直線的參數方程在解題中的應用

吳燕

在新課程標準下，蘇教版《數學選修4-4》中安排了直線的參數方程，它是對《數學必修2》第二章平面解析幾何初步中直線方程知識的進一步延伸，同時也為研究直線與圓、直線與圓錐曲線的問題提供了另一條途徑.數學實踐和學生體會表明：用直線的參數方程解決一些問題，有時更方便和簡捷，本文通過具體的例子加以說明.

一、計算問題

利用直線參數方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t為參數）中參數t的幾何意義解決與距離、弦長、線段長、點的坐標有關的問題.

例1：已知直線l過點P（2，0），斜率為■，直線l和拋物線y■=2x相交于A、B兩點，設線段AB的中點為M，求：（1）|PM|；（2）M點的坐標.

解：（1）設直線的傾斜角為α，依題意可得tanα=■，

∴sinα=■，cosα=■，

∴直線l的參數方程為x=2+■ty=■t（t為參數）（*）.

∵直線l和拋物線相交，將直線的參數方程代入拋物線方程y■=2x中，整理得

8t■-15-50=0且Δ>0.設方程的兩個根為t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.

由于M為線段AB的中點，根據t的幾何意義，得|PM|=|■| =■.

（2）∵中點M所對應的參數為t■=■=■，將此值代入直線的參數方程（*），

點M的坐標為x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即為所求.

一般地，直線x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t為參數）與曲線y=f（x）交于A，B兩點，對應的參數分別為t■、t■，則線段|AB|的中點M對應的參數t=■.

由t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.

一般地，直線與二次曲線相交，用直線參數方程解題時，則有弦長為|t■-t■|；直線上的點P到兩交點的距離和為|t■|+|t■|，距離涉及t的正負時要加以區分.

因為，直線參數方程的標準方程中含有三角函數cosα，sinα（α是直線的傾斜角），所以，在解決直線與圓錐曲線有關問題時，可以將其轉化為三角函數問題解決，體現了轉化、化歸的數學思想，達到數學知識的綜合運用，在解高考數學試題時也有用武之地.下面我們以高考題為例加以說明.

二、范圍問題

求參數的取值范圍，是高考的熱點和難點問題，由于求參數范圍的方法眾多，如何選擇往往成為考生思考的難點.如果選擇直線的參數方程，利用三角函數的值域求解，則比較簡單.

例2（2008年高考福建卷理科第21題）：如圖，橢圓■+■=1（a>b>0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，恒有|OA|■+|OB|■<|AB|■，求a的取值范圍.

解：（Ⅰ）略，橢圓方程為■+■=1.

（Ⅱ）設直線AB的參數方程為x=1+tcosθy=tsinθ（t為參數），代入■+■=1得

（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.

設上述方程的兩根為t■，t■，由韋達定理知：

t■+t■=-■t■t■=■①

根據t的幾何意義，不妨設|FA|=t■，則|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，

又設A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），

∵|OA|■+|OB|■<|AB|■恒成立，

∴（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■<（t■-t■）■，

化簡得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■<0，把①式代入得

1-■+■<0，

∴■<0，

顯然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■<0，

即（a■+b■）sin■θ-a■b■<0，

∴■>sin■θ恒成立，

∵sinθ∈[0，1]，

∴■>1，②

∵橢圓的一個焦點F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③

由②，③得a■

因為a>0，b>0，所以a0，

解得a>■或a<■（舍去），即a>■.

本例在解題中，充分發揮了直線參數方程在解題中的優勢（參數的幾何意義、三角函數變換），由恒成立問題、三角函數的值域，巧妙地利用橢圓中a、b、c的關系實施轉化，得到了關于a的二次不等式使問題獲解，解題目標明確，思路清晰，方法可行.

三、證明問題

例3（2013年全國理科高考卷第21題）：已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F■，F■，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為■.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）設過F■的直線l與C的左、右兩支分別相交于A，B兩點，且 |AF■|=|BF■|，證明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比數列.

解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，雙曲線方程為x■-■=1.

（Ⅱ）如圖，∵F■（3，0）

∴設過F■的直線為x=3+tcosκy=tsinα（t為參數）

其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，

|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①

將直線參數方程代入雙曲線方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化簡得

（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.

由韋達定理知，

t■+t■=■，t■t■=■.

由①式知|AB|=|t■-t■|=4，

∴|AB|■=16②

另一方面，

（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.

∴|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③

由②③知，|AF■|·|BF■|=|AB|■，即|AF■|，|AB|，|BF■|成等比數列.

該題的常規解題思路有兩種：（1）涉及直線與圓錐曲線綜合問題時，就是聯立方程組用韋達定理求解，該思路清晰，但因其運算量較大，學生常常望而生畏.特別用該方法求|AF■|、 |AF■|、|BF■|、|BF■|時還需用到兩點間距離公式，無疑運算量又會增大.（2）涉及在求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|時可以用雙曲線的焦半徑公式，但這又超出考試大綱的要求.而利用直線參數方程求解，簡潔明快，是一種較好的選擇.

在新課程標準下，蘇教版《數學選修4-4》中安排了直線的參數方程，它是對《數學必修2》第二章平面解析幾何初步中直線方程知識的進一步延伸，同時也為研究直線與圓、直線與圓錐曲線的問題提供了另一條途徑.數學實踐和學生體會表明：用直線的參數方程解決一些問題，有時更方便和簡捷，本文通過具體的例子加以說明.

一、計算問題

利用直線參數方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t為參數）中參數t的幾何意義解決與距離、弦長、線段長、點的坐標有關的問題.

例1：已知直線l過點P（2，0），斜率為■，直線l和拋物線y■=2x相交于A、B兩點，設線段AB的中點為M，求：（1）|PM|；（2）M點的坐標.

解：（1）設直線的傾斜角為α，依題意可得tanα=■，

∴sinα=■，cosα=■，

∴直線l的參數方程為x=2+■ty=■t（t為參數）（*）.

∵直線l和拋物線相交，將直線的參數方程代入拋物線方程y■=2x中，整理得

8t■-15-50=0且Δ>0.設方程的兩個根為t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.

由于M為線段AB的中點，根據t的幾何意義，得|PM|=|■| =■.

（2）∵中點M所對應的參數為t■=■=■，將此值代入直線的參數方程（*），

點M的坐標為x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即為所求.

一般地，直線x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t為參數）與曲線y=f（x）交于A，B兩點，對應的參數分別為t■、t■，則線段|AB|的中點M對應的參數t=■.

由t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.

一般地，直線與二次曲線相交，用直線參數方程解題時，則有弦長為|t■-t■|；直線上的點P到兩交點的距離和為|t■|+|t■|，距離涉及t的正負時要加以區分.

因為，直線參數方程的標準方程中含有三角函數cosα，sinα（α是直線的傾斜角），所以，在解決直線與圓錐曲線有關問題時，可以將其轉化為三角函數問題解決，體現了轉化、化歸的數學思想，達到數學知識的綜合運用，在解高考數學試題時也有用武之地.下面我們以高考題為例加以說明.

二、范圍問題

求參數的取值范圍，是高考的熱點和難點問題，由于求參數范圍的方法眾多，如何選擇往往成為考生思考的難點.如果選擇直線的參數方程，利用三角函數的值域求解，則比較簡單.

例2（2008年高考福建卷理科第21題）：如圖，橢圓■+■=1（a>b>0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，恒有|OA|■+|OB|■<|AB|■，求a的取值范圍.

解：（Ⅰ）略，橢圓方程為■+■=1.

（Ⅱ）設直線AB的參數方程為x=1+tcosθy=tsinθ（t為參數），代入■+■=1得

（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.

設上述方程的兩根為t■，t■，由韋達定理知：

t■+t■=-■t■t■=■①

根據t的幾何意義，不妨設|FA|=t■，則|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，

又設A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），

∵|OA|■+|OB|■<|AB|■恒成立，

∴（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■<（t■-t■）■，

化簡得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■<0，把①式代入得

1-■+■<0，

∴■<0，

顯然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■<0，

即（a■+b■）sin■θ-a■b■<0，

∴■>sin■θ恒成立，

∵sinθ∈[0，1]，

∴■>1，②

∵橢圓的一個焦點F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③

由②，③得a■

因為a>0，b>0，所以a0，

解得a>■或a<■（舍去），即a>■.

本例在解題中，充分發揮了直線參數方程在解題中的優勢（參數的幾何意義、三角函數變換），由恒成立問題、三角函數的值域，巧妙地利用橢圓中a、b、c的關系實施轉化，得到了關于a的二次不等式使問題獲解，解題目標明確，思路清晰，方法可行.

三、證明問題

例3（2013年全國理科高考卷第21題）：已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F■，F■，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為■.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）設過F■的直線l與C的左、右兩支分別相交于A，B兩點，且 |AF■|=|BF■|，證明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比數列.

解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，雙曲線方程為x■-■=1.

（Ⅱ）如圖，∵F■（3，0）

∴設過F■的直線為x=3+tcosκy=tsinα（t為參數）

其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，

|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①

將直線參數方程代入雙曲線方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化簡得

（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.

由韋達定理知，

t■+t■=■，t■t■=■.

由①式知|AB|=|t■-t■|=4，

∴|AB|■=16②

另一方面，

（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.

∴|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③

由②③知，|AF■|·|BF■|=|AB|■，即|AF■|，|AB|，|BF■|成等比數列.

該題的常規解題思路有兩種：（1）涉及直線與圓錐曲線綜合問題時，就是聯立方程組用韋達定理求解，該思路清晰，但因其運算量較大，學生常常望而生畏.特別用該方法求|AF■|、 |AF■|、|BF■|、|BF■|時還需用到兩點間距離公式，無疑運算量又會增大.（2）涉及在求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|時可以用雙曲線的焦半徑公式，但這又超出考試大綱的要求.而利用直線參數方程求解，簡潔明快，是一種較好的選擇.

在新課程標準下，蘇教版《數學選修4-4》中安排了直線的參數方程，它是對《數學必修2》第二章平面解析幾何初步中直線方程知識的進一步延伸，同時也為研究直線與圓、直線與圓錐曲線的問題提供了另一條途徑.數學實踐和學生體會表明：用直線的參數方程解決一些問題，有時更方便和簡捷，本文通過具體的例子加以說明.

一、計算問題

利用直線參數方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t為參數）中參數t的幾何意義解決與距離、弦長、線段長、點的坐標有關的問題.

例1：已知直線l過點P（2，0），斜率為■，直線l和拋物線y■=2x相交于A、B兩點，設線段AB的中點為M，求：（1）|PM|；（2）M點的坐標.

解：（1）設直線的傾斜角為α，依題意可得tanα=■，

∴sinα=■，cosα=■，

∴直線l的參數方程為x=2+■ty=■t（t為參數）（*）.

∵直線l和拋物線相交，將直線的參數方程代入拋物線方程y■=2x中，整理得

8t■-15-50=0且Δ>0.設方程的兩個根為t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.

由于M為線段AB的中點，根據t的幾何意義，得|PM|=|■| =■.

（2）∵中點M所對應的參數為t■=■=■，將此值代入直線的參數方程（*），

點M的坐標為x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即為所求.

一般地，直線x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t為參數）與曲線y=f（x）交于A，B兩點，對應的參數分別為t■、t■，則線段|AB|的中點M對應的參數t=■.

由t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.

一般地，直線與二次曲線相交，用直線參數方程解題時，則有弦長為|t■-t■|；直線上的點P到兩交點的距離和為|t■|+|t■|，距離涉及t的正負時要加以區分.

因為，直線參數方程的標準方程中含有三角函數cosα，sinα（α是直線的傾斜角），所以，在解決直線與圓錐曲線有關問題時，可以將其轉化為三角函數問題解決，體現了轉化、化歸的數學思想，達到數學知識的綜合運用，在解高考數學試題時也有用武之地.下面我們以高考題為例加以說明.

二、范圍問題

求參數的取值范圍，是高考的熱點和難點問題，由于求參數范圍的方法眾多，如何選擇往往成為考生思考的難點.如果選擇直線的參數方程，利用三角函數的值域求解，則比較簡單.

例2（2008年高考福建卷理科第21題）：如圖，橢圓■+■=1（a>b>0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，恒有|OA|■+|OB|■<|AB|■，求a的取值范圍.

解：（Ⅰ）略，橢圓方程為■+■=1.

（Ⅱ）設直線AB的參數方程為x=1+tcosθy=tsinθ（t為參數），代入■+■=1得

（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.

設上述方程的兩根為t■，t■，由韋達定理知：

t■+t■=-■t■t■=■①

根據t的幾何意義，不妨設|FA|=t■，則|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，

又設A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），

∵|OA|■+|OB|■<|AB|■恒成立，

∴（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■<（t■-t■）■，

化簡得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■<0，把①式代入得

1-■+■<0，

∴■<0，

顯然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■<0，

即（a■+b■）sin■θ-a■b■<0，

∴■>sin■θ恒成立，

∵sinθ∈[0，1]，

∴■>1，②

∵橢圓的一個焦點F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③

由②，③得a■

因為a>0，b>0，所以a0，

解得a>■或a<■（舍去），即a>■.

本例在解題中，充分發揮了直線參數方程在解題中的優勢（參數的幾何意義、三角函數變換），由恒成立問題、三角函數的值域，巧妙地利用橢圓中a、b、c的關系實施轉化，得到了關于a的二次不等式使問題獲解，解題目標明確，思路清晰，方法可行.

三、證明問題

例3（2013年全國理科高考卷第21題）：已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F■，F■，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為■.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）設過F■的直線l與C的左、右兩支分別相交于A，B兩點，且 |AF■|=|BF■|，證明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比數列.

解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，雙曲線方程為x■-■=1.

（Ⅱ）如圖，∵F■（3，0）

∴設過F■的直線為x=3+tcosκy=tsinα（t為參數）

其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，

|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①

將直線參數方程代入雙曲線方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化簡得

（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.

由韋達定理知，

t■+t■=■，t■t■=■.

由①式知|AB|=|t■-t■|=4，

∴|AB|■=16②

另一方面，

（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.

∴|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③

由②③知，|AF■|·|BF■|=|AB|■，即|AF■|，|AB|，|BF■|成等比數列.

該題的常規解題思路有兩種：（1）涉及直線與圓錐曲線綜合問題時，就是聯立方程組用韋達定理求解，該思路清晰，但因其運算量較大，學生常常望而生畏.特別用該方法求|AF■|、 |AF■|、|BF■|、|BF■|時還需用到兩點間距離公式，無疑運算量又會增大.（2）涉及在求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|時可以用雙曲線的焦半徑公式，但這又超出考試大綱的要求.而利用直線參數方程求解，簡潔明快，是一種較好的選擇.