矩陣在實際中的應用

謝世偉

摘 要 在學習線性代數的過程中，我們發現代數在生活實踐中有著不可或缺的位置。本論文意在著重研究矩陣在實際生活中的應用。

關鍵詞 線性代數；矩陣；逆矩陣；密碼

矩陣（Matrix）：在數學名詞中，矩陣是用來表示統計數據等方面的各種有關聯的數據。這個定義很好地解釋了代碼制造世界的數學邏輯基礎。矩陣是數學中最重要的基本概念之一、是線性代數學的一個主要研究對象，也是數學研究及應用的一個重要工具

成書于西漢末、東漢初的《九章算術》用分離系數法表示線性方程組，得到了其增廣矩陣，在消元過程中，使用的把某行乘以某一非零實數、從某行中減去另一行等運算技巧，相當于矩陣的初等變換，但當時并沒有現在理解的矩陣的概念，雖然它與現在的矩陣形式上相同，但在當時只是作為線性方程組的標準表示與處理方式。

現代的矩陣概念是在19世紀逐漸形成的。1801年德國數學家高斯（F.Gauss，1777～1855）把一個線性變換的全部系數作為一個整體。1844年，德國數學家愛森斯坦（F.Eissenstein，1823～1852）討論了（矩陣）“變換”及其乘積。1850年，英國數學家西爾維斯特（James Joseph Sylvester，18414-1897）首先使用“矩陣”一詞。1858年，英國數學家凱萊（A.Gayley，1821～1895）發表《關于矩陣理論的研究報告》，他首先將矩陣作為一個獨立的數學對象加以研究，并以這個主題首先發表了一系列文章，因而他被認為是矩陣論的創立者，是他給出了現在通用的一系列矩陣的定義，如：兩矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、兩矩陣的和、一個數與一個矩陣的數量積、兩個矩陣的積、矩陣的逆、轉置矩陣等。并且凱萊還注意到矩陣的乘法是可結合的，但一般不可交換，且m*n矩陣只能用n*k矩陣去右乘等。1854年，法國數學家埃米爾特（C.Hermite，1822～1901）使用了“正交矩陣”這一術語，但它的正式定義直到1878年才由德國數學家費羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius，1849～1917）提出，1879年費羅貝尼烏斯引入了矩陣秩的概念。

二、在社會生產管理中的應用

在社會生產管理中經常要對生產過程中產生的很多數據進行統計、處理、分析，以此來對生產過程進行了解和監控，進而對生產進行有效的管理和調控，保證生產正常平穩的進行以達到最好的經濟收益。

例如：某工廠生產A、B、C三種產品，每種產品的原料費用、員工工資、管理和其他費用等見表1，每季度生產每種產品的數量見表2。財務人員需要用表格形式直觀地向部門經理展示以下數據：每一季度中每一類成本的數量、每一季度三類成本的總數量、四個季度每類成本的總數量。

表1 生產單位產品的成本（元）

表2 每種產品各季度產量（件）

該公司希望在股東會議上用一個表格直觀的展示出以下數據

（1）每一季度中每一類成本的數量

（2）每一季度三類成本的總數量

（3）四個季度每類成本的總數量

我們用矩陣的方法考慮這個問題。兩張表格的數據都可以表示成一個矩陣。如下所示m=10 20 1530 40 2010 15 10，n=2000 3000 2500 20002800 4800 3700 30002500 3500 4000 2000通過矩陣的乘法運算得到

m*n=113500 178500 159000 110000222000 352000 303000 22000087000 137000 120500 85000

對總成本進行匯總，每一類成本的年度總成本由矩陣的每一行元素相加得到，每一季度的總成本可由每一列相加得到。

這樣，我們就利用矩陣的乘法把多個數據表匯總成一個數據表，從而比較直觀地反映了該工廠生產的成本。

二、矩陣在密碼學中的應用

在密碼學中，原消息為明文，經過偽裝的明文則變成了密文。由明文變成密文的過程稱為加密，由密文變成明文的過程稱為譯密。加密的過程是利用密碼實現的，密碼在軍事上和商業上是一種保密通信技術。矩陣在保密通信中發揮了重要作用。

例如，如圖所示，當矩陣A可逆時，對R中的所有X，等式A-1AX=X說明，A-1把向量AX變回到X，A-1確定的線性變換稱為由A確定的線性變換的逆變換。

這使人們想到可以利用可逆矩陣及其逆矩陣對需發送的秘密消息加密和譯密。

假設我們要送出的消息“ACCOMPLISH THE TASK.”。首先把每個字母A，B，C，…，Z映射到數1，2，3，…，26.例如，數1表示A，數11表示K；另外，用0表示空格，27表示句號等。于是數集[1，3，3，15，13，16，12，9，19，8，0，20，8，5，0，20，1，19，11，27]表示消息“ACCOMPLISH THE TASK.”，這個消息（按列）寫成4×5矩陣

M=1 13 19 8 13 16 8 5 191 3 12 0 0 1115 9 20 20 27

密碼的發送者和接收者都知道的密碼矩陣是

A=1 -1 -1 13 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -2

其逆矩陣（譯碼矩陣）是

A-1=1/29 1 -1 75 1 -1 5-19 -1 3 -13-21 -1 3 -15

加密后的消息通過通信渠道，以乘積AM的形式輸出，接收者收到的矩陣

C=AM=1 -1 -1 13 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -21 13 19 8 13 16 8 5 191 3 12 0 0 1115 9 20 20 270 -6 31 23 -254 39 137 104 78-32 22 21 -6 -40-22 9 -51 -43 -14

之后接收者通過計算乘積A-1C來譯出消息，即相繼變換矩陣C的第1列，第2列，…的元素就會變回到原來的信息。

上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應用，將高等代數與密碼學緊密結合起來。運用數學知識破譯密碼，進而運用到軍事等方面，可見矩陣的作用是何其強大。

參考文獻：

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[2]陸楓，何云峰.計算機圖形學基礎[M].北京：電子工業出版社，2008.

[3]郭龍先，張毅敏，何建瓊.高等代數[M].北京：科學出版社，2011

[4]《線性代數及其應用》（第二版）天津大學數學系代數教研組編著