問學施教 簡中求道

朱占奎

當今社會，繁榮的背后充斥著迷茫與喧囂，本應寧靜的教育也有些飄然。高中校園里，教師快節奏地工作著，不停地備課、上課、批改作業，不停地開展常規教育、找學生交流、處理突發事件……周而復始，整天忙忙碌碌。我們是否好好想過：“我們為什么教？教育的本質是什么？社會需要的是什么樣的教育？”我們是否好好思考過：“我們該教什么？教教材、教教輔、教學生考試、教學生經驗，還是基于課程標準來教學？”所以，我們忙碌著，有時卻無所適從。

事實上，思想決定行為，教師的教學行為常常受制于自己的教學主張。教學是我們每一個教師的生活，生活的體驗不斷累積，逐漸有了自己對教學的見解；教學的見解不斷豐富，逐漸形成體系，于是就有了自己的教學主張。本文嘗試濃縮我三十年的教學生活，提煉自己對數學學科、數學教學的理解，初步闡釋自己的教學主張——簡中求道。

一、“簡”中求“數學”之道

數學原本是“善意”的，它源于生活，以“簡”的形態高于生活、方便于生活、運用于生活。但是，高中學生中鮮有喜愛數學的，這是什么原因呢？我以為，他們厭惡的“數學”不是真正的“數學”，而是“應試”用的“數學”，他們從數學課堂上感受不到數學的“善意”，真實的體悟往往是負面的：數學太抽象，常常會有“云里霧里”的感覺；數學太繁雜，常常有“又出錯，不再做下去了”的念頭；數學的技巧太高，常常產生“不是我等可以做的”的無奈。

1.經歷數學的抽象過程，讓數學具體些。

正是數學的這一“抽象”特征，使得數學不但在自然、社會等方面應用廣泛，而且在理性、思維、培養等方面無可替代。學習數學，必須經歷數學的“抽象”過程，理解“抽象”的本質，同時會用“已抽象的對象”理解相關問題，否則，學到的不是真正的數學，也就是說，在探索“這看起來比較復雜，抽象后又很簡單的問題”中才會學到真正的數學。實際上，數學中有很多破解“抽象”的方法，例如“從特殊到一般”的認識方法，“數形結合”的數學思想等等。下文就通過對“函數概念”抽象過程的分析，從“由特殊到一般”和“數形結合”兩個角度入手，試著尋找“數學”的“簡”之道。

從特殊到一般，是認識事物的最基本的方法。從大量的特殊問題中，梳理、歸納和提煉出規律性的屬性，進一步得到本質屬性，這一過程就是抽象，它是數學化的重要過程。函數是高中數學最重要的概念，基于學生認知能力的漸進發展，義務教育階段和高中基礎教育階段課標中采用螺旋上升的思路進行了整體架構。以蘇教版為例，初中教材中，重點以具體的正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數為載體，將函數的概念在學生可以理解的范圍內逐步加深。高中教材中，考慮到學生的認知能力的提高，具體的實例中增加了分段函數，進一步又研究了冪函數、指數函數、對數函數和三角函數等等，并從函數的單調性、奇偶性、對稱性和周期性等角度逐步深入。

“數形結合”是基本的數學思想之一。華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”數學中，“數”和“形”是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，“數”和“形”之間可以相互轉化，相互滲透。初中教材中，為了直觀，引入直觀示意圖，如加倍：1→2，2→4，3→6，可以直觀地看出函數概念的整體框架；用坐標系下的圖象，如氣溫隨時間的變化圖，可以直觀地顯示氣溫的整體走向。在高中教材中可以進一步突出圖形，并研究它們之間的關系。

從以上兩方面可以看出：教材為了突破“抽象”，盡可能呈現“不抽象”，通過相關的“特殊”和“直觀”，逐步實現“有限度的一般”和“有限度的抽象”，讓抽象的數學知識可以感知與體驗，從而讓認知變得簡單。

2.適量刪除繁難的數學計算，讓數學本質些。

數學計算的繁雜，常常讓不少學生厭煩。提到“繁雜”，大家會不約而同地想到平面解析幾何中的計算，其實任何一個內容，都可以很繁雜的。下面就有關函數中的字母來試著說明：對于繁雜的數學，其實可以不復雜，總能找到一些“簡”的路徑。

解決函數問題時，討論起來有些復雜。函數解析式中有常數，有變量，復雜的式子甚至有多個常數、多個變量。其實，數學試題的編制是有一定目的的，字母多些，是讓學生認真分析問題，通過探索理解字母的地位，分清其主次，進而找到解決方法。因此，對于復雜的數學問題，有些我們應該回避，有些應該改編，使數學問題的著力點有利于學生理解。例如字母的含義（是常數還是變量？）；變量的主次（以便抓住主要矛盾，各個擊破），即數學題應該是“數學味”濃一點；等等。要對提高學生數學思維能力有幫助，不應該糾纏于復雜的運算和非數學本質上。

3.創設合適的臺階，讓數學容易些。

數學技巧的高難，也讓大部分學生有“高不可攀”之感。細細剖析，那些高難之處無外乎兩個方面：一是難在某一個節點上，如果突破這一點，問題就不難了；二是難在幾個小問題的組合上，如果多花一點時間仔細分析，問題就可以解決了。

例如，構造函數問題，先要構造一個定義在實數集上的函數，使其是奇函數，但不是實數集上的單調函數。對于這一問題，如果學生學習了三角函數，直接就可以構造正弦函數，但是在剛剛學習函數時，學生還沒有“三角函數”這一概念，從自己熟悉的基本函數中難以解決。其實本題是想讓學生構造一個“分段函數”，學生如果有了這一意識，就能突破“難點”，很容易地進行構造：將實數集分成三個區間，中間的區間關于原點對稱，在此區間上構成一個奇函數且是增函數，在其余兩個帶有無窮大端點的區間上構造一個奇函數，且此函數在兩個區間上都是減函數。面對這一問題，有的學生可能沒有想到分段函數，有的學生想到了，但是對同時滿足兩個條件的綜合，又難以突破。因此教師提出問題時，要注意問題提出的火候，可適當降低難度。例如，增加帶有提示性質的信息，添加條件“構造一個分段函數”；或者將原問題設置臺階，先給出上面文中三個區間上的兩個函數，再提出這一問題。

二、“簡”中求“教學”之道

相比義務教育階段，由于部分學生分流，普通高中教學的要求要高一些，但仍然屬于基礎教育階段，據此，教學的主要任務仍然是“打基礎”。有人問：什么是數學教學的基礎？數學教學基礎從哪里來？我們還得回到《普通高中數學課程標準》上來。應該說，雖然有很多不同的聲音，但隨著爭論的深入，大家認識的交集也在擴大，《普通高中數學課程標準》越來越多地得到大家的理解與認同。

上世紀80年代以來，西方一些國家以“教育質量監控”的名義，將《課程標準》的編制作為基礎，并通過落實課程標準，在整個基礎教育領域引發了一場“基于課程標準的改革”。我國第八次基礎教育改革從本世紀初開始，也同樣以《課程標準》的出臺為標志，相繼加入到這場教育的系統變革之中。可見“基礎”來自《課程標準》。有了這一認識，相對于現在的“盲從”，教學便可以簡單些了。按照《普通高中數學課程標準》實施教學，必須做到如下三點：教學的出發點應建立在“學生的認知基礎”上，教學過程應突出“數學思維能力”的培養，教學的落腳點應關注“數學素養”的提高。

1.找準教學出發點，讓學生自主地發展。

教學的出發點應建立在學生的認知基礎上。著名美國認知心理學家奧斯貝爾說過：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經知道了什么，也就是說，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學。”《普通高中數學課程標準》中的基本理念的第一條就是：“構建共同基礎，提供發展平臺。”因此將普通高中數學分“必修”和“選修”兩部分，“必修”是共同基礎，“選修”是為不同學生提供不同的發展平臺。教學中，我們盡量突出課標中的核心部分，以此作為共同基礎，否則，由于現在我國仍然是大班教學，雖然可以采用自主學習，但整班推進仍是教學的主流，只有將核心問題作為教學共同基礎，教學才能讓大部分學生積極參與，形成新的共同基礎，教學才能更具針對性，教學才會簡單易行，才會良性發展。

2.注重教學過程，讓思維自然地生成。

教學過程應突出“數學思維能力”的培養。雖然教學有一個共同指向——讓學生學會學習，為學生的終身發展奠基，但作為數學學科的教學，首先是做好分內事，現在數學已不僅僅是工具，而且是培養“理性思維”能力的重要學科，這已成為越來越多普通人的認識。《普通高中數學課程標準》中的基本理念的第四條是：“注重提高學生的數學思維能力。”根據這一理念，教學中，注重基礎的同時，必須關注數學思維能力。實際教學中，這一理念沒有得到很好的落實，究其原因，還是“應試教育”太強勢，教師過分關注考試，往往注重具體試題的解答，學生整天在做題、糾錯中循環。由于思維能力的培養需要長期的積累，而實際的課堂教學中被注重不夠。

實際上，如果正確協調好兩者之間的關系，也能做到兩者同步發展。現在的高中數學教學一切以考試成績為中心，時間安排并不合理，文科學生一年半結束新課，另外一年半就反復機械訓練，理科也有一年時間復習。數學的理性思維的培養，學生必須有“悟”的過程，教學必須“慢下來”，只有經歷數學的發生和發展過程，學生在“慢節奏”的“火熱的思考”中，理解問題的來龍去脈，形成理性的認知結構，才能感受數學“冰冷的美麗”。在這一過程中，不但需要演繹推理，而且需要合情推理，學生在推理中，數學思維能力也就強了。因此，教學不應該功利性太強，不要行走得太匆忙，應該“慢”下來，要讓學生有思考的時空，思維才能“活”起來。

3.關注教學的落腳點，逐步地提升數學素養。

教學的落腳點應關注“數學素養”的提高，但這是很多教師都認同的“空話”。“數學素養的提升”如何度量與評價，這是當今的數學課堂難以把控的。然而“提高學生的數學素養”，逐漸為大家所關注，《普通高中數學課程標準》也特別將其作為重中之重，在總目標中明確要求：在學生接受九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展和社會進步需要。那么數學素養如何提高呢？

我認為，首先應該鼓勵學生自主學習。學生通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程，數學素養就能得到發展與提升。對于一般學生能夠理解的教學內容，教師不包辦，由學生自己學習；對于學生不能理解的教學內容，教師提供條件，由學生通過探究，去了解、理解和掌握；對于學生探究過程中出現的難點，必要時教師適當導引，讓學生“跳一跳”去解決問題，重要的是讓學生經歷“體驗數學發現和創造”的過程，迸發出數學的火花，數學素養在不知不覺中就得到提高，這其中的關鍵是舍得騰出時空，尊重學生，相信學生，學生在相對輕松的環境中，各方面的潛能得到充分的開發，數學素養的提高就順理成章了。

（作者單位：江蘇省靖江高級中學）