半模正合列的性質(zhì)

江小霞，王頌生，毛 渝，許 娣

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌330022)

1 引言和預(yù)備知識(shí)

在半模范疇，半模的正合列的定義一般有2種，一種是利用元素的觀點(diǎn)，另一種是利用同余的觀點(diǎn)。文獻(xiàn)［2，3］采用了同余觀點(diǎn)定義的半模正合列。這里采用另一定義，即文獻(xiàn)［1］中半模正合列的定義，得到比文獻(xiàn)［2，3］更完善的結(jié)論，如定理1。同時(shí)，將文獻(xiàn)［4，5］中模的正合列的性質(zhì)推廣到半模中。文中半環(huán)和半模的定義均出自文獻(xiàn)［6］。

定義1:設(shè)M為左R-半模，且a∈M。若對(duì)于任意b，c∈M，由a+b=a+c可推出b=c，則稱a為M中的可消元。如果M中所有的元素都是可消的，則稱M為可消半模。

定義2:設(shè)A是半模，且B是A的一個(gè)子半模。若對(duì)于任意x∈A以及任意y∈B，由x+y∈B可推出x∈B，則稱B是A的可減子半模。

設(shè)A和B是R-半模，f∶A→B是半模同態(tài)，給出記號(hào)

定義3:記號(hào)如上，若ρkerf是A上最小同余，則稱f為單同態(tài);若對(duì)于任意b∈B，?ai∈A(i=1，2)和x∈B，使得b+f(a1)+x=f(a2)+x，則稱f為epic;若對(duì)于任意b∈B，?a∈A，使得f(a)=b，稱f是滿同態(tài);若f既是單同態(tài)又是epic，則稱f是equivalance;若f既是單同態(tài)又是滿同態(tài)，則稱f是同構(gòu);若f(A)=Im f，則稱f是i-正則的;對(duì)于任意a，a'∈A，如果由f(a)=f(a')可以推出存在k，k'∈Kerf，使得a+k=a'+k'，則稱f是k-正則的;若f既是i-正則的，又是k-正則的，則稱f是正則的。

定義4［1］:設(shè)有非零R-半模Mi及半模同態(tài)fi組成的一個(gè)序列

若對(duì)所有的 i，均有≡fi－1(Mi－1)=ρkerfi，則稱這個(gè)序列為正合列。

命題5［1］:設(shè)A、B和C是R-半模，f和g是半模同態(tài)，則

命題8(因子定理［7］):設(shè)M，M'，N'，N是左R-半模，且設(shè)f∶M→N是R-半模同態(tài):

(1)設(shè)g∶M→M'是k-正則滿同態(tài)且滿足Kerg?Kerf，則存在唯一的半模同態(tài)h∶M'→N，使得f=gh。

(2)設(shè)g∶N'→N是i-正則單同態(tài)且滿足Im f?Im g，則存在唯一的半模同態(tài)h∶M→N'，使得f =gh。

2 半模正合列的性質(zhì)

定理1:設(shè)A，Ai(i=1，2)，A'i(i=1，2)均為左R-半模。若下列圖表交換，且水平和垂直方向的序列均為短正合列，則