復變函數與積分變換課程的教學實踐探析

郝鐵鋼

（東北林業大學，黑龍江哈爾濱150040）

復變函數與積分變換是工程數學系列中一門重要的課程，它廣泛應用于力學、熱學、空氣動力學、電學、通訊和自動化等眾多領域，為相關專業后續的專業課學習必不可少的數學工具。比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用復變函數解決了飛機機翼的結構問題，他在運用復變函數解決流體力學和航空力學方面的問題上也作出了貢獻。作為一門大學數學課程，復變函數與積分變換是高度抽象性與嚴密邏輯性的統一，但高度抽象性與嚴密邏輯性也造成了初學者學習該課程的一大障礙，本人多年從事復變函數與積分變換的教學與研究工作，總結了一些該課程的教學經驗和方法，現在簡單介紹一下。

一、類比化教學

類比是一種推理方式，它將兩個不同的對象進行比較，基于二者所具有的一些相同或相似的屬性來推測它們可能具有的其他相同或相似的屬性。［1］復變函數中有許多理論類似于高等數學，在教學實踐中可以利用兩門課程的相似點進行類比化教學。

例如在高等數學和復變函數都有Abel定理，其中高等數學Abel定理中收斂區域是一個對稱的開區間，由于復變函數中的復數實際上是二維的，收斂區域自然不能僅僅是一維開區間，學生自然會想到應該是個二維的開圓域，這樣在給出復變函數Abel定理就很順其自然了。

此外，根據Fourier變換和Laplace變換中理論并行和處理方法類似的特點也可以進行類比化教學。

通過類比化教學有利于加深理解，減少不必要的理論闡述，削繁為簡，優化理論結構，化難為易，使陌生變得熟悉，使模糊變得清晰。

二、對比化教學

對比是把具有明顯差異、矛盾和對立的雙方安排在一起，進行對照比較的表現手法。對比化教學是對比手法在教學中的應用，它是利用兩類教學內容的矛盾和不同點進行比較的教學方法，以加深其中之一或兩者的共同理解。仔細研究會發現復變函數與積分變換中到處出現了對比。可導和解析，Taylor級數和Laurent級數，Fourier變換和Laplace變換等等，都為進行對比化教學提供了廣闊的施展空間。

對于一個點來說，可導和解析是不同的，而對于一個區域來說可導和解析卻是相同的。

可導函數的導數不一定可導，而解析函數的導數卻一定解析；Taylor級數展開范圍是圓域，而Laurent級數展開范圍是圓環域；這些理論的對比闡述一定會加深學生對該課程的理解，使學生在腦海中形成鮮明的認知，給人們以深刻的印象和啟示。教師要不僅了解教學內容，還要善于總結教學內容中的不同點和相同點，在相同中尋找不同，在不同中探究相同，從而進行對比化教學，這樣會收到良好的教學效果。

三、通俗化教學

數學在本質上是研究抽象了的東西，而這些抽象了的東西來源于現實世界，是被人抽象出來的。［2］大學數學教學中普遍遇到的問題是理論抽象，理解困難。但是教師還是可以通過體味生活，在形象化和生動化中去尋找解決問題的答案。

兩個與路徑無關的積分相減時，后一積分可以重復前一積分的路徑，且重疊部分可以抵銷，這里可以借用小品里的一句話“走別人的路讓別人無路可走”。

閉路變形原理中的簡單閉合曲線的連續變形按照膠皮套的伸縮來講解，奇點比作在變形過程中遇到的釘子，如果不遇到釘子那么則是連續變形，積分值是不變的，而遇到釘子，積分值是可以改變的。而復合閉路定理中的簡單閉合曲線一個變為多個則可以比做劉謙的魔術。

學生聽了很有新鮮感，也加深了對這些抽象數學理論的記憶，收到良好的課堂教學效果。

四、形象化教學

對于抽象的數學理論還可以通過形象化的圖形來表現其原始面貌，正如康德在他的巨著《純粹理性批判》中所指出的，人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結束。［3］我們為了還原抽象概念和理念的本質必需從直觀開始，這里圖形無疑是最簡單最有效的。在復變函數與積分變換教學中有大量的理論可以用直觀圖形來體現，圖形最好用彩色的粉筆來繪制，一些細節用什么顏色要被固定下來。所用顏色在整個學期授課的過程保持一致，這樣學生的思想中就會形成一定的固定化形象模式，對數學理論的理解和推演十分有益。

比如，我習慣于將將解析區域和級數收斂區域畫成同一顏色，因為無論對于Taylor級數還是Laurent級數來說，解析區域和級數收斂區域都是重合的。這樣在講到Taylor展開定理和Laurent展開定理時，即使定理條件還未說，學生已經從以往教學中的解析區域和級數收斂區域的顏色判斷出端倪了。

形象化教學中還包括用MATLAP等圖形處理軟件來表現積分變換等理論，在這方面已有很多人作出嘗試，楊潤生［4］等還提出了設立MATLAP選修課的設想。

五、探究式教學

探究式教學在教師的指導下，以學生為主體主動地探索，掌握認識和解決問題的方法和步驟，研究發現事物發展的起因和事物內部的聯系，從中找出規律，形成自己的理念的教學方法。

復變函數與積分變換是一門十分講究邏輯的學科，也是具有廣泛應用的學科。可以從某一理論出發，設計問題，逐步探究，最后導出下一理論或者是某些實際應用。

比如通過解析函數的表達式入手，逐步推導出物理學中力函數與勢函數在解析函數中的統一，從而利用復勢理論來研究導線電場與點源靜電場，并且可以讓學生了解到力函數與勢函數的相互正交關系，甚至可以引伸到萬有引力場中引力與勢的關系以及流體力學中流與勢的關系。在這一過程中教師要不斷用啟發性問題，引導學生逐步前進，并結合學生的實際情況，在關鍵的難點給與一定的提示，但要注意留有一定想象空間，以便學生可以適度發揮。教師要適時評價不同處理方法的優劣與閃光點，培養學生的自主探究問題的能力。讓學生了解到復變函數與積分變換不是完全建立在缺乏實際意義基礎上的空殼，而是一門饒有趣味并且是實用性很強的課程科。

六、自助式作業批改法

在教學實踐中本人創造了一種“自助式作業批改法”，自助式教學設計［5］的一部分，步驟如下：

（1）學生用黑筆寫作業，并簽名交予課代表；

（2）教師講解作業題的正確解題步驟；

（3）課代表將作業隨機發給學生，并確保每人都沒有拿到自己的作業；

（4）學生用藍筆批改作業，務必做到全批全改，即錯誤的要劃線并改正過來，并且簽名；

（5）學生再次交作業，教師用紅筆批改，并根據學生做作業和批改作業情況給出該生的平時成績。

自助式作業批改法是為了有效調動學生能動性的“二次作業批改法”，在這里教師的批改已讓位于學生的批改，已不再發揮主要作用。實行了這種“自助式作業批改法”后學生不僅寫作業較為積極，并且出現了自發地針對某一道題作法展開討論的現象。一些同學為了體現自己批改作業認真，甚至在批改作業中用了大量的講解性語言。令人欣喜的是在批改作業過程中出現大量創新性做法，雖然一些方法還有缺陷，但的確體現了學生對此問題的個人獨特理解。

不同的學習者具有不同的學習態度、起始能力、已有知識和個性特征，這些能力和特征直接或間接地影響著學習者的學習效果。在教學中只有通過多元化的教學手段，認真分析教學中的各個環節，結合教學對象的實際情況來設計教學模式，才能最終破解該課程的抽象理論，收到良好的教學效果。

［1］閆志蓮.復變函數與積分變換課程教學方法改革與實踐［J］.安徽工業大學學報（社會科學版），2012（1）：129～130.

［2］張勝利，孔凡哲.數學抽象在數學教學中的應用［J］.教育探索,2012，（1）：68～69.

［3］康德.鄧曉芳譯，純粹理性批判［M］.北京：人民出版社，2004.

［4］楊潤生，歐陽文，唐寶慶.工科專業復變函數與積分變換課程實踐教學探析［J］.湖南工業大學學報，2010，（2）：102～105.

［5］郝鐵鋼.自助式教學設計在高等數學教學中的實踐［J］.教育探索,2007，（5）：41～42.