含可調參數的一次有理樣條插值

劉永春

摘 要：為了使有理插值樣條在計算機圖形和CAD領域有更靈活的應用，構造了帶有可調參數一次有理樣條函數（1/1型）。該函數可通過選取適當的形狀參數使得曲線具有保形性。可以通過調整參數交互式的修改插值曲線的形狀，以得到滿意的曲線，并證明了此類插值函數的保單調性和給出了其誤差分析。

關鍵詞：有理樣條；參數；保單調

引言

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，多項式插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產生不必要的震蕩，并且有時還會破壞原函數的單調性。所以文章構造一個分母分子均為一次的分段有理插值函數（即1/1型），它具有非常好的保單調性并得以驗證，而且是含有可調參數的。帶有可調參數的有理插值樣條可以通過調節相應區間上的可調參數來局部改變曲線形狀。因為保形問題一直是插值中一個很重要的問題，實際的工程問題往往要求所構造的插值曲線保持被插函數或者插值點所反映的在插值區間上的單調、凹凸性質。

1 插值函數的構造

定義 如果函數s（x）滿足條件：

（i）S（xi）=fi，1，2，…，n

（ii）S（x）在每個區間[xi，xi+1]上分子、分母均為一次多項式；

（iii）S（x）在[xi，xn]上是單調的，

則稱S（x）是定義在[xi，xn]上的分段線性保形有理插值。

構造上述函數的表達式f（x），設f（x）在區間[a，b]上有定義，區間[a，b]剖分為a=x1

；令t=（x-xi）/hi；當x∈[xi，xi+1]時，定義：

（1）

其中ui>0是可調參數，由式（1）構造的函數明顯滿足以下等式

由此可以得到函數S（x）滿足上述對于分段線性保形有理插值定義的條件（i）與（ii）。

2 一元插值函數的嚴格保單調性

定理（嚴格保單調性） 已知嚴格單調數據{（xi，fi）i=1，2，…，n}，u1>0，u2>0并且參數ui滿足ui+1=（？駐i-1/？駐i）ui-1，i=2，3，…，n-1時，則有理插值函數s（x）∈C1[a，b]并且是保單調的。

證明：不妨假設f1>f2…>fn或？駐i<0

因為s（x）是C0連續的，為了討論s（x）的一階連續性，對式（1）求導，并化簡得：

因為

所以

又由于 ，明顯得到 。

所以函數S（x）在區間[xi，xn]上是保單調的并且是一階連續的。

3 誤差估計

因為文章所構造的函數是分段的，故只需考慮在區間[xi，xi+1]上的情形。

定理 假設 ，s（x）為由（1）定義的分段有理插值函數，當 時

成立，其中： 。

證明：

其中 ，又設l（x）是區間[xi，xi+1]上關于f（x）的線性插值，即

令

因為Li（t）是區間[0，1]上關于Pi（t），Qi（t）線性插值，所以有

（2）

（3）

又對（1）式求二階導數 得

上式帶入（3）得

（4）

由三角不等式得

（5）

將（2）、（4）式代入（5），即

4 結束語

針對多項式插值的不穩定性，構造了分子分母均為一次的分段線有理插值函數（即1/1型），并討論了此插值函數的保單調性，而且適當地調節可調參數，可以達到曲線的保形性。不過此插值只能處理嚴格的單調數據，所以，文章所構造的插值還有許多不足，需要繼續改進。

參考文獻

[1]Sarfraz M. Rational Spline Interpolation Preserving the Shape of the Monotonic Data. In Proceedings of the Computer Graphics International'97， IEEE Computer Scociety， 1997：238-244.

[2]Sarfraz M. Interpolatory Rational Cubic Spline with Biased Point and Interval Tension.Comput Graph，1992，16（4）：427-43.

[3]Schabach R. Spezielle Rational Spline Function.Journal of Approximation Theory，1973，7：281- 292.

[4]Duan Q， Price W G， et al. Rational Cubic Spline Based on Function Walues.Comp.&Graph，1998，22：479-486.

[5]Duan Q， Wang X， Cheng F. Constrained Interpolation Using Rational Cubic Spline Curve with Linear Denominators. Korean J， Comput. Appl .Math，1999，6（1）：203-215.

[6]葉懋冬.具有局部插值性質的樣條.計算數學，1984，（2）：138-147.

[7]周頌平，虞旦盛.有理逼近的一些最新進展[J].數學進展，2003，32（2）：141-156.

[8]虞旦盛，周頌平.有理逼近的一些最新進展[J].數學進展，2005，34（3）：269-280.

[9]王仁宏.數值有理逼近[M].上海：上海科學技術出版社，1980.

[10]王仁宏，朱功勤.有理函數逼近及其應用[M].北京：科學出版社，2004.

摘 要：為了使有理插值樣條在計算機圖形和CAD領域有更靈活的應用，構造了帶有可調參數一次有理樣條函數（1/1型）。該函數可通過選取適當的形狀參數使得曲線具有保形性。可以通過調整參數交互式的修改插值曲線的形狀，以得到滿意的曲線，并證明了此類插值函數的保單調性和給出了其誤差分析。

關鍵詞：有理樣條；參數；保單調

引言

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，多項式插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產生不必要的震蕩，并且有時還會破壞原函數的單調性。所以文章構造一個分母分子均為一次的分段有理插值函數（即1/1型），它具有非常好的保單調性并得以驗證，而且是含有可調參數的。帶有可調參數的有理插值樣條可以通過調節相應區間上的可調參數來局部改變曲線形狀。因為保形問題一直是插值中一個很重要的問題，實際的工程問題往往要求所構造的插值曲線保持被插函數或者插值點所反映的在插值區間上的單調、凹凸性質。

1 插值函數的構造

定義 如果函數s（x）滿足條件：

（i）S（xi）=fi，1，2，…，n

（ii）S（x）在每個區間[xi，xi+1]上分子、分母均為一次多項式；

（iii）S（x）在[xi，xn]上是單調的，

則稱S（x）是定義在[xi，xn]上的分段線性保形有理插值。

構造上述函數的表達式f（x），設f（x）在區間[a，b]上有定義，區間[a，b]剖分為a=x1

；令t=（x-xi）/hi；當x∈[xi，xi+1]時，定義：

（1）

其中ui>0是可調參數，由式（1）構造的函數明顯滿足以下等式

由此可以得到函數S（x）滿足上述對于分段線性保形有理插值定義的條件（i）與（ii）。

2 一元插值函數的嚴格保單調性

定理（嚴格保單調性） 已知嚴格單調數據{（xi，fi）i=1，2，…，n}，u1>0，u2>0并且參數ui滿足ui+1=（？駐i-1/？駐i）ui-1，i=2，3，…，n-1時，則有理插值函數s（x）∈C1[a，b]并且是保單調的。

證明：不妨假設f1>f2…>fn或？駐i<0

因為s（x）是C0連續的，為了討論s（x）的一階連續性，對式（1）求導，并化簡得：

因為

所以

又由于 ，明顯得到 。

所以函數S（x）在區間[xi，xn]上是保單調的并且是一階連續的。

3 誤差估計

因為文章所構造的函數是分段的，故只需考慮在區間[xi，xi+1]上的情形。

定理 假設 ，s（x）為由（1）定義的分段有理插值函數，當 時

成立，其中： 。

證明：

其中 ，又設l（x）是區間[xi，xi+1]上關于f（x）的線性插值，即

令

因為Li（t）是區間[0，1]上關于Pi（t），Qi（t）線性插值，所以有

（2）

（3）

又對（1）式求二階導數 得

上式帶入（3）得

（4）

由三角不等式得

（5）

將（2）、（4）式代入（5），即

4 結束語

針對多項式插值的不穩定性，構造了分子分母均為一次的分段線有理插值函數（即1/1型），并討論了此插值函數的保單調性，而且適當地調節可調參數，可以達到曲線的保形性。不過此插值只能處理嚴格的單調數據，所以，文章所構造的插值還有許多不足，需要繼續改進。

參考文獻

[1]Sarfraz M. Rational Spline Interpolation Preserving the Shape of the Monotonic Data. In Proceedings of the Computer Graphics International'97， IEEE Computer Scociety， 1997：238-244.

[2]Sarfraz M. Interpolatory Rational Cubic Spline with Biased Point and Interval Tension.Comput Graph，1992，16（4）：427-43.

[3]Schabach R. Spezielle Rational Spline Function.Journal of Approximation Theory，1973，7：281- 292.

[4]Duan Q， Price W G， et al. Rational Cubic Spline Based on Function Walues.Comp.&Graph，1998，22：479-486.

[5]Duan Q， Wang X， Cheng F. Constrained Interpolation Using Rational Cubic Spline Curve with Linear Denominators. Korean J， Comput. Appl .Math，1999，6（1）：203-215.

[6]葉懋冬.具有局部插值性質的樣條.計算數學，1984，（2）：138-147.

[7]周頌平，虞旦盛.有理逼近的一些最新進展[J].數學進展，2003，32（2）：141-156.

[8]虞旦盛，周頌平.有理逼近的一些最新進展[J].數學進展，2005，34（3）：269-280.

[9]王仁宏.數值有理逼近[M].上海：上?？茖W技術出版社，1980.

[10]王仁宏，朱功勤.有理函數逼近及其應用[M].北京：科學出版社，2004.

摘 要：為了使有理插值樣條在計算機圖形和CAD領域有更靈活的應用，構造了帶有可調參數一次有理樣條函數（1/1型）。該函數可通過選取適當的形狀參數使得曲線具有保形性?？梢酝ㄟ^調整參數交互式的修改插值曲線的形狀，以得到滿意的曲線，并證明了此類插值函數的保單調性和給出了其誤差分析。

關鍵詞：有理樣條；參數；保單調

引言

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，多項式插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產生不必要的震蕩，并且有時還會破壞原函數的單調性。所以文章構造一個分母分子均為一次的分段有理插值函數（即1/1型），它具有非常好的保單調性并得以驗證，而且是含有可調參數的。帶有可調參數的有理插值樣條可以通過調節相應區間上的可調參數來局部改變曲線形狀。因為保形問題一直是插值中一個很重要的問題，實際的工程問題往往要求所構造的插值曲線保持被插函數或者插值點所反映的在插值區間上的單調、凹凸性質。

1 插值函數的構造

定義 如果函數s（x）滿足條件：

（i）S（xi）=fi，1，2，…，n

（ii）S（x）在每個區間[xi，xi+1]上分子、分母均為一次多項式；

（iii）S（x）在[xi，xn]上是單調的，

則稱S（x）是定義在[xi，xn]上的分段線性保形有理插值。

構造上述函數的表達式f（x），設f（x）在區間[a，b]上有定義，區間[a，b]剖分為a=x1

；令t=（x-xi）/hi；當x∈[xi，xi+1]時，定義：

（1）

其中ui>0是可調參數，由式（1）構造的函數明顯滿足以下等式

由此可以得到函數S（x）滿足上述對于分段線性保形有理插值定義的條件（i）與（ii）。

2 一元插值函數的嚴格保單調性

定理（嚴格保單調性） 已知嚴格單調數據{（xi，fi）i=1，2，…，n}，u1>0，u2>0并且參數ui滿足ui+1=（？駐i-1/？駐i）ui-1，i=2，3，…，n-1時，則有理插值函數s（x）∈C1[a，b]并且是保單調的。

證明：不妨假設f1>f2…>fn或？駐i<0

因為s（x）是C0連續的，為了討論s（x）的一階連續性，對式（1）求導，并化簡得：

因為

所以

又由于 ，明顯得到 。

所以函數S（x）在區間[xi，xn]上是保單調的并且是一階連續的。

3 誤差估計

因為文章所構造的函數是分段的，故只需考慮在區間[xi，xi+1]上的情形。

定理 假設 ，s（x）為由（1）定義的分段有理插值函數，當 時

成立，其中： 。

證明：

其中 ，又設l（x）是區間[xi，xi+1]上關于f（x）的線性插值，即

令

因為Li（t）是區間[0，1]上關于Pi（t），Qi（t）線性插值，所以有

（2）

（3）

又對（1）式求二階導數 得

上式帶入（3）得

（4）

由三角不等式得

（5）

將（2）、（4）式代入（5），即

4 結束語

針對多項式插值的不穩定性，構造了分子分母均為一次的分段線有理插值函數（即1/1型），并討論了此插值函數的保單調性，而且適當地調節可調參數，可以達到曲線的保形性。不過此插值只能處理嚴格的單調數據，所以，文章所構造的插值還有許多不足，需要繼續改進。

參考文獻

[1]Sarfraz M. Rational Spline Interpolation Preserving the Shape of the Monotonic Data. In Proceedings of the Computer Graphics International'97， IEEE Computer Scociety， 1997：238-244.

[2]Sarfraz M. Interpolatory Rational Cubic Spline with Biased Point and Interval Tension.Comput Graph，1992，16（4）：427-43.

[3]Schabach R. Spezielle Rational Spline Function.Journal of Approximation Theory，1973，7：281- 292.

[4]Duan Q， Price W G， et al. Rational Cubic Spline Based on Function Walues.Comp.&Graph，1998，22：479-486.

[5]Duan Q， Wang X， Cheng F. Constrained Interpolation Using Rational Cubic Spline Curve with Linear Denominators. Korean J， Comput. Appl .Math，1999，6（1）：203-215.

[6]葉懋冬.具有局部插值性質的樣條.計算數學，1984，（2）：138-147.

[7]周頌平，虞旦盛.有理逼近的一些最新進展[J].數學進展，2003，32（2）：141-156.

[8]虞旦盛，周頌平.有理逼近的一些最新進展[J].數學進展，2005，34（3）：269-280.

[9]王仁宏.數值有理逼近[M].上海：上海科學技術出版社，1980.

[10]王仁宏，朱功勤.有理函數逼近及其應用[M].北京：科學出版社，2004.