21，利用|b2k+1Q-b2Q|≤k‖b‖BMO，

根據(jù)H?lder不等式，有

對Ⅱ22，取t>r，使用H?lder不等式，有

綜上所述，得

最后證明定理2。

定理2的證明：在定理1中，選取1

[1] Coifman R R,Rochberg R,Weiss G.Fractorization theorems for Hardy spaces in several variables[J].Ann.of Math,1976,103:611-635.

[2]Janson S.Mean oscillation and commutators of singular integral operators[J].Ask.Math,1978,16:263-270.

[3]Trujillo-Gonzalez R.Weighted norm inequalities for sing- ular integral operators satisfying a variant ofH?rmander′scondition[J].Comment.Math.Univ.Carolin,2003,44:137-152.

[4]Pe′rezC.Endpoint estimate for commutators of singular integral operators[J].J.Func. Anal,1995,128:163-185.

[5]Garcia-Cuerva J,Rubio de Francia J L.Weighted Norm Inequalities and Related Topics[J].North-Holland Math.Amsterdam,16,1985.

[6]Grubb D J,Moore C N.A Variant ofH?rmander′s condition for singular integrals[J].Colloq.Math,1997,73:165-172.

[7]Lorente M,Riveros M S,de la Torre A.Weighted estimates for integral operators satisfyingH?rmander′s condition of Young type[J].Journ Fourier Anal Appl,2005,(11):495-509.

[8]張 璞,張代清.變形H?rmander條件與奇異積分算子的加權(quán)估計(jì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2……