球帶法求光通量的誤差分析及改進

徐海涵

(國家廣播電視產品質量監督檢驗中心，北京 100015)

1 球帶法簡述[1]

如圖1所示，由已知光強分布I(φ,θ)求總光通量的公式如下：

(1)

Ftot為總光能量，φ和θ的含義如圖1所示，以下相同。

求部分光通量的公式為：

(2)

對于軸對稱光源，式(1)、式(2)變為：

(3)

(4)

圖1 光強積分示意圖Fig.1 Schematic drama: luminous intensity integrating

球帶法是為了簡化分布式光度計的測量和計算而對式(3)和式(4)作出的一些變化。如圖2所示，將球面分成許多球帶，各個球帶對應的光強分別為I1，I2，I3，……，In，這時由式(4)可以推導出各球帶所對應的光通,如下：

圖2 球帶的分割Fig.2 Schematic drama: Division of sphere-band

(5)

式(5)中Fi為第i個球帶的光通量，θ含義見圖2，注意θ是從θ0到θn。

總光通量為：

(6)

式(5)為球帶法計算光通量的基本公式。按照球帶的分割方法，球帶法還可分為等角度法和等立體角法，其基本原理是相同的，在此不再詳述。

2 對球帶法公式的改進

從球帶法的基本公式(5)的推導過程可以看出，式(5)成立的條件是在整個球帶上光強I是一個常數；式(6)成立的條件是I為以下這樣一個非連續的函數：

但這與實際的情況是不同的。實際上，I隨θ是連續變化的；在每一球帶上，假定I隨θ是線性變化的，這更符合實際的情況。在這個前提下，我們將對球帶上的光通量公式進行重新推導。

設球帶邊界的θ角分別為θi-1和θi，光強I隨θ線性變化，其斜率是a，中心點(θi-1+θi)/2的光強為Ii，此Ii也就是式(5)中的球帶對應的光強。任意θ角的光強公式如下：

=2πa[(sinθi-θicosθi)-(sinθi-1-θi-1cosθi-1)]+2πb(cosθi-1-cosθi)

(7)

=2πIi(cosθi-1-cosθi)+2πa[(sinθi-θicosθi)-(sinθi-1-θi-1cosθi-1)]-πa(cosθi-1-cosθi)(θi-1+θi)

(8)

式(8)為改進后球帶法(以下稱其為新球帶法)的基本公式。以示區別，把本文第1節中的方法稱為舊球帶法，其基本公式為式(5)。

3 舊球帶法誤差分析

比較式(8)和式(5)，可以看出：它們的前半部分[2πIi(cosθi-1-cosθi)]是相同的，差異在式(8)的后半部分，這一部分即為舊球帶法的誤差，記為：

(9)

以下對這一誤差進行詳細分析。

首先，誤差與a成正比，即在某一球帶兩邊界的光強相差越大，則用舊球帶法計算光通的誤差越大。其次，除a以外的部分：

(10)

姑且稱之為“誤差因數”，是一個只與θ角以及Δθ(即θi-θi-1)相關的量，其與θ角及Δθ的關系如圖3所示。

圖3 舊球帶法“誤差因數”與θ角以及Δθ的關系Fig.3 Correlation curve between the error factor of old sphere-band method and θ for different Δθ

從圖3中可以看出：此“誤差因數”在兩極部分最大，在“赤道”附近最小。實際上，如果分成上下兩個半球的話，它們是對稱的，這一點很好理解。另外，此“誤差因數”隨Δθ的減少而快速減小，即球帶劃分劃細，則誤差越小。在Δθ分別為1°、5°、10°時，對同一球帶進行光通量計算(假定a相同)，其光通量誤差分別相差約1個數量級。同時，這一“誤差因數”有正有負，因此在計算整個空間的光通量時，有可能有相互抵消的作用，從而有可能使總光通量的誤差減小。

4 實例分析與驗證

以下通過實例進行分析與驗證。前面的幾個例子I分布是特例(在現實中不一定存在)，但通過式(3)能積分計算出光通量，由此可對新舊球帶法進行驗證；后幾個是實際光源光強分布的實例。

4.1 半空間線性分布(見圖4)

由表1結果可見，舊球帶法在Δθ較大的情況下計算結果與實際光通量值有較大誤差，Δθ為10°的情況下誤差為0.445%，5°情況下約為0.1%；到Δθ為1°時誤差才能減小到基本可以忽略的程度。而用新球帶法計算則不存在誤差。

圖4 驗證實例4.1的光分布：半空間線性分布Fig.4 Luminous intensity distribution of example 4.1: semi-direction linear

表1 實例分析與驗證：半空間線性分布計算結果Table 1 Result of example: semi-direction linear distribution

4.2 全空間線性分布(見圖5、表2)

從總光通量來看，新舊兩種方法計算出的結果是相同的，并且誤差為0。但如果單獨計算下半球或上半球光通量，就會發現與實例1中相同的情況，即Δθ較大時誤差較大。只不過下半球是正誤差、上半球是負誤差，對總光通量來說，正負誤差相加剛好給抵消掉了。這正是在第3節中分析過的計算全光通量時誤差抵消的實例。

圖5 驗證實例4.2的光分布：全空間線性分布Fig.5 Luminous intensity distribution of example 4.2: omni-direction linear

表2 實例分析與驗證：全空間線性分布計算結果Table 2 Result of example: omni-direction linear distribution

4.3 LED射燈No.1(見圖6、表3)

Δθ為10°時，新舊方法計算結果誤差為4.24%、2.19%，Δθ為5°時則分別為1.07%、0.55%。由結果可見：當Δθ較大時，由于未能準確體現出光源光強分布的真實情況，因此Δθ為10°和5°時兩種方法求出的光通量誤差都比較大，但相對而言用新球帶法計算出的誤差更小，更接近真實光通量值。

圖6 驗證實例4.3：LED射燈No.1的光分布Fig.6 Luminous intensity distribution of example 4.3: LED reflector lamp No.1

表3 實例分析與驗證：LED射燈No.1Table 3 Result of example: LED reflector lamp No.1

4.4 LED射燈No.2(見圖7、表4)

其結果與實例4.3類似。

圖7 驗證實例4.4：LED射燈No.2的光分布Fig.7 Luminous intensity distribution of example 4.4:LED reflector lamp No.2

表4 實例分析與驗證：LED射燈No.2Table 4 Result of example: LED reflector lamp No.2

4.5 LED筒燈No.1(見圖8、表5)

圖8 驗證實例4.5：LED筒燈No.1的光分布Fig.8 Luminous intensity distribution of example 4.5: LED downlight No.1

表5 實例分析與驗證：LED筒燈No.1Table 5 Result of example: LED downlight No.1

4.6 LED筒燈No.2(見圖9、表6)

圖9 驗證實例4.6：LED筒燈No.2的光分布Fig.9 Luminous intensity distribution of example 4.6: LED downlight No.2

表6 實例分析與驗證：LED筒燈No.2Table 6 Result of example: LED downlight No.2

4.7 LED球泡燈(見圖10、表7)

圖10 驗證實例4.7：LED球泡燈的光分布Fig.10 Luminous intensity distribution of example 4.7: LED bulb lamp

表7 實例分析與驗證：LED球泡燈Table 7 Result of example: LED bulb lamp

5 結論

如果假定光強在球帶上隨θ角線性變化，則根據數學推理，應按改進后球帶法的式(8)計算該球帶的光通量。這樣計算出的光通量相比舊球帶法式(5)計算出的光通量誤差小，理論分析(圖3，式(9))第4節中的實例均證明了這一點。

據筆者的了解，在利用光強分布計算總光通量或部分光通量的實際應用中，仍多采取式(6)的求和方法進行(對非軸對稱光源，先對光強在水平面上求平均，再利用此式),如本文的分析，在Δθ足夠小的情況下(3°或更小)，計算誤差較小。但如果Δθ比較大(>5°)，并且光強在垂直方向上變化較大時(例如射燈、筒燈等方向性光源)，計算誤差會較大。但無論如何，這種計算誤差都是客觀存在的。因此，筆者認為在高精度要求的場合，有必要對按式(5)計算造成的計算誤差進行估算，如果誤差較大，應按式(8)的算法進行修正。

更進一步，在所有要應用到球帶光通量的場合，例如LM79-08、GB/T 29293—2012等標準中求平均色度時，都應該對按式(5)計算造成的計算誤差進行評估，特別是在這兩個標準中Δθ都為10°。

[1] 周太明,周詳,蔡偉新.光源原理與設計[M].2版.上海：復旦大學出版社，2006.